National 2019 · SP · session normale

Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie 1 — Électrolyse d'une solution d'iodure de zinc

On réalise l'électrolyse d'une solution aqueuse d'iodure de zinc Zn²⁺_(aq)+2I⁻_(aq), en utilisant deux électrodes A et B en graphite. On observe un dégagement du gaz diiode au niveau d'une électrode et la formation d'un dépôt de zinc au niveau de l'autre électrode. La figure représente le schéma du dispositif expérimental utilisé pour réaliser cette électrolyse : un générateur G, dont la borne + est à gauche et la borne − à droite, alimente deux électrodes plongées dans les deux branches d'un tube en U contenant la solution d'iodure de zinc ; l'électrode B est celle de la branche de gauche, reliée à la borne +, et l'électrode A celle de la branche de droite, reliée à la borne −. Données : 1 F=9,65×10⁴ C.mol⁻¹ ; les deux couples mis en jeu sont Zn²⁺_(aq)/Zn_(s) et I_2(g)/I⁻_(aq) ; la masse molaire du zinc M(Zn)=65,4 g.mol⁻¹. Pendant la durée Δt de l'électrolyse, un courant électrique d'intensité constante I=0,5 A circule dans le circuit et il se forme un dépôt de zinc de masse m=1,6 g.

Partie 2 — Étude conductimétrique d'une solution d'acide benzoïque

L'acide benzoïque de formule C₆H₅COOH est connu comme conservateur alimentaire présent dans les boissons gazeuses ; il a également des propriétés antiseptiques, ce qui explique aussi son utilisation comme médicament. Cette partie se propose de déterminer le pK_A du couple C₆H₅COOH_(aq)/C₆H₅COO⁻_(aq) par une étude conductimétrique. Données : les conductivités molaires ioniques à 25 ^∘C sont λ₁=λ(H₃O⁺)=35×10⁻³ S.m².mol⁻¹ et λ₂=λ(C₆H₅COO⁻)=3,23×10⁻³ S.m².mol⁻¹ ; on rappelle l'expression de la conductivité σ d'une solution aqueuse en fonction des concentrations molaires effectives des espèces ioniques X_i présentes en solution et des conductivités molaires ioniques, σ=∑λ_i [X_i]. On prépare, à 25 ^∘C, une solution aqueuse S d'acide benzoïque de concentration C=10⁻³ mol.L⁻¹ et de volume V=1 L ; la mesure de la conductivité de la solution S donne σ=8,6×10⁻³ S.m⁻¹.

Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie 1 — Propagation d'une onde mécanique

Pour étudier la propagation des ondes mécaniques à la surface de l'eau, on utilise une cuve à ondes ; le but de cette partie est de déterminer quelques grandeurs caractéristiques d'une onde mécanique. À l'aide d'un vibreur d'une cuve à ondes, on crée en un point S de la surface libre de l'eau une onde progressive sinusoïdale de fréquence N=20 Hz ; cette onde se propage à t=0 à partir du point S, sans amortissement et sans réflexion. La figure représente une coupe, dans un plan vertical, d'une partie de la surface de l'eau à l'instant de date t₁.

Partie 2 — Désintégration du radon 222

Le radon, de symbole Rn, est un gaz rare naturellement présent dans l'atmosphère ; il est issu par décompositions successives de l'uranium présent dans les roches granitiques. L'isotope 222 du radon est radioactif, et on se propose d'étudier dans cette partie la désintégration nucléaire de cet isotope. Données : la demi-vie du radon 222 est t_1/2=3,8 jours ; énergies de liaison par nucléon — hélium ⁴₂He 7,07, radon ²²²₈₆Rn 7,69, polonium ²¹⁸₈₄Po 7,73 MeV par nucléon. L'équation de désintégration du radon 222 s'écrit ²²²₈₆Rn→²¹⁸₈₄Po+⁴₂He, et la question sur l'énergie libérée est à choix multiple, entre 7,11, 22,56, 6,24 et 3420,6 MeV.

Charge et décharge d'un condensateur. Les condensateurs et les bobines sont des composants essentiels de nombreux appareils électriques tels ceux utilisés pour l'émission et la réception des ondes électromagnétiques ; cet exercice se propose d'étudier la charge d'un condensateur et sa décharge dans une bobine. On réalise le montage électrique schématisé sur la figure 1, constitué des éléments suivants : un générateur idéal de tension de force électromotrice E=10 V ; un condensateur de capacité C initialement déchargé ; un conducteur ohmique de résistance R ; une bobine d'inductance L et de résistance négligeable ; un interrupteur K à double position. Sur ce schéma, le générateur E et le conducteur ohmique R sont en série ; l'interrupteur K relie le condensateur C soit à la position (1), qui le charge à travers R, soit à la position (2), qui le branche sur la bobine L ; la tension aux bornes du condensateur est notée u_c.

Partie I — Charge du condensateur

On met l'interrupteur K sur la position (1) à un instant choisi comme origine des dates (t=0). Un système d'acquisition informatisé adéquat permet de tracer la courbe d'évolution de la charge q(t) du condensateur, et la droite (T) représente la tangente à la courbe à la date t=0 (figure 2) : l'axe des ordonnées porte q en microcoulombs, gradué 25, 50, 75 et 100 ; l'axe des abscisses porte le temps en millisecondes, gradué 0, 1, 2, 3 et 4 ; la courbe part de l'origine, croît et tend vers une asymptote horizontale à 100 μC, et la tangente (T) à l'origine, tracée en pointillés, coupe cette asymptote à la date 1 ms.

Partie II — Oscillations électriques dans le circuit LC

Une fois que le régime permanent est établi, on bascule l'interrupteur K en position (2) à un instant choisi comme nouvelle origine des dates (t=0) ; on visualise, à l'aide d'un dispositif adéquat, les variations de la tension u_c aux bornes du condensateur en fonction du temps. L'une des trois courbes (a), (b) ou (c) de la figure 3 représente, pour cette expérience, l'évolution de la tension u_c(t) ; les trois portent en ordonnée u_c en volts, gradué −10, −5, 0, 5 et 10, et en abscisse le temps en millisecondes, avec les graduations 10 et 20 imprimées et un quadrillage principal de 5 ms. La courbe (a) part de 10 V à t=0 et oscille en s'amortissant, son premier minimum valant environ −6,3 V vers 10 ms et son maximum suivant environ 3,7 V vers 20 ms. La courbe (b) part de 10 V à t=0 avec une tangente horizontale et oscille sans amortissement entre +10 et −10 V, son minimum étant à 10 ms et son maximum suivant à 20 ms. La courbe (c) part de 0 V à t=0 en descendant, atteint −10 V vers 5 ms, +10 V vers 15 ms, et oscille elle aussi sans amortissement entre +10 et −10 V. Pour la question sur l'inductance, on prend π²=10.

Étude du mouvement du centre d'inertie d'un système mécanique. Le saut en longueur à moto est une épreuve sportive de performance où il y a un véritable défi de sauter le plus loin à partir d'un espace défini ; cet exercice se propose d'étudier le mouvement du centre d'inertie G d'un système (S) formé d'un motard et d'une moto se déplaçant sur une piste de compétition. Cette piste est formée d'une partie rectiligne A′B′ inclinée d'un angle β par rapport à l'horizontale, d'un tremplin B′C′ circulaire, et d'une zone d'atterrissage (π) plane et horizontale (figure 1). La figure la montre en coupe : la moto, de centre d'inertie G, descend la pente depuis A, l'angle β étant marqué entre la pente et l'horizontale ; le repère (A,i) est parallèle à A′B′ ; le tremplin remonte de B′ à C′ ; au point C le repère orthonormé (C,i₁,j₁) est dessiné, i₁ horizontal et j₁ vertical, avec le vecteur vitesse V_C faisant l'angle α avec l'horizontale ; la trajectoire en pointillés décrit ensuite une parabole jusqu'au point P, situé sur la zone d'atterrissage (π). Dans tout l'exercice, les frottements sont négligés et l'étude du mouvement du centre d'inertie G est réalisée dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen. Données : l'angle β=10^∘ ; intensité de la pesanteur g=10 m.s⁻² ; masse du système (S) m=190 kg.

Partie I — Mouvement sur le plan incliné

Étude du mouvement sur la partie A′B′. À un instant choisi comme origine des dates (t=0), le système (S) s'élance sans vitesse initiale, d'une position où le centre d'inertie G est confondu avec le point A. Le système est soumis, au cours de son mouvement sur la partie A′B′, à la réaction du plan incliné, à son poids et à une force motrice F constante, dont la ligne d'action est parallèle à la trajectoire de G et le sens celui du mouvement ; pour étudier le mouvement de G au cours de cette phase, on choisit un repère d'espace (A,i) parallèle à A′B′ (figure 1) et on repère la position de G par son abscisse x. La courbe de la figure 2 représente les variations de la vitesse instantanée V_G du centre d'inertie G en fonction du temps : l'axe des ordonnées porte V_G en m.s⁻¹, gradué 0, 3, 6 et 9 ; l'axe des abscisses porte le temps en secondes, gradué 0,5, 1, 1,5 et 2 ; la courbe est une droite qui passe par l'origine et par le point (2 s ; 9 m.s⁻¹). On donne enfin AB=36 m.

Partie II — Mouvement lors de la phase du saut

À un instant choisi comme nouvelle origine des dates (t=0), le système (S) quitte le tremplin lors du passage de G par le point C avec une vitesse V_C formant un angle α=18^∘ avec l'horizontale ; (S) retombe en une position où le point G se confond avec le point P. On suppose que le système n'est soumis qu'à son poids au cours de cette phase, et l'étude du mouvement est effectuée dans le repère orthonormé (C,i₁,j₁) indiqué sur la figure 1. Les expressions numériques des équations horaires du mouvement de G s'écrivent x_G(t)=19,02 t et y_G(t)=−5 t²+6,18 t, x_G et y_G étant exprimées en mètres et t en secondes. On considère qu'un saut est réussi si la condition CP≥30 m est vérifiée.