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Sujet national
National 2011 · PC · SVT · session normale
Exercice 1 — Analyse
2.5 pt(s)1. a)Résoudre dans ℝ l'équation : x2+4x−5=0.0.5
1. b)Résoudre dans l'intervalle ]0,+∞[ l'équation : ln(x2+5)=ln(x+2)+ln(2x).1
2.Résoudre dans l'intervalle ]0,+∞[ l'inéquation : ln x+ln(x+1)≥ln(x2+1).1
Exercice 2 — Analyse
3 pt(s)On considère la suite numérique (un) définie par : u0=1 et un+1=un5+8un pour tout n de ℕ.
1.Montrer par récurrence que un>0 pour tout n de ℕ.0.5
2. a)On pose : vn=1un+2 pour tout n de ℕ. Montrer que (vn) est une suite géométrique de raison 5 puis écrire vn en fonction de n.1.5
2. b)Montrer que un=13×5n−2 pour tout n de ℕ puis calculer la limite de la suite (un).1
Exercice 3 — Nombres complexes
5 pt(s)On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v), les points A, B et C dont les affixes sont respectivement a=9+i, b=9−i et c=11−i.
1.Résoudre dans l'ensemble ℂ des nombres complexes l'équation : z2−18z+82=0.1
2. a)Montrer que c−ba−b=−i puis en déduire que le triangle ABC est rectangle et isocèle en B.1
2. b)Donner la forme trigonométrique du nombre complexe 4(1−i).0.5
2. c)Montrer que (c−a)(c−b)=4(1−i) puis en déduire que AC×BC=4√2.1
2. d)Soit z l'affixe d'un point M du plan et z′ l'affixe du point M′ image de M par la rotation R de centre le point B et d'angle 3π2. Montrer que z′=−iz+10+8i puis vérifier que l'affixe du point C′, image du point C par la rotation R, est 9−3i.1.5
Exercice 4 — Analyse
9.5 pt(s)Partie I
I — On considère la fonction numérique g définie sur ℝ par : g(x)=(1−x)ex−1.
Partie II
II — Soit f la fonction numérique définie sur ℝ par : f(x)=(2−x)ex−x, et soit (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O,i,j) (unité : 1 cm). La fonction g est celle de la partie I : g(x)=(1−x)ex−1.
1. a)Montrer que g′(x)=−xex pour tout x de ℝ.0.5
1. b)Montrer que la fonction g est décroissante sur [0,+∞[ et croissante sur ]−∞,0], et vérifier que g(0)=0.0.75
2.En déduire que g(x)≤0 pour tout x de ℝ.0.5
1. a)Montrer que limx→+∞f(x)=−∞.0.5
1. b)Montrer que limx→+∞f(x)x=−∞ puis en déduire que la courbe (C) admet une branche parabolique au voisinage de +∞, dont on déterminera la direction.0.75
2. a)Montrer que limx→−∞f(x)=+∞ puis calculer limx→−∞[f(x)+x] (on rappelle que limx→−∞xex=0).0.75
2. b)Montrer que la droite (D) d'équation y=−x est asymptote oblique à la courbe (C) au voisinage de −∞.0.25
3. a)Montrer que f′(x)=g(x) pour tout x de ℝ.0.5
3. b)Interpréter géométriquement le résultat f′(0)=0.0.25
3. c)Montrer que la fonction f est strictement décroissante sur ℝ puis dresser le tableau de variations de la fonction f.0.5
4.Montrer que l'équation f(x)=0 admet une solution unique α dans ℝ et que 32<α<2 (on admet que e32>3).0.5
5. a)Résoudre dans ℝ l'équation f(x)+x=0 et en déduire que (C) et (D) se coupent au point A(2,−2).0.5
5. b)Étudier le signe de f(x)+x sur ℝ.0.25
5. c)En déduire que (C) est au-dessus de (D) sur ]−∞,2[ et au-dessous de (D) sur ]2,+∞[.0.25
6. a)Montrer que la courbe (C) admet un unique point d'inflexion, dont le couple de coordonnées est (0,2).0.5
6. b)Construire la droite (D) et la courbe (C) dans le même repère (O,i,j).1
7. a)En utilisant une intégration par parties, montrer que ∫−10(2−x)ex dx=3−4e.1
7. b)En déduire, en cm2, l'aire de la portion de plan comprise entre la courbe (C), la droite (D) et les deux droites d'équations x=−1 et x=0.0.25
Le corrigé entier, question par question, avec le barème.
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