National 2016 · SP · session rattrapage

Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I — Électrolyse du chlorure de magnésium

On réalise l'électrolyse, pendant Δt=10 h, du chlorure de magnésium Mg²⁺+2Cℓ⁻ à haute température, par un générateur fournissant un courant constant d'intensité I=6 A. Au cours de cette électrolyse, le métal magnésium se dépose sur l'une des électrodes et sur l'autre se dégage le gaz dichlore. Données : les deux couples mis en jeu sont Mg²⁺/Mg et Cℓ_2(g)/Cℓ⁻ ; la constante de Faraday F=9,65×10⁴ C.mol⁻¹ ; le volume molaire du gaz dans les conditions de l'expérience V_M=68,6 L.mol⁻¹ ; la masse molaire du magnésium M(Mg)=24,3 g.mol⁻¹.

Partie II — Réactions de l'éthanoate d'éthyle

1 — Réaction de l'éthanoate d'éthyle avec l'eau : on mélange dans un ballon 1 mol d'éthanoate d'éthyle pur avec 1 mol d'eau distillée, on ajoute quelques gouttes d'acide sulfurique concentré et on chauffe à reflux le mélange réactionnel pendant un certain temps ; une réaction chimique se produit, et à l'équilibre il reste 0,67 mol d'éthanoate d'éthyle. 2 — Réaction de l'éthanoate d'éthyle avec l'hydroxyde de sodium : on introduit, à la date t=0, la quantité de matière n₀ d'éthanoate d'éthyle dans un bécher contenant la même quantité de matière n₀ d'hydroxyde de sodium Na⁺_(aq)+HO⁻_(aq) de concentration c₀=10 mol.m⁻³ et de volume V₀ ; on considère que le mélange réactionnel obtenu a un volume V≈V₀=10⁻⁴ m³. L'équation associée à la réaction chimique s'écrit C₄H₈O_2(ℓ)+HO⁻_(aq)⟶A⁻_(aq)+B_(aq). On suit l'évolution de la réaction en mesurant la conductivité σ du mélange réactionnel à des instants différents. Le graphe donne σ(t) ainsi que la tangente (T) à l'origine.

Le noyau de sodium ²⁴₁₁Na se désintègre en noyau de magnésium ²⁴₁₂Mg avec production d'une particule X. Lorsque le noyau de magnésium 24 est dans l'état excité, sa transition vers l'état fondamental s'accompagne de l'émission d'un rayonnement électromagnétique ; le diagramme d'énergie imprimé par le sujet porte deux niveaux horizontaux sur un axe E en MeV : le niveau ²⁴₁₂Mg^* à 1,37 MeV et le niveau fondamental ²⁴₁₂Mg à 0, une flèche en pointillés descendant du premier vers le second. Données : constante de Planck h=6,62×10⁻³⁴ J.s ; masse de ²⁴₁₁Na 23,98493 u ; masse de ²⁴₁₂Mg 23,97846 u ; masse de l'électron 0,00055 u ; masse du proton 1,00728 u ; masse du neutron 1,00866 u ; 1 u=931,5 MeV.c⁻² ; 1 MeV=1,6×10⁻¹³ J.

Les parties I et II sont indépendantes. On doit à M. Faraday (1791-1867) la découverte de l'induction électromagnétique ; par ce phénomène, une bobine se comporte comme un conducteur ohmique en régime permanent, et différemment en régime variable. L'objectif de cet exercice est d'étudier dans un premier temps l'établissement du courant dans un dipôle RL, puis dans un deuxième temps la réception d'une onde modulée en amplitude.

Partie I — Dipôle RL — établissement du courant

On réalise le circuit électrique schématisé sur la figure 1, qui comporte : un générateur de tension de f.é.m. E=12 V ; une bobine d'inductance L et de résistance négligeable ; deux conducteurs ohmiques de résistance R=40 Ω et r ; un interrupteur K. Sur ce schéma, le générateur E et le conducteur ohmique r sont en série entre les bornes N et P, l'interrupteur K est en tête de la maille, et la bobine L puis le conducteur ohmique R sont en série ; l'entrée A du système d'acquisition est prise entre K et la bobine, l'entrée B entre la bobine et R, la borne N étant à la masse. On ferme l'interrupteur K à l'instant t=0 ; avec un système d'acquisition informatisé, on enregistre les courbes (C₁) et (C₂) représentant les tensions des voies A et B (figure 2). Sur cette figure, l'axe des ordonnées porte la tension en volts, gradué de 2 en 2 de 2 à 12 ; l'axe des abscisses porte le temps en millisecondes, gradué 3, 6 et 9, le quadrillage principal valant 3 ms ; la courbe (C₁) part de 12 V à t=0 et décroît vers l'asymptote 10 V, la courbe (C₂) part de 0 et croît vers la même asymptote 10 V ; la tangente à l'origine de (C₂), tracée en pointillés, coupe cette asymptote à la date 3 ms.

Partie II — Réception d'une onde modulée en amplitude

Pour recevoir une onde radio, modulée en amplitude, de fréquence f₀=594 kHz, on utilise le dispositif simplifié représenté par le schéma de la figure 3. Ce schéma montre trois blocs en cascade : la partie 1, une antenne suivie d'une bobine d'inductance L₁ en parallèle avec un condensateur de capacité C variable ; la partie 2, une diode D suivie d'un condensateur C₂ en parallèle avec un conducteur ohmique R₂, la masse M étant prise après la diode ; la partie 3, un condensateur C₃ en série suivi d'un conducteur ohmique R₃. Les questions de cette partie sont à choix multiple : le sujet demande de préciser, sans aucune justification, la réponse juste parmi celles proposées. Données de la partie 1 : L₁=1,44 mH, résistance négligeable. Données de la partie 2 : C₂=50 nF, et la moyenne des fréquences des ondes sonores est 1 kHz.

Le gravimètre est un appareil qui permet de déterminer, avec une grande précision, la valeur de g, intensité du champ de pesanteur en un lieu donné ; les domaines d'utilisation des gravimètres sont nombreux — géologie, océanographie, sismologie, étude spatiale, prospection minière. On modélise un type de gravimètres par un système mécanique oscillant constitué de : une tige AB, de masse négligeable et de longueur L, pouvant tourner dans un plan vertical autour d'un axe fixe (Δ) horizontal passant par l'extrémité A ; un corps solide (S), de masse m et de dimensions négligeables, fixé à l'extrémité B de la tige ; un ressort spiral, de constante de torsion C, qui exerce sur la tige AB un couple de rappel de moment M_C=−C θ, où θ désigne l'angle que fait AB avec la verticale ascendante Ay (figure 1, un schéma qui montre la tige inclinée de θ par rapport à l'axe Ay vertical, le solide (S) en B, la position B₀ atteinte de l'autre côté, le ressort spiral enroulé autour de l'axe Δ en A et le repère (A,i,j)). On étudie le mouvement de ce système mécanique dans un repère orthonormé (A,i,j) lié à un référentiel terrestre considéré comme galiléen. Données : masse du solide (S) m=5×10⁻² kg ; longueur de la tige L=7×10⁻¹ m ; constante de torsion du ressort spiral C=1,31 N.m.rad⁻¹ ; moment d'inertie du système par rapport à l'axe (Δ) J_Δ=m L² ; pour les angles faibles sinθ≈θ et cosθ≈1−θ²2, avec θ en radian. On écarte le système mécanique de sa position d'équilibre vertical d'un angle petit θ_max dans le sens positif puis on le lâche sans vitesse initiale à un instant t=0 ; le système est repéré, à chaque instant t, par son abscisse angulaire θ, et on néglige tous les frottements.

Partie 1 — Étude dynamique du gravimètre

La courbe de la figure 2 représente l'évolution de l'abscisse angulaire θ(t) dans le cas où C>C_min : l'axe des ordonnées porte θ en radians, seule la graduation 0,15 étant imprimée ; l'axe des abscisses porte le temps en secondes, gradué 0,5 et 1, le quadrillage principal valant 0,25 s ; la courbe est une sinusoïde qui part de son maximum 0,15 rad à t=0, oscille entre +0,15 et −0,15 rad et se reproduit identique à elle-même toutes les 1,0 s. On prend π=3,14.

Partie 2 — Étude énergétique du gravimètre

Un système d'acquisition informatisé a permis de tracer la courbe de la figure 3, qui représente les variations de l'énergie cinétique E_C du système étudié en fonction de l'abscisse angulaire θ dans le cas de faibles amplitudes. On choisit le niveau horizontal passant par B₀ comme état de référence pour l'énergie potentielle de pesanteur (E_pp=0), et l'énergie potentielle de torsion nulle (E_pt=0) pour θ=0. Sur la figure 3, l'axe des ordonnées porte E_C en millijoules, les graduations 2 et 4 étant imprimées et le quadrillage principal valant 2 mJ ; l'axe des abscisses porte θ en radians, gradué −0,15, 0 et 0,15 ; la courbe est une parabole tournée vers le bas, de sommet 10,8 mJ en θ=0, qui s'annule en θ=−0,15 et en θ=0,15 rad et qui passe par 6,0 mJ en θ=0,10 rad.