Sujet national
National 2010 · PC · SVT · session normale
NS22 · 3 heures · Mathématiques · PC/SVT
Exercice 1 — Géométrie dans l'espace
3 pt(s)
On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O,i,j,k), les points A(−1,0,3), B(3,0,0) et C(7,1,−3), et la sphère (S) d'équation : x2+y2+z2−6x−2y−15=0.
1.Montrer que AB∧AC=3i+4k et en déduire que 3x+4z−9=0 est une équation cartésienne du plan (ABC).1
2.Montrer que (S) est la sphère de centre Ω(3,1,0) et de rayon 5.0.5
3. a)Soit (Δ) la droite passant par le point Ω et perpendiculaire au plan (ABC). Montrer que x=3+3ty=1z=4t ; (t∈ℝ) est une représentation paramétrique de la droite (Δ).0.5
3. b)Montrer que la droite (Δ) coupe la sphère (S) aux deux points E(6,1,4) et F(0,1,−4).1
Exercice 2 — Nombres complexes
3 pt(s)
On considère, dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct (O,e1,e2), les points A, B et C d'affixes respectives a=3−i, b=3+i et c=7−3i. (Ce préambule est celui de la question 2 ; la question 1 ne s'y rapporte pas.)
1.Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes ℂ l'équation : z2−6z+10=0.1
2. a)Soit z l'affixe d'un point M du plan et z′ l'affixe du point M′ image de M par la rotation R de centre A et d'angle π2. Montrer que : z′=iz+2−4i.0.5
2. b)Vérifier que l'affixe c′ du point C′, image du point C par la rotation R, est c′=5+3i.0.25
2. c)Montrer que : c′−bc−b=12i puis en déduire que le triangle BCC′ est rectangle en B et que BC=2BC′.1.25
Exercice 3 — Calcul des probabilités
3 pt(s)
Une boîte contient dix boules : cinq boules blanches, trois boules rouges et deux boules noires (indiscernables au toucher). On tire au hasard et simultanément quatre boules de la boîte.
1.On considère les deux événements suivants : A : « obtenir une seule boule rouge » et B : « obtenir au moins une boule blanche ». Montrer que P(A)=12 et P(B)=4142.1
2. a)On considère la variable aléatoire X qui associe à chaque tirage le nombre de boules rouges tirées. Vérifier que les valeurs prises par la variable aléatoire X sont 0, 1, 2 et 3.0.25
2. b)Montrer que P(X=0)=16 et P(X=2)=310.1
2. c)Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.0.75
Exercice 4 — Analyse
3 pt(s)
On considère la suite numérique (un) définie par : u0=2 et un+1=3un−12un pour tout n de ℕ.
1.Montrer par récurrence que : un>1 pour tout n de ℕ.0.75
2. a)On considère la suite numérique (vn) définie par : vn=un−12un−1 pour tout n de ℕ. Montrer que (vn) est une suite géométrique de raison 12 puis en déduire que vn=13(12)n pour tout n de ℕ.1
2. b)Montrer que un=vn−12vn−1 puis en déduire que limn→+∞un=1.0.75
3.Calculer limn→+∞wn, où (wn) est la suite numérique définie par : wn=ln(un) pour tout n de ℕ.0.5
Exercice 5 — Analyse
8 pt(s)
Partie I
I — On considère la fonction numérique g définie sur ℝ par : g(x)=1+4xe2x.
Partie II
II — Soit f la fonction numérique définie sur ℝ par : f(x)=(2x−1)e2x+x+1, et soit (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O,i,j) (avec ‖i‖=‖j‖=2 cm). La fonction g est celle de la partie I : g(x)=1+4xe2x, et on a établi que g(x)>0 pour tout x de ℝ.
1.Montrer que : g′(x)=4(2x+1)e2x pour tout x de ℝ.0.5
2.Montrer que la fonction g est croissante sur l'intervalle [−12,+∞[ et décroissante sur l'intervalle ]−∞,−12].0.5
3. a)Montrer que g(−12)=1−2e puis vérifier que g(−12)>0.0.5
3. b)En déduire que : g(x)>0 pour tout x de ℝ.0.25
1.Calculer limx→+∞f(x) puis montrer que limx→−∞f(x)=−∞ (on rappelle que limu→−∞ueu=0).1
2.Montrer que : f′(x)=g(x) pour tout x de ℝ puis en déduire que la fonction f est strictement croissante sur ℝ.0.75
3. a)Calculer limx→+∞f(x)x et en déduire que (C) admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.0.75
3. b)Calculer limx→−∞[f(x)−(x+1)] et en déduire que la droite (Δ) d'équation y=x+1 est asymptote à la courbe (C) au voisinage de −∞.0.5
3. c)Déterminer le couple de coordonnées du point d'intersection de la droite (Δ) et de la courbe (C) puis montrer que la courbe (C) est en dessous de la droite (Δ) sur l'intervalle ]−∞,12[ et au-dessus de la droite (Δ) sur l'intervalle ]12,+∞[.0.5
4. a)Montrer que y=x est une équation de la droite (T) tangente à la courbe (C) au point O.0.25
4. b)Montrer que la courbe (C) admet un point d'inflexion d'abscisse −12 (la détermination de l'ordonnée du point d'inflexion n'est pas demandée).0.25
5.Construire les deux droites (Δ) et (T) et la courbe (C) dans le repère (O,i,j).0.75
6. a)En utilisant une intégration par parties, montrer que : ∫01(2x−1)e2x dx=1.1
6. b)Calculer, en cm2, l'aire de la portion de plan comprise entre la courbe (C), la droite (T) tangente à la courbe (C) et les deux droites d'équations x=0 et x=1.0.5