Sujet national
National 2009 · PC · SVT · session rattrapage
C:RS22 · 3 heures · Mathématiques · PC/SVT
Exercice 1 — Géométrie dans l'espace
3 pt(s)
On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O,i,j,k), le point A(2,2,−1), le plan (P) d'équation 2x+y+2z−13=0 et la sphère (S) de centre Ω(1,0,1) et de rayon 3.
1. a)Montrer que x2+y2+z2−2x−2z−7=0 est une équation cartésienne de la sphère (S) et vérifier que le point A appartient à (S).0.75
1. b)Calculer la distance du point Ω au plan (P) puis en déduire que le plan (P) est tangent à la sphère (S).0.75
2. a)Soit (D) la droite passant par le point A et perpendiculaire au plan (P). Montrer que u(2,1,2) est un vecteur directeur de la droite (D) et que (6,−6,−3) est le triplet de coordonnées du vecteur ΩA∧u.0.75
2. b)Calculer ‖ΩA∧u‖‖u‖ puis en déduire que la droite (D) est tangente à la sphère (S) en A.0.75
Exercice 2 — Nombres complexes
3 pt(s)
On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v), les points A, B, C et D d'affixes respectives a=3+4i, b=3−4i, c=2+3i et d=5+6i. (Ce préambule est celui de la question 2 ; la question 1 ne s'y rapporte pas.)
1.Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes ℂ l'équation : z2−6z+25=0.1
2. a)Calculer d−ca−c puis en déduire que les points A, C et D sont alignés.0.5
2. b)Montrer que le nombre p=3+8i est l'affixe du point P, image du point A par l'homothétie h de centre B et de rapport 32.0.5
2. c)Écrire sous forme trigonométrique le nombre complexe d−pa−p puis en déduire que π4 est une mesure de l'angle (PA,PD) et que PA=√2 PD.1
Exercice 3 — Calcul des probabilités
3 pt(s)
Une boîte contient sept boules noires et deux boules blanches (indiscernables au toucher). On tire au hasard, successivement et sans remise, deux boules de la boîte. Soit X la variable aléatoire qui associe à chaque tirage le nombre de boules blanches restant dans la boîte après le tirage des deux boules.
1.Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X.0.5
2.Montrer que : P(X=0)=136 et P(X=1)=718.1.5
3.Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X et calculer l'espérance mathématique E(X).1
Exercice 4 — Analyse
3 pt(s)
Soit (un) la suite numérique définie par : u0=0 et un+1=1+4un7−2un pour tout n de ℕ.
1.Vérifier que 1−un+1=6(1−un)5+2(1−un) pour tout n de ℕ puis montrer par récurrence que 1−un>0 pour tout n de ℕ.1
2. a)On pose : vn=2un−1un−1 pour tout n de ℕ. Montrer que (vn) est une suite géométrique de raison 56 puis écrire vn en fonction de n.1
2. b)Montrer que : un=(56)n−1(56)n−2 pour tout n de ℕ et en déduire la limite de la suite (un).1
Exercice 5 — Analyse
2 pt(s)
1.Déterminer les fonctions primitives de la fonction x↦2x(x2−1)2009 sur ℝ et vérifier que : ∫1√22x(x2−1)2009 dx=12010.1
2.En utilisant une intégration par parties, montrer que : ∫02(2x+1)ln(x+1) dx=6ln 3−2.1
Exercice 6 — Analyse
6 pt(s)
Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie sur ℝ par : f(x)=x(e2x−1e2x+1), et soit (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O,i,j).
1. a)Vérifier que : f(x)=x(1−e−2x1+e−2x) pour tout x de ℝ.0.5
1. b)Montrer que la fonction f est paire et que f(x)−x=−2xe−2x1+e−2x pour tout x de ℝ.1
1. c)Montrer que : limx→+∞f(x)=+∞ et que limx→+∞−2xe−2x1+e−2x=0 puis en déduire que la droite (D) d'équation y=x est asymptote à la courbe (C) au voisinage de +∞.1
2.Montrer que la courbe (C) est en dessous de la droite (D) sur l'intervalle [0,+∞[.0.5
3. a)Montrer que : f′(x)=e4x−1+4xe2x(e2x+1)2 pour tout x de ℝ et vérifier que f′(0)=0.1
3. b)Montrer que : e4x−1≥0 pour tout x de [0,+∞[ puis en déduire que e4x−1+4xe2x≥0 pour tout x de [0,+∞[.0.5
3. c)Dresser le tableau de variations de la fonction f sur [0,+∞[.0.5
4.Construire la courbe (C) dans le repère (O,i,j) (on admet que la courbe (C) possède deux points d'inflexion dont la détermination n'est pas demandée).1