موضوع وطني
National 2009 · PC · SVT · session normale
C:NS22 · 3 heures · Mathématiques · PC/SVT
Exercice 1 — الهندسة الفضائية
3 pt(s)
نعتبر، في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O,i,j,k)، النقط A(−2,2,8) و B(6,6,0) و C(2,−1,0) و D(0,1,−1) و (S) مجموعة النقط M من الفضاء التي تحقق MA·MB=0.
1.حدد مثلوث إحداثيات المتجهة OC∧OD واستنتج أن x+2y+2z=0 هي معادلة ديكارتية للمستوى (OCD).0.75
2.تحقق من أن (S) هي الفلكة التي مركزها Ω(2,4,4) وشعاعها 6.0.5
3. a)احسب مسافة النقطة Ω عن المستوى (OCD).0.5
3. b)استنتج أن المستوى (OCD) مماس للفلكة (S).0.5
3. c)تحقق من أن: OA·OB=0 ثم استنتج أن النقطة O هي نقطة تماس الفلكة (S) والمستوى (OCD).0.75
Exercice 2 — الأعداد العقدية
3 pt(s)
نعتبر، في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O,u,v) ، النقط A و B و C التي ألحاقها على التوالي هي : a=2−2i و b=−√32+12i و c=1−√3+(1+√3)i.
1.اكتب على الشكل المثلثي كلا من العددين العقديين a و b.1
2. a)نعتبر الدوران R الذي مركزه النقطة O وزاويته 5π6. ليكن z لحق نقطة M من المستوى العقدي و z′ لحق النقطة M′ صورة M بالدوران R. بين أن: z′=bz.0.75
2. b)تحقق من أن النقطة C هي صورة النقطة A بالدوران R.0.5
3.بين أن: arg c≡arg a+arg b [2π] ثم حدد عمدة للعدد العقدي c.0.75
Exercice 3 — حساب الاحتمالات
3 pt(s)
يحتوي صندوق على 3 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء و 5 كرات حمراء (لا يمكن التمييز بين الكرات باللمس). نسحب عشوائيا وتآنيا ثلاث كرات من الصندوق.
1.نعتبر الحدثين التاليين: A: « الحصول على ثلاث كرات من نفس اللون » و B: « الحصول على ثلاث كرات مختلفة اللون مثنى مثنى ». بين أن: P(A)=344 و P(B)=311.1.5
2. a)ليكن X المتغير العشوائي الذي يربط كل سحبة لثلاث كرات بعدد الألوان التي تحملها. حدد القيم التي يأخذها المتغير العشوائي X.0.25
2. b)حدد قانون احتمال المتغير العشوائي X و احسب الأمل الرياضي E(X).1.25
Exercice 4 — التحليل
2 pt(s)
نضع : I=∫−2−1xx+3 dx و J=∫−2−1ln(2x+6) dx.
1. a)تحقق من أن: xx+3=1−3x+3 لكل عدد حقيقي x يخالف −3.0.25
1. b)بين أن: I=1−3ln 2.0.75
2.باستعمال مكاملة بالأجزاء بين أن: J=−I.1
Problème — التحليل
9 pt(s)
Partie I
نعتبر الدالة العددية f للمتغير الحقيقي x بحيث : f(x)=2ln(ex−2√ex+2). يرمز (C) للمنحنى الممثل للدالة f في معلم متعامد ممنظم (O,i,j).
Partie II
II) لتكن (un) المتتالية العددية المعرفة بما يلي : u0=1 و un+1=f(un) لكل n من ℕ. يمكنك في ما يلي استعمال نتائج دراسة الدالة f.
1.تحقق من أن: ex−2√ex+2=(√ex−1)2+1 لكل x من ℝ ثم استنتج أن مجموعة تعريف الدالة f هي ℝ وأن: (∀x∈ℝ) 1−2√ex+2ex>0.0.75
2.احسب limx→+∞f(x) ثم بين أن: limx→−∞f(x)=ln 4 و أول هذه النتيجة هندسيا.0.75
3. a)بين أن: f′(x)=2√ex(√ex−1)(√ex−1)2+1 لكل x من ℝ وتحقق من أن f′(0)=0.1
3. b)ادرس إشارة √ex−1 على ℝ واستنتج أن الدالة f تزايدية على المجال [0,+∞[ وتناقصية على المجال ]−∞,0].1
4. a)تحقق من أن: (∀x∈ℝ) f(x)=2x+2ln(1−2√ex+2ex).0.25
4. b)بين أن المستقيم (D) الذي معادلته y=2x مقارب للمنحنى (C) بجوار +∞.0.5
5. a)تحقق من أن: ex−3√ex+2=(√ex−1)(√ex−2) لكل x من ℝ.0.25
5. b)ادرس إشارة كل من √ex−2 و (√ex−1)(√ex−2) على ℝ.0.5
5. c)استنتج أن: ex−2√ex+2≤√ex لكل x من المجال [0,ln 4].0.25
5. d)بين أن: f(x)≤x لكل x من المجال [0,ln 4].0.5
6.أنشئ المنحنى (C) (نقبل أن للمنحنى (C) نقطتي انعطاف أفصول إحداهما أصغر من −1 و أفصول الأخرى أكبر من 2، تحديدهما غير مطلوب، ونأخذ ln 4=1,4).0.75
1.بين أن: 0≤un≤ln 4 لكل n من ℕ.0.75
2.بين أن المتتالية (un) تناقصية.0.75
3.استنتج أن المتتالية (un) متقاربة وحدد نهايتها.1