موضوع وطني
National 2009 · PC · SVT · session rattrapage
C:RS22 · 3 heures · Mathématiques · PC/SVT
Exercice 1 — الهندسة الفضائية
3 pt(s)
نعتبر، في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O,i,j,k)، النقطة A(2,2,−1) و المستوى (P) الذي معادلته هي 2x+y+2z−13=0 و الفلكة (S) التي مركزها Ω(1,0,1) وشعاعها 3.
1. a)بين أن x2+y2+z2−2x−2z−7=0 هي معادلة ديكارتية للفلكة (S) وتحقق من أن A تنتمي إلى (S).0.75
1. b)احسب مسافة النقطة Ω عن المستوى (P) ثم استنتج أن المستوى (P) مماس للفلكة (S).0.75
2. a)ليكن (D) المستقيم المار من النقطة A والعمودي على المستوى (P). بين أن u(2,1,2) متجهة موجهة للمستقيم (D) و أن (6,−6,−3) هو مثلوث إحداثيات المتجهة ΩA∧u.0.75
2. b)احسب ‖ΩA∧u‖‖u‖ ثم استنتج أن المستقيم (D) مماس للفلكة (S) في A.0.75
Exercice 2 — الأعداد العقدية
3 pt(s)
نعتبر، في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O,u,v) ، النقط A و B و C و D التي ألحاقها على التوالي هي : a=3+4i و b=3−4i و c=2+3i و d=5+6i.
1.حل في مجموعة الأعداد العقدية ℂ المعادلة: z2−6z+25=0.1
2. a)احسب d−ca−c ثم استنتج أن النقط A و C و D مستقيمية.0.5
2. b)بين أن العدد p=3+8i هو لحق النقطة P صورة النقطة A بالتحاكي h الذي مركزه B ونسبته 32.0.5
2. c)اكتب على الشكل المثلثي العدد العقدي d−pa−p ثم استنتج أن π4 قياس للزاوية (PA,PD) وأن PA=√2 PD.1
Exercice 3 — حساب الاحتمالات
3 pt(s)
يحتوي صندوق على سبع كرات سوداء و كرتين بيضاوين. (لا يمكن التمييز بين الكرات باللمس) نسحب عشوائيا بالتتابع وبدون إحلال كرتين من الصندوق. ليكن X المتغير العشوائي الذي يربط كل سحبة بعدد الكرات البيضاء المتبقية في الصندوق بعد سحب الكرتين.
1.حدد القيم التي يأخذها المتغير العشوائي X.0.5
2.بين أن: P(X=0)=136 و P(X=1)=718.1.5
3.أعط قانون احتمال المتغير العشوائي X و احسب الأمل الرياضي E(X).1
Exercice 4 — التحليل
3 pt(s)
لتكن (un) المتتالية العددية المعرفة بما يلي : u0=0 و un+1=1+4un7−2un لكل n من ℕ.
1.تحقق من أن 1−un+1=6(1−un)5+2(1−un) لكل n من ℕ ثم بين بالترجع أن 1−un>0 لكل n من ℕ.1
2. a)نضع: vn=2un−1un−1 لكل n من ℕ. بين أن (vn) متتالية هندسية أساسها 56 ثم اكتب vn بدلالة n.1
2. b)بين أن: un=(56)n−1(56)n−2 لكل n من ℕ واستنتج نهاية المتتالية (un).1
Exercice 5 — التحليل
2 pt(s)
1.حدد الدوال الأصلية للدالة x↦2x(x2−1)2009 على ℝ وتحقق من أن: ∫1√22x(x2−1)2009 dx=12010.1
2.باستعمال مكاملة بالأجزاء بين أن: ∫02(2x+1)ln(x+1) dx=6ln 3−2.1
Exercice 6 — التحليل
6 pt(s)
لتكن f الدالة العددية للمتغير الحقيقي x المعرفة على ℝ بما يلي : f(x)=x(e2x−1e2x+1) وليكن (C) المنحنى الممثل للدالة f في معلم متعامد ممنظم (O,i,j).
1. a)تحقق من أن: f(x)=x(1−e−2x1+e−2x) لكل x من ℝ.0.5
1. b)بين أن الدالة f زوجية وأن f(x)−x=−2xe−2x1+e−2x لكل x من ℝ.1
1. c)بين أن: limx→+∞f(x)=+∞ و أن limx→+∞−2xe−2x1+e−2x=0 ثم استنتج أن المستقيم (D) الذي معادلته y=x مقارب للمنحنى (C) بجوار +∞.1
2.بين أن المنحنى (C) يوجد تحت المستقيم (D) على المجال [0,+∞[.0.5
3. a)بين أن: f′(x)=e4x−1+4xe2x(e2x+1)2 لكل x من ℝ وتحقق من أن: f′(0)=0.1
3. b)بين أن: e4x−1≥0 لكل x من [0,+∞[ ثم استنتج أن e4x−1+4xe2x≥0 لكل x من [0,+∞[.0.5
3. c)ضع جدول تغيرات الدالة f على [0,+∞[.0.5
4.أنشئ المنحنى (C) في المعلم (O,i,j) (نقبل أن للمنحنى (C) نقطتي انعطاف تحديدهما غير مطلوب).1