موضوع وطني
National 2013 · PC · SVT · session normale
NS22 · 3 heures · Mathématiques · PC/SVT
Exercice 1 — الهندسة الفضائية
3 pt(s)
نعتبر ، في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O,i,j,k) ، النقط A(−1,1,0) و B(1,0,1) و Ω(1,1,−1) و الفلكة (S) التي مركزها Ω وشعاعها 3.
1. a)بين أن OA∧OB=i+j−k و تحقق من أن x+y−z=0 معادلة ديكارتية للمستوى (OAB).1
1. b)تحقق من أن d(Ω,(OAB))=√3 ثم بين أن (OAB) يقطع الفلكة (S) وفق دائرة (Γ) شعاعها √6.1
2. a)ليكن (Δ) المستقيم المار من النقطة Ω والعمودي على المستوى (OAB). بين أن: x=1+ty=1+tz=−1−t (t∈ℝ) تمثيل بارامتري للمستقيم (Δ).0.5
2. b)حدد مثلوث إحداثيات مركز الدائرة (Γ).0.5
Exercice 2 — الأعداد العقدية
3 pt(s)
نعتبر ، في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O,u,v) ، النقط A و B و C التي ألحاقها على التوالي هي a و b و c بحيث : a=7+2i و b=4+8i و c=−2+5i.
1. a)تحقق من أن (1+i)(−3+6i)=−9+3i و بين أن c−ab−a=1+i.0.75
1. b)استنتج أن AC=AB√2 وأعط قياسا للزاوية الموجهة (AB,AC).1
2. a)ليكن R الدوران الذي مركزه B و زاويته π2. بين أن لحق النقطة D صورة النقطة A بالدوران R هو d=10+11i.0.75
2. b)احسب d−cb−c و استنتج أن النقط B و C و D مستقيمية.0.5
Exercice 3 — حساب الاحتمالات
3 pt(s)
يحتوي صندوق على 10 كرات : خمس كرات حمراء وثلاث كرات خضراء وكرتان بيضاوان (لا يمكن التمييز بين الكرات باللمس). نسحب عشوائيا و في آن واحد أربع كرات من الصندوق.
1.نعتبر الحدثين التاليين: A: « الحصول على كرتين حمراوين و كرتين خضراوين » و B: « لا توجد أية كرة بيضاء من بين الكرات الأربع المسحوبة ». بين أن P(A)=17 و P(B)=13.1.5
2. a)ليكن X المتغير العشوائي الذي يربط كل سحبة بعدد الكرات البيضاء المسحوبة. تحقق من أن القيم التي يأخذها المتغير العشوائي X هي 0 و 1 و 2.0.25
2. b)بين أن P(X=1)=815 ثم حدد قانون احتمال المتغير العشوائي X.1.25
Exercice 4 — التحليل
3 pt(s)
لتكن (un)n∈ℕ* المتتالية العددية المعرفة بما يلي : u1=0 و un+1=2510−un لكل n من ℕ*.
1.تحقق من أن 5−un+1=5(5−un)5+(5−un) لكل n من ℕ* و بين بالترجع أن 5−un>0 لكل n من ℕ*.1
2. a)نعتبر المتتالية العددية (vn)n∈ℕ* المعرفة بما يلي: vn=55−un لكل n من ℕ*. بين أن vn+1=10−un5−un لكل n من ℕ* ثم تحقق من أن vn+1−vn=1 لكل n من ℕ*.0.75
2. b)بين أن vn=n لكل n من ℕ* و استنتج أن un=5−5n لكل n من ℕ*.1
2. c)حدد limn→+∞un.0.25
Exercice 5 — التحليل
8 pt(s)
نعتبر الدالة العددية f المعرفة على ℝ بما يلي : f(x)=(x−2)2ex و ليكن (C) المنحنى الممثل للدالة f في معلم متعامد ممنظم (O,i,j) (الوحدة 1 cm).
1. a)بين أن limx→+∞f(x)=+∞.0.25
1. b)بين أن limx→+∞f(x)x=+∞ ثم استنتج أن المنحنى (C) يقبل، بجوار +∞، فرعا شلجميا يتم تحديد اتجاهه.0.5
2. a)تحقق من أن f(x)=x2ex−4xex+4ex لكل x من ℝ.0.25
2. b)بين أن limx→−∞f(x)=0 و أول هذه النتيجة هندسيا (نذكر أن limx→−∞xnex=0 لكل n من ℕ*).0.5
3. a)بين أن f′(x)=x(x−2)ex لكل x من ℝ.0.75
3. b)بين أن الدالة f تزايدية على كل من المجالين ]−∞,0] و [2,+∞[ وأن الدالة f تناقصية على المجال [0,2].1
3. c)ضع جدول تغيرات الدالة f على ℝ.0.5
4. a)بين أن f″(x)=(x2−2)ex لكل x من ℝ ثم استنتج أن للمنحنى (C) نقطتي انعطاف تحديد أرتوبيهما غير مطلوب.1
4. b)أنشئ (C) في المعلم (O,i,j).1
5. a)بين أن H:x↦(x−1)ex دالة أصلية للدالة h:x↦xex على ℝ ثم احسب ∫01xex dx.0.5
5. b)باستعمال مكاملة بالأجزاء، بين أن: ∫01x2ex dx=e−2.0.75
5. c)بين أن مساحة حيز المستوى المحصور بين المنحنى (C) ومحور الأفاصيل والمستقيمين اللذين معادلتاهما x=0 و x=1 هي 5(e−2) cm2.0.5
6.استعمل المنحنى (C) لإعطاء عدد حلول المعادلة: x2=e−x+4x−4، x∈ℝ.0.5