موضوع وطني
National 2010 · PC · SVT · session normale
NS22 · 3 heures · Mathématiques · PC/SVT
Exercice 1 — الهندسة الفضائية
3 pt(s)
نعتبر في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O,i,j,k)، النقط A(−1,0,3) و B(3,0,0) و C(7,1,−3) والفلكة (S) التي معادلتها : x2+y2+z2−6x−2y−15=0.
1.بين أن AB∧AC=3i+4k واستنتج أن 3x+4z−9=0 هي معادلة ديكارتية للمستوى (ABC).1
2.بين أن (S) هي الفلكة التي مركزها Ω(3,1,0) وشعاعها 5.0.5
3. a)ليكن (Δ) المستقيم المار من النقطة Ω والعمودي على المستوى (ABC). بين أن: x=3+3ty=1z=4t (t∈ℝ) هو تمثيل بارامتري للمستقيم (Δ).0.5
3. b)بين أن المستقيم (Δ) يقطع الفلكة (S) في النقطتين E(6,1,4) و F(0,1,−4).1
Exercice 2 — الأعداد العقدية
3 pt(s)
نعتبر في المستوى المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O,e1,e2)، النقط A و B و C التي ألحاقها على التوالي هي : a=3−i و b=3+i و c=7−3i.
1.حل في مجموعة الأعداد العقدية ℂ المعادلة: z2−6z+10=0.1
2. a)ليكن z لحق نقطة M من المستوى و z′ لحق النقطة M′ صورة M بالدوران R الذي مركزه A وزاويته π2. بين أن: z′=iz+2−4i.0.5
2. b)تحقق من أن لحق النقطة C′ صورة النقطة C بالدوران R هو c′=5+3i.0.25
2. c)بين أن: c′−bc−b=12i ثم استنتج أن المثلث BCC′ قائم الزاوية في B و أن BC=2BC′.1.25
Exercice 3 — حساب الاحتمالات
3 pt(s)
يحتوي صندوق على عشر كرات خمس كرات بيضاء وثلاث كرات حمراء وكرتين سوداوين (لا يمكن التمييز بين الكرات باللمس). نسحب عشوائيا وفي آن واحد أربع كرات من الصندوق.
1.نعتبر الحدثين التاليين: A: « الحصول على كرة حمراء واحدة فقط » و B: « الحصول على كرة بيضاء على الأقل ». بين أن P(A)=12 و P(B)=4142.1
2. a)نعتبر المتغير العشوائي X الذي يربط كل سحبة بعدد الكرات الحمراء المسحوبة. تحقق من أن القيم التي يأخذها المتغير العشوائي X هي 0 و 1 و 2 و 3.0.25
2. b)بين أن P(X=0)=16 و P(X=2)=310.1
2. c)حدد قانون احتمال المتغير العشوائي X.0.75
Exercice 4 — التحليل
3 pt(s)
نعتبر المتتالية العددية (un) المعرفة بما يلي : u0=2 و un+1=3un−12un لكل n من ℕ.
1.بين بالترجع أن: un>1 لكل n من ℕ.0.75
2. a)نعتبر المتتالية العددية (vn) المعرفة بما يلي: vn=un−12un−1 لكل n من ℕ. بين أن (vn) متتالية هندسية أساسها 12 واستنتج أن vn=13(12)n لكل n من ℕ.1
2. b)بين أن un=vn−12vn−1 ثم استنتج أن limn→+∞un=1.0.75
3.احسب limn→+∞wn حيث (wn) هي المتتالية العددية المعرفة بما يلي: wn=ln(un) لكل n من ℕ.0.5
Exercice 5 — التحليل
8 pt(s)
Partie I
I) نعتبر الدالة العددية g المعرفة على ℝ بما يلي : g(x)=1+4xe2x.
Partie II
II) لتكن f الدالة العددية المعرفة على ℝ بما يلي : f(x)=(2x−1)e2x+x+1 وليكن (C) المنحنى الممثل للدالة f في معلم متعامد ممنظم (O,i,j) (‖i‖=‖j‖=2cm).
1.بين أن: g′(x)=4(2x+1)e2x لكل x من ℝ.0.5
2.بين أن الدالة g تزايدية على المجال [−12,+∞[ وتناقصية على المجال ]−∞,−12].0.5
3. a)بين أن g(−12)=1−2e ثم تحقق من أن g(−12)>0.0.5
3. b)استنتج أن: g(x)>0 لكل x من ℝ.0.25
1.احسب limx→+∞f(x) ثم بين أن limx→−∞f(x)=−∞ (نذكر أن: limu→−∞ueu=0).1
2.بين أن: f′(x)=g(x) لكل x من ℝ ثم استنتج أن الدالة f تزايدية قطعا على ℝ.0.75
3. a)احسب limx→+∞f(x)x واستنتج أن (C) يقبل فرعا شلجميا في اتجاه محور الأراتيب.0.75
3. b)احسب limx→−∞[f(x)−(x+1)] واستنتج أن المستقيم (Δ) الذي معادلته y=x+1 مقارب للمنحنى (C) بجوار −∞.0.5
3. c)حدد زوج إحداثيي نقطة تقاطع المستقيم (Δ) والمنحنى (C) ثم بين أن المنحنى (C) يوجد تحت المستقيم (Δ) على المجال ]−∞,12[ و فوق المستقيم (Δ) على المجال ]12,+∞[.0.5
4. a)بين أن y=x هي معادلة للمستقيم (T) مماس المنحنى (C) في النقطة O.0.25
4. b)بين أن للمنحنى (C) نقطة انعطاف أفصولها −12 (تحديد أرتوب نقطة الانعطاف غير مطلوب).0.25
5.أنشئ المستقيمين (Δ) و (T) والمنحنى (C) في المعلم (O,i,j).0.75
6. a)باستعمال مكاملة بالأجزاء بين أن: ∫01(2x−1)e2x dx=1.1
6. b)احسب بـ cm2 مساحة حيز المستوى المحصور بين المنحنى (C) و المستقيم (T) المماس للمنحنى (C) والمستقيمين اللذين معادلتاهما x=0 و x=1.0.5