National 2017 · SP · session normale

Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I — La pile aluminium-cuivre

Les piles électrochimiques fonctionnent selon le principe suivant : au cours de leur fonctionnement, une partie de l'énergie chimique produite par des réactions spontanées est transformée en énergie électrique. On réalise la pile aluminium-cuivre comme suit : on plonge une électrode de cuivre dans un bécher contenant le volume V=65 mL d'une solution aqueuse de sulfate de cuivre Cu²⁺_(aq)+SO₄²⁻_(aq) de concentration molaire initiale en ions cuivriques [Cu²⁺_(aq)]_i=6,5×10⁻¹ mol.L⁻¹ ; on plonge une électrode d'aluminium dans un autre bécher contenant le même volume V=65 mL d'une solution aqueuse de sulfate d'aluminium 2Al³⁺_(aq)+3SO₄²⁻_(aq) de concentration molaire initiale en ions aluminium [Al³⁺_(aq)]_i=6,5×10⁻¹ mol.L⁻¹ ; on relie les deux solutions par un pont salin et on monte en série, entre les deux pôles de la pile, un conducteur ohmique, un ampèremètre et un interrupteur. À la fermeture du circuit, un courant d'intensité constante y circule. Données : les couples mis en jeu sont Cu²⁺_(aq)/Cu_(s) et Al³⁺_(aq)/Al_(s) ; la constante de Faraday 1 F=9,65×10⁴ C.mol⁻¹ ; la constante d'équilibre associée à la réaction 3Cu²⁺_(aq)+2Al_(s)⇌3Cu_(s)+2Al³⁺_(aq), écrite dans le sens (1), est K=10²⁰⁰.

Partie II — Réactions de l'acide butanoïque

L'acide butanoïque C₃H₇COOH est utilisé pour préparer des produits cosmétiques et des arômes alimentaires ; on se propose d'étudier la réaction entre l'acide butanoïque et l'eau, puis de comparer les actions de cet acide et de l'anhydride butanoïque sur l'éthanol C₂H₅OH. 1 — Réaction de l'acide butanoïque avec l'eau : on prépare dans un laboratoire de chimie une solution aqueuse d'acide butanoïque de volume V et de concentration molaire C=1,0×10⁻² mol.L⁻¹ ; le pH de cette solution est pH=3,41. On modélise la transformation produite par l'équation chimique C₃H₇COOH_(aq)+H₂O_(l)⇌C₃H₇COO⁻_(aq)+H₃O⁺_(aq). 2 — Réactions de l'acide butanoïque et de son anhydride sur l'éthanol : pour comparer la réaction de l'acide butanoïque et la réaction de son anhydride sur l'éthanol, on réalise séparément deux expériences à la même température. Première expérience : on introduit dans un ballon la quantité n₀=0,3 mol d'éthanol, la même quantité n₀ d'acide butanoïque et quelques gouttes d'acide sulfurique concentré, puis on chauffe à reflux le mélange ; une réaction d'estérification se produit. Deuxième expérience : on introduit dans un autre ballon la quantité n₀=0,3 mol d'anhydride butanoïque et la même quantité n₀ d'éthanol, puis on chauffe à reflux le mélange ; une réaction chimique se produit. Les courbes (1) et (2) de la figure représentent respectivement l'évolution temporelle de l'avancement de la réaction lors de la première et de la deuxième expérience : l'axe des ordonnées porte l'avancement x en moles, gradué 0,1, 0,2 et 0,3 ; l'axe des abscisses porte le temps en minutes, gradué 20 et 40, le quadrillage principal valant 10 min ; la courbe (2) monte très vite vers son palier, la courbe (1) bien plus lentement vers le sien.

Propagation d'une onde mécanique à la surface de l'eau. On crée, à l'instant t=0, en un point S de la surface de l'eau, une onde mécanique progressive sinusoïdale de fréquence N=50 Hz. Les quatre questions de cet exercice sont à choix multiple : le sujet demande de recopier le numéro de la question et d'écrire à côté, parmi les quatre réponses proposées, la réponse juste sans aucune justification ni explication. La figure représente une coupe verticale de la surface de l'eau à un instant t, et la règle graduée dessinée sur le schéma indique l'échelle utilisée : la source S est au centre du schéma, la surface porte quatre crêtes disposées symétriquement deux à deux de part et d'autre de S, une règle graduée au millimètre court juste sous la surface, et un segment repère marqué 1 cm est tracé en bas à droite ; à cette échelle, deux crêtes consécutives d'un même côté de S sont distantes de 4 cm. Pour la dernière question, on considère un point M de la surface de l'eau éloigné de la source S d'une distance SM=6 cm, qui reprend le même mouvement que celui de S avec un retard temporel τ.

Nous utilisons quotidiennement des appareils électriques et électroniques qui contiennent des circuits comprenant des conducteurs ohmiques, des bobines, des condensateurs et des circuits intégrés réalisant des opérations mathématiques ou logiques. L'objectif de cet exercice est d'étudier dans sa première partie l'établissement et la rupture du courant dans un dipôle RL, et dans sa deuxième partie la modulation d'amplitude. Les deux parties sont indépendantes.

Partie I — Réponse d'un dipôle RL à un échelon de tension

Le montage électrique schématisé sur la figure 1 comporte : un générateur idéal de tension de force électromotrice E=6,5 V ; une bobine d'inductance L et de résistance r ; un conducteur ohmique de résistance R=60 Ω ; un interrupteur K à double position. Sur ce schéma, le générateur E est branché entre les bornes N et P, l'interrupteur K relie P soit à la position (1), qui ferme la maille du générateur sur la bobine (L,r) et le conducteur ohmique R en série, soit à la position (2), qui court-circuite le générateur et laisse la bobine se décharger dans R ; le courant i est orienté de N vers P dans la branche du générateur. Dans une première étape, on étudie l'établissement du courant dans la bobine en mettant l'interrupteur K sur la position (1). Dans une deuxième étape, on étudie la rupture du courant : lorsque le régime permanent est atteint, on bascule à un instant t=0 l'interrupteur K sur la position (2), et avec un système informatisé d'acquisition on obtient la courbe de la figure 2, qui représente les variations de la tension u_R(t) aux bornes du conducteur ohmique, la droite (T) étant la tangente à la courbe à l'origine des temps. Sur cette figure, l'axe des ordonnées porte u_R en volts, gradué 0, 2, 4 et 6 ; l'axe des abscisses porte le temps en millisecondes, gradué 2, 4, 6 et 8, le quadrillage principal valant 2 ms ; la courbe part de 6 V à t=0 et décroît en tendant vers zéro, et la tangente (T) à l'origine, tracée en pointillés, coupe l'axe des temps à la date 2,8 ms.

Partie II — Modulation d'amplitude

Pour étudier la modulation d'amplitude et vérifier la qualité de la modulation, au cours d'une séance de TP le professeur a utilisé avec ses élèves un circuit intégré multiplieur (X), en appliquant une tension sinusoïdale u₁(t)=P_mcos(2πF_p t) à son entrée E₁ et une tension u₂(t)=U₀+s(t) à son entrée E₂, avec U₀ la composante continue de la tension et s(t)=S_mcos(2πf_s t) la tension modulante (figure 3, un schéma qui montre le multiplieur X recevant u₁(t) en E₁ et u₂(t) en E₂ et délivrant u_S(t) à sa sortie S, la masse étant commune). La courbe de la figure 4 représente la tension de sortie u_S(t)=k u₁(t) u₂(t), visualisée par les élèves sur l'écran d'un oscilloscope, k étant une constante positive caractérisant le multiplieur X. Sur cette figure, l'axe des ordonnées porte u_S en volts, gradué de −3 à 3 de une en une unité ; l'axe des abscisses porte le temps en millisecondes, les graduations 5 et 15 étant imprimées ; la courbe est une porteuse rapide dont l'amplitude est modulée par une enveloppe lente.

Les deux parties sont indépendantes.

Partie I — Mouvement d'un skieur avec frottements

Un skieur glisse sur une piste de ski constituée de deux parties : une partie A′B′ rectiligne et inclinée d'un angle α par rapport à l'horizontale, et une partie B′C′ rectiligne et horizontale. La figure les montre en coupe : le plan incliné descend de A′ vers B′, le repère (A,i′,j′) y est attaché avec i′ le long de la ligne de plus grande pente, le skieur, de centre d'inertie G, y glisse vers le bas, et le plan horizontal B′C′ prolonge le premier avec le repère (B,i) ; l'angle α est marqué entre le plan incliné et l'horizontale. Données : g=9,8 m.s⁻² ; masse totale du skieur et de ses accessoires m=65 kg ; angle d'inclinaison α=23^∘ ; on néglige la résistance de l'air. 1 — Étude du mouvement sur le plan incliné : on étudie le mouvement du centre d'inertie G du système (S), constitué par le skieur et ses accessoires, dans le repère (A,i′,j′) lié à un référentiel terrestre considéré galiléen ; le système (S) se met en mouvement sans vitesse initiale depuis le point A, confondu avec G à l'instant t=0, origine des dates ; le mouvement de G se fait suivant la ligne de plus grande pente du plan incliné AB (avec AB=A′B′) ; le contact entre le plan incliné et le système (S) se fait avec frottements, la force de frottements étant constante d'intensité f=15 N. 2 — Étude du mouvement sur le plan horizontal : le système (S) continue son mouvement sur le plan horizontal B′C′ pour s'arrêter à la position C′ ; le contact se fait avec frottements, la force de frottements étant constante d'intensité f′ ; le mouvement de G est étudié dans le repère horizontal (B,i) lié à un référentiel terrestre considéré galiléen, et le centre d'inertie G passe par le point B avec une vitesse de 90 km.h⁻¹ à un instant considéré comme nouvelle origine des dates.

Partie II — Étude énergétique d'un pendule de torsion

Historiquement, Cavendish a utilisé le pendule de torsion pour déterminer la valeur de G, la constante d'attraction universelle ; ce type de pendule est utilisé parfois pour déterminer la constante de torsion des matériaux solides et déformables. Un pendule de torsion est constitué d'un fil en acier vertical, de constante de torsion C, et d'une tige AB homogène de moment d'inertie J_Δ par rapport à un axe vertical (Δ) confondu avec le fil et passant par le centre d'inertie G de la tige (une figure montre le fil en acier suspendu à un support horizontal (Δ), la tige AB accrochée en son milieu G et tournée d'un angle θ par rapport à sa position d'équilibre, le sens positif étant indiqué). On écarte la tige horizontalement, dans le sens positif, d'un angle θ_m=0,8 rad par rapport à sa position d'équilibre et on la lâche sans vitesse initiale à un instant t=0 ; on repère la position de la tige à chaque instant par l'abscisse angulaire θ par rapport à la position d'équilibre. On étudie le mouvement du pendule dans un référentiel terrestre considéré galiléen ; on considère la position d'équilibre du pendule comme référence de l'énergie potentielle de torsion et le plan horizontal passant par G comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur, et on néglige tout frottement. La courbe de la figure représente les variations de l'énergie cinétique E_C du pendule en fonction de l'angle θ : l'axe des ordonnées porte E_C en millijoules, gradué de 2 en 2 de 2 à 14 ; l'axe des abscisses porte θ en radians, gradué de −0,8 à 0,8 de 0,2 en 0,2 ; la courbe est une parabole tournée vers le bas, de sommet 16 mJ en θ=0, qui s'annule en θ=−0,8 et en θ=0,8 rad.