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Sujet national
National 2011 · PC · SVT · session rattrapage
Exercice 1 — Analyse
2.5 pt(s)1. a)Résoudre dans ℝ l'équation : x2−2x−3=0.0.5
1. b)Résoudre dans ℝ l'équation : ex−3ex−2=0.1
2.Résoudre dans ℝ l'inéquation : ex+1−e−x≥0.1
Exercice 2 — Nombres complexes
4 pt(s)1.Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes ℂ l'équation : z2−6z+18=0.1
2. a)On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v), les deux points A et B dont les affixes sont respectivement a=3+3i et b=3−3i. Écrire sous forme trigonométrique chacun des deux nombres complexes a et b.0.5
2. b)Montrer que l'affixe b′ du point B′, image du point B par la translation de vecteur OA, est 6.0.75
2. c)Montrer que : b−b′a−b′=i puis en déduire que le triangle AB′B est isocèle et rectangle en B′.1
2. d)En déduire de ce qui précède que le quadrilatère OAB′B est un carré.0.75
Exercice 3 — Analyse
3.5 pt(s)On considère la suite numérique (un) définie par : u0=1 et un+1=6un1+15un pour tout n de ℕ.
1. a)Vérifier que : un+1−13=un−1315un+1 pour tout n de ℕ.0.5
1. b)Montrer par récurrence que : un>13 pour tout n de ℕ.0.5
2.On considère la suite numérique (vn) définie par : vn=1−13un pour tout n de ℕ. Montrer que (vn) est une suite géométrique de raison 16 puis écrire vn en fonction de n.1.5
3.Montrer que un=13−2(16)n pour tout n de ℕ puis en déduire limn→+∞un.1
Exercice 4 — Analyse
10 pt(s)Partie I
I — On considère la fonction numérique g définie sur I=]0,+∞[ par : g(x)=x−1+ln x.
Partie II
II — Soit f la fonction numérique définie sur I=]0,+∞[ par : f(x)=(x−1x)ln x, et soit (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O,i,j) (unité : 1 cm). La fonction g est celle de la partie I : g(x)=x−1+ln x.
1. a)Montrer que g′(x)=x+1x pour tout x de I.0.5
1. b)Montrer que la fonction g est croissante sur I.0.5
2.En déduire que g(x)≥0 sur [1,+∞[ et que g(x)≤0 sur ]0,1] (on remarquera que g(1)=0).1
1. a)Montrer que limx→0 x>0f(x)=+∞ et interpréter le résultat géométriquement.0.75
1. b)Montrer que limx→+∞f(x)=+∞ et limx→+∞f(x)x=0 (on remarquera que f(x)x=(x−1x)ln xx pour tout x de I).1
1. c)En déduire que la courbe (C) admet, au voisinage de +∞, une branche parabolique dont on déterminera la direction.0.5
2. a)Montrer que f′(x)=g(x)x2 pour tout x de I.1
2. b)En déduire que la fonction f est croissante sur [1,+∞[ et décroissante sur ]0,1].0.5
2. c)Donner le tableau de variations de la fonction f sur I.0.25
3.Construire (C) (on admet que la courbe (C) possède un unique point d'inflexion dont l'abscisse est comprise entre 1,5 et 2).1
4. a)Montrer que H : x↦12(ln x)2 est une fonction primitive de la fonction h : x↦ln xx sur l'intervalle I.0.5
4. b)Montrer que ∫1eln xx dx=12.0.75
4. c)En utilisant une intégration par parties, montrer que ∫1eln x dx=1.1
5. a)Vérifier que f(x)=ln x−ln xx pour tout x de I.0.25
5. b)Montrer que l'aire de la portion de plan comprise entre la courbe (C), l'axe des abscisses et les deux droites d'équations x=1 et x=e est 0,5 cm2.0.5
Le corrigé entier, question par question, avec le barème.
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