National 2017 · STE · STM · session normale

Les transformations chimiques permettent de synthétiser des composés organiques et d'étudier des solutions aqueuses moyennant différentes techniques expérimentales, ce qui permet de suivre l'évolution des systèmes chimiques et de déterminer certaines grandeurs caractéristiques. Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie 1 — Synthèse de l'éthanoate de menthyle

Synthèse de l'huile de menthe, l'éthanoate de menthyle. L'huile de menthe contient essentiellement l'éthanoate de menthyle, utilisé en parfumerie et pour le traitement de plusieurs maladies. Cet ester peut être synthétisé à partir du menthol, un alcool, et d'un acide carboxylique (A). Le but de cette partie est d'étudier la synthèse de l'éthanoate de menthyle. Données : un tableau donne la formule simplifiée de chaque composé organique — éthanoate de menthyle : CH₃−COO−C₁₀H₁₉ ; menthol : C₁₀H₁₉−OH ; acide carboxylique (A) : R−COOH. On prépare, à l'instant t₀=0, huit tubes à essais numérotés de 1 à 8 et on introduit dans chacun d'eux n₁=0,10 mol d'acide carboxylique (A), n₂=0,10 mol de menthol et quelques gouttes d'acide sulfurique concentré. On trempe, en même temps, les huit tubes dans un bain-marie à la température constante 70 °C et on déclenche le chronomètre ; le dosage d'acide restant dans chaque tube, à intervalles de temps réguliers, permet de déterminer la quantité de matière d'ester formé. On modélise la réaction d'estérification entre l'acide carboxylique (A) et le menthol par l'équation chimique R−COOH_(ℓ) + C₁₀H₁₉−OH_(ℓ)⇌CH₃−COO−C₁₀H_19(ℓ) + H₂O_(ℓ). Au premier intervalle de temps, on retire le tube 1 du bain-marie et on le trempe dans de l'eau glacée, puis on dose l'acide restant dans le système chimique par une solution aqueuse d'hydroxyde de sodium Na⁺_(aq) + HO⁻_(aq) de concentration molaire C_B=1,0 mol·L⁻¹ en présence d'un indicateur coloré approprié ; le volume ajouté à l'équivalence est V_B,E=68 mL. Le dosage de l'acide restant dans les autres tubes à essais a permis de tracer la courbe d'évolution de l'avancement de la réaction d'estérification en fonction du temps, page 9 du sujet, sachant que le volume du système chimique est V=23 mL.

Partie 2 — Réaction entre deux couples acide / base

Cette partie vise à déterminer le sens d'évolution d'un système chimique. On mélange le même volume V₀ d'une solution aqueuse d'acide éthanoïque CH₃CO₂H_(aq) et d'une solution aqueuse de benzoate de sodium C₆H₅CO₂⁻_(aq) + Na⁺_(aq) ; les deux solutions ont la même concentration molaire C₀. Données : K_A1=K_A(CH₃CO₂H_(aq)/CH₃CO₂⁻_(aq))=1,8·10⁻⁵ ; K_A2=K_A(C₆H₅CO₂H_(aq)/C₆H₅CO₂⁻_(aq))=6,3·10⁻⁵. La valeur du quotient de réaction du système chimique à l'état initial est Q_r,i=1.

La diffraction et la dispersion de la lumière sont deux phénomènes rencontrés dans la vie courante. Ces phénomènes permettent d'expliquer la nature de la lumière, de donner des informations sur les milieux de propagation et de déterminer certaines grandeurs caractéristiques. Donnée : vitesse de propagation de la lumière dans le vide c=3·10⁸ m·s⁻¹.

Partie 1 — Propagation de la lumière à travers un prisme

Une lumière rouge monochromatique, de longueur d'onde dans le vide λ_0R=768 nm, arrive sur un prisme en verre ; l'indice du verre pour cette radiation est n_R=1,618. Deux questions se traitent en recopiant le numéro de la question et la lettre de la proposition vraie : pour la fréquence ν_R de la lumière rouge, les propositions sont a ν_R=2,41·10¹⁴ Hz, b ν_R=3,91·10¹⁴ Hz, c ν_R=2,41·10¹⁶ Hz, d ν_R=4,26·10¹⁶ Hz ; pour la vitesse v_R de propagation de la lumière rouge dans le verre, les propositions sont a v_R=1,20·10⁸ m·s⁻¹, b v_R=1,55·10⁸ m·s⁻¹, c v_R=1,85·10⁸ m·s⁻¹, d v_R=1,90·10⁸ m·s⁻¹. Lorsqu'une lumière violette monochromatique de longueur d'onde dans le vide λ_0V=434 nm arrive sur le même prisme, sa vitesse de propagation dans le verre est v_V=1,81·10⁸ m·s⁻¹.

Partie 2 — Propagation de la lumière à travers une fente

On réalise la diffraction de la lumière en utilisant un laser qui donne une lumière monochromatique de longueur d'onde λ dans l'air ; cette lumière traverse une fente de largeur a réglable, et on obtient une figure de diffraction sur un écran situé à une distance de la fente. On mesure l'écart angulaire θ pour différentes valeurs a de la largeur de la fente ; la courbe du sujet représente les variations de θ en fonction de 1a : c'est une droite montante qui part de l'origine des axes et traverse tout le quadrillage jusqu'au coin supérieur droit. L'axe des ordonnées θ, en radians, porte la graduation 1,1·10⁻³ sur son deuxième trait, et l'axe des abscisses 1a, en m⁻¹, les graduations 0 et 2,5·10³, cette dernière sur son premier trait. La valeur de la longueur d'onde se choisit ensuite parmi a λ=400 nm, b λ=440 nm, c λ=680 nm, d λ=725 nm.

Un ensemble de circuits électriques et électroniques comportent des condensateurs et des bobines. Le comportement de ces circuits diffère selon l'effet imposé par ces composants. Le but de cet exercice est d'étudier un circuit RLC série dans différents cas. On réalise le montage expérimental représenté sur la figure 1, qui comporte un générateur idéal de tension de force électromotrice E=6 V, un condensateur de capacité C, un conducteur ohmique de résistance R, une bobine b d'inductance L et de résistance r, et un interrupteur K. Sur la figure 1, le conducteur ohmique R est en haut à gauche, l'interrupteur K est en haut au milieu avec ses deux positions notées (1) et (2), le générateur E occupe la branche de gauche, la branche centrale porte le condensateur C et la branche de droite la bobine (L, r).

Partie 1 — Énergie emmagasinée dans le condensateur

On place l'interrupteur dans la position (1), le condensateur se charge totalement, et sa charge maximale est Q_max=1,32·10⁻⁴ C.

Partie 2 — Décharge du condensateur dans trois bobines

On réalise trois expériences en utilisant trois bobines différentes b₁, b₂ et b₃ dont les caractéristiques sont b₁(L₁=260 mH ; r₁=0), b₂(L₂=115 mH ; r₂=0) et b₃(L₃ ; r₃=10 Ω). Dans chaque expérience, on charge totalement le condensateur et on le décharge dans l'une des trois bobines. La figure 2 rassemble TROIS graphes séparés, posés côte à côte et légendés « Courbe (a) », « Courbe (b) » et « Courbe (c) », qui représentent les variations de la tension u_C(t) aux bornes du condensateur. La courbe (a) est une sinusoïde d'amplitude constante qui part d'un maximum positif et décrit trois oscillations entières sur la largeur de son graphe ; la courbe (b) est aussi une sinusoïde d'amplitude constante, mais de période plus longue — deux oscillations seulement ; la courbe (c) part du même maximum et oscille en s'amortissant nettement, ses sommets s'abaissant d'une alternance à la suivante. Sur chacun des trois graphes, l'axe des ordonnées u_C, en volts, porte les graduations 0 et 3, et l'axe des abscisses t, en millisecondes, la graduation 5, portée par son premier trait.

Partie 3 — Circuit LC idéal

On considère le cas de la décharge du condensateur à travers la bobine b₂(L₂=115 mH ; r₂=0) ; dans ce cas le circuit LC est idéal, et la solution de l'équation différentielle s'écrit u_C(t)=U_Cmaxcos(2πT₀ t + φ).

Partie 4 — Entretien des oscillations

On considère le cas de la décharge du condensateur à travers la bobine b₃(L₃ ; r₃=10 Ω). Pour entretenir les oscillations électriques, on ajoute au circuit un générateur qui délivre une tension proportionnelle à l'intensité du courant, u_g=k i(t), où k est une constante positive ; on obtient des oscillations électriques sinusoïdales de période T=10 ms.

Les types de mouvements que subissent les systèmes mécaniques sont nombreux et diffèrent selon les actions exercées sur ces systèmes. Les lois de Newton permettent l'étude de l'évolution de ces systèmes. Cet exercice vise l'étude de deux types de mouvement et la détermination de certaines grandeurs qui les caractérisent.

Partie 1 — Mouvement d'un solide sur un plan horizontal

Un solide (S) de centre d'inertie G et de masse m=0,4 kg glisse avec frottement sur un plan horizontal OAB. On modélise les frottements par une force f constante, de direction parallèle à la trajectoire et de sens contraire à celui du mouvement. Pour étudier le mouvement de (S), on choisit un repère (O,i) lié à la Terre considéré comme galiléen. Le solide (S) est soumis, lors de son mouvement entre O et A, à une force motrice F constante, horizontale, ayant le sens du mouvement (figure 1). La figure 1 est une droite horizontale portant, de la gauche vers la droite, le point O avec le vecteur unitaire i, le solide (S) dessiné en petit carré avec la force F fléchée vers la droite, puis le point A, puis le point B. On choisit l'instant de départ de (S), à partir de O, sans vitesse initiale, comme origine des dates t₀=0 ; le solide (S) passe par A à l'instant t_A=2 s avec la vitesse v_A=5 m·s⁻¹. La force F s'annule lorsque le solide (S) passe par A ; le solide continue son mouvement et s'arrête en B. On choisit l'instant de passage de (S) par A comme nouvelle origine des dates t₀=0, et le solide (S) s'arrête en B à l'instant t_B=2,5 s.

Partie 2 — Mouvement d'un oscillateur solide-ressort

On fixe le solide (S) précédent, de masse m=0,4 kg, à un ressort horizontal à spires non jointives, de masse négligeable et de raideur K (figure 2). La figure 2 montre le ressort tendu horizontalement entre un mur hachuré à gauche et le solide (S) à droite, sur lequel est marqué son centre G ; sous le solide, l'axe horizontal porte x′ à gauche, l'origine O et le vecteur unitaire i au milieu, et x à droite. On écarte le solide (S) de sa position d'équilibre d'une distance X_m et on le libère sans vitesse ; on repère la position du centre d'inertie G par l'abscisse x sur l'axe (O,i), et on choisit l'instant de passage de G par la position d'équilibre, avec la vitesse v₀, dans le sens positif, comme origine des dates t₀=0. On prendra π²=10. La courbe de la figure 3 représente les variations de l'abscisse x(t) du centre d'inertie G.