Sujet national
National 2010 · PC · SVT · session rattrapage
RS22 · 3 heures · Mathématiques · PC/SVT
Exercice 1 — Géométrie dans l'espace
3 pt(s)
On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O,i,j,k), les points A(0,−2,0), B(1,1,−4) et C(0,1,−4), et (S) l'ensemble des points M(x,y,z) tels que : x2+y2+z2−2x−4y−6z−11=0.
1.Montrer que (S) est la sphère de centre le point Ω(1,2,3) et de rayon 5.0.5
2. a)Montrer que AB∧AC=4j+3k et en déduire que 4y+3z+8=0 est une équation cartésienne du plan (ABC).1
2. b)Calculer d(Ω,(ABC)) puis en déduire que le plan (ABC) est tangent à la sphère (S).0.5
3. a)Soit (Δ) la droite passant par le point Ω et perpendiculaire au plan (ABC). Montrer que x=1y=2+4tz=3+3t ; (t∈ℝ) est une représentation paramétrique de la droite (Δ).0.5
3. b)Montrer que le triplet de coordonnées du point H, intersection de la droite (Δ) et du plan (ABC), est (1,−2,0).0.25
3. c)Vérifier que H est le point de contact du plan (ABC) et de la sphère (S).0.25
Exercice 2 — Nombres complexes
3 pt(s)
1.Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes ℂ l'équation : z2−8√3 z+64=0.1
2. a)On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v), les points A, B et C dont les affixes sont respectivement a=8i, b=4√3−4i et c=2(4√3+4i). Soit z l'affixe d'un point M du plan et z′ l'affixe du point M′, image de M par la rotation R de centre O et d'angle 4π3. Montrer que z′=(−12−i√32)z.0.5
2. b)Vérifier que le point B est l'image du point A par la rotation R.0.25
2. c)Montrer que a−bc−b=12+i√32 puis écrire le nombre a−bc−b sous forme trigonométrique.0.75
2. d)En déduire que le triangle ABC est équilatéral.0.5
Exercice 3 — Calcul des probabilités
3 pt(s)
Une boîte contient huit boules portant les nombres 1 ; 1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 2 ; 3 ; 3 (les boules sont indiscernables au toucher). On tire au hasard, successivement et sans remise, deux boules de la boîte.
1.Soit A l'événement : « obtenir deux boules portant toutes deux le nombre 2 » et B l'événement : « obtenir deux boules dont l'une au moins porte le nombre 3 ». Montrer que P(A)=328 et que P(B)=1328.1.25
2. a)Soit X la variable aléatoire qui associe à chaque tirage le nombre de boules portant un nombre impair. Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X.0.25
2. b)Montrer que P(X=1)=1528.0.75
2. c)Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X.0.75
Exercice 4 — Analyse
3 pt(s)
On considère la suite numérique (un) définie par : u0=1 et un+1=3un21+un pour tout n de ℕ.
1.Montrer que un>0 pour tout n de ℕ.0.5
2.Montrer que : un+1<17un pour tout n de ℕ.0.75
3.Montrer que la suite (un) est décroissante et qu'elle est convergente.0.5
4. a)Montrer par récurrence que : un≤(17)n pour tout n de ℕ.0.75
4. b)Déterminer la limite de la suite (un).0.5
Exercice 5 — Analyse
8 pt(s)
Partie I
I — On considère la fonction numérique g définie sur ]0,+∞[ par : g(x)=x3−x−2ln x+3.
Partie II
II — On considère la fonction numérique f définie sur ]0,+∞[ par : f(x)=x−1+x−1+ln xx2, et soit (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O,i,j) (on prendra ‖i‖=‖j‖=1 cm). La fonction g est celle de la partie I : g(x)=x3−x−2ln x+3.
1. a)Vérifier que 3x3−x−2=(x−1)(3x2+3x+2) pour tout x de ]0,+∞[.0.25
1. b)Montrer que : g′(x)=(x−1)(3x2+3x+2)x pour tout x de ]0,+∞[.0.5
2. a)Vérifier que 3x2+3x+2x>0 pour tout x de ]0,+∞[.0.25
2. b)En déduire que le signe de g′(x) est celui de x−1 sur ]0,+∞[.0.5
3. a)Montrer que la fonction g est décroissante sur ]0,1] et qu'elle est croissante sur [1,+∞[.0.5
3. b)En déduire que g(x)>0 pour tout x de ]0,+∞[ (on remarquera que g(1)>0).0.5
1.Montrer que : f′(x)=g(x)x3 pour tout x de ]0,+∞[, puis en déduire que la fonction f est croissante sur ]0,+∞[.1
2. a)Montrer que limx→0 x>0f(x)=−∞ puis interpréter géométriquement ce résultat.0.5
2. b)Montrer que limx→+∞x−1+ln xx2=0 puis que limx→+∞f(x)=+∞ (on rappelle que limx→+∞ln xx2=0).0.75
2. c)Montrer que la droite (Δ) d'équation y=x−1 est une asymptote oblique à la courbe (C) au voisinage de +∞.0.5
3.Montrer que y=3(x−1) est une équation de la droite tangente à la courbe (C) au point dont le couple de coordonnées est (1,0).0.5
4.Construire la droite (Δ) et la courbe (C) (on admet que la courbe (C) possède un unique point d'inflexion, dont la détermination n'est pas demandée).0.75
5. a)En utilisant une intégration par parties, montrer que : ∫1eln xx2 dx=1−2e (on posera u′(x)=1x2 et v(x)=ln x).1
5. b)Montrer que l'aire de la portion de plan comprise entre la courbe (C), la droite (Δ) et les deux droites d'équations x=1 et x=e est (1−1e) cm2.0.5