Sujet national
National 2009 · PC · SVT · session normale
C:NS22 · 3 heures · Mathématiques · PC/SVT
Exercice 1 — Géométrie dans l'espace
3 pt(s)
On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O,i,j,k), les points A(−2,2,8), B(6,6,0), C(2,−1,0) et D(0,1,−1), et (S) l'ensemble des points M de l'espace vérifiant MA·MB=0.
1.Déterminer le triplet de coordonnées du vecteur OC∧OD et en déduire que x+2y+2z=0 est une équation cartésienne du plan (OCD).0.75
2.Vérifier que (S) est la sphère de centre Ω(2,4,4) et de rayon 6.0.5
3. a)Calculer la distance du point Ω au plan (OCD).0.5
3. b)En déduire que le plan (OCD) est tangent à la sphère (S).0.5
3. c)Vérifier que : OA·OB=0 puis en déduire que le point O est le point de tangence de la sphère (S) et du plan (OCD).0.75
Exercice 2 — Nombres complexes
3 pt(s)
On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v), les points A, B et C dont les affixes sont respectivement a=2−2i, b=−√32+12i et c=1−√3+(1+√3)i.
1.Écrire sous forme trigonométrique chacun des deux nombres complexes a et b.1
2. a)On considère la rotation R de centre le point O et d'angle 5π6. Soit z l'affixe d'un point M du plan complexe et z′ l'affixe du point M′ image de M par la rotation R. Montrer que : z′=bz.0.75
2. b)Vérifier que le point C est l'image du point A par la rotation R.0.5
3.Montrer que : arg c≡arg a+arg b [2π] puis déterminer une mesure de l'argument du nombre complexe c.0.75
Exercice 3 — Calcul des probabilités
3 pt(s)
Une boîte contient 3 boules blanches, 4 boules noires et 5 boules rouges (indiscernables au toucher). On tire au hasard et simultanément trois boules de la boîte.
1.On considère les deux événements suivants : A : « obtenir trois boules de même couleur » et B : « obtenir trois boules de couleurs différentes deux à deux ». Montrer que : P(A)=344 et P(B)=311.1.5
2. a)Soit X la variable aléatoire qui associe à chaque tirage de trois boules le nombre de couleurs qu'elles portent. Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X.0.25
2. b)Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X et calculer l'espérance mathématique E(X).1.25
Exercice 4 — Analyse
2 pt(s)
On pose : I=∫−2−1xx+3 dx et J=∫−2−1ln(2x+6) dx.
1. a)Vérifier que : xx+3=1−3x+3 pour tout nombre réel x différent de −3.0.25
1. b)Montrer que : I=1−3ln 2.0.75
2.En utilisant une intégration par parties, montrer que : J=−I.1
Problème — Analyse
9 pt(s)
Partie I
I — On considère la fonction numérique f de la variable réelle x telle que : f(x)=2ln(ex−2√ex+2). On note (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O,i,j).
Partie II
II — Soit (un) la suite numérique définie par : u0=1 et un+1=f(un) pour tout n de ℕ, où f est la fonction de la partie I : f(x)=2ln(ex−2√ex+2). On pourra utiliser dans ce qui suit les résultats de l'étude de la fonction f.
1.Vérifier que : ex−2√ex+2=(√ex−1)2+1 pour tout x de ℝ, puis en déduire que l'ensemble de définition de la fonction f est ℝ et que : (∀x∈ℝ) 1−2√ex+2ex>0.0.75
2.Calculer limx→+∞f(x) puis montrer que limx→−∞f(x)=ln 4 et interpréter géométriquement ce dernier résultat.0.75
3. a)Montrer que : f′(x)=2√ex(√ex−1)(√ex−1)2+1 pour tout x de ℝ et vérifier que f′(0)=0.1
3. b)Étudier le signe de √ex−1 sur ℝ et en déduire que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0,+∞[ et décroissante sur l'intervalle ]−∞,0].1
4. a)Vérifier que : (∀x∈ℝ) f(x)=2x+2ln(1−2√ex+2ex).0.25
4. b)Montrer que la droite (D) d'équation y=2x est asymptote à la courbe (C) au voisinage de +∞.0.5
5. a)Vérifier que : ex−3√ex+2=(√ex−1)(√ex−2) pour tout x de ℝ.0.25
5. b)Étudier le signe de chacun des nombres √ex−2 et (√ex−1)(√ex−2) sur ℝ.0.5
5. c)En déduire que : ex−2√ex+2≤√ex pour tout x de l'intervalle [0,ln 4].0.25
5. d)Montrer que : f(x)≤x pour tout x de l'intervalle [0,ln 4].0.5
6.Construire la courbe (C) (on admet que la courbe (C) possède deux points d'inflexion, dont l'un a une abscisse inférieure à −1 et l'autre une abscisse supérieure à 2 ; leur détermination n'est pas demandée, et on prendra ln 4=1,4).0.75
1.Montrer que : 0≤un≤ln 4 pour tout n de ℕ.0.75
2.Montrer que la suite (un) est décroissante.0.75
3.En déduire que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.1