National 2016 · SP · session normale

Les deux parties I et II sont indépendantes.

Partie I — Électrolyse d'une solution de nitrate de plomb

On réalise l'électrolyse d'une solution aqueuse de nitrate de plomb Pb²⁺_(aq)+2NO₃⁻_(aq), en mettant cette solution dans un électrolyseur et en faisant circuler un courant continu d'intensité I=0,7 A entre les deux électrodes (A) et (B) de l'électrolyseur pendant la durée Δt=60 min. On observe pendant l'électrolyse la formation d'un dépôt métallique de plomb sur l'électrode (A) et un dégagement gazeux de dioxygène au niveau de l'électrode (B). Données : les couples mis en jeu sont Pb²⁺_(aq)/Pb_(s) et O_2(g)/H₂O_(ℓ) ; la constante de Faraday 1 F=9,65×10⁴ C.mol⁻¹ ; le volume molaire du gaz dans les conditions de l'expérience V_m=24 L.mol⁻¹. Les quatre questions de cette partie sont à choix multiple : le sujet demande de recopier le numéro de la question et d'écrire à côté la réponse juste parmi les quatre proposées, sans aucune justification ni explication.

Partie II — Deux réactions de l'acide propanoïque

L'acide propanoïque est utilisé comme conservateur des aliments, son code est E280 ; on le trouve dans les fromages, les boissons et les conserves, et il entre dans la préparation de certains parfums, produits cosmétiques et pharmaceutiques. Données : toutes les mesures sont effectuées à 25 ^∘C ; le produit ionique de l'eau K_e=10⁻¹⁴ ; on représente l'acide propanoïque C₂H₅COOH par AH et sa base conjuguée par A⁻ ; la constante d'acidité du couple C₂H₅COOH_(aq)/C₂H₅COO⁻_(aq) est K_A=10^−4,9 ; zones de virage de trois indicateurs colorés — hélianthine 3−4,4, B.B.T 6−7,6, bleu de thymol 8−9,6. 1 — Réaction avec l'hydroxyde de sodium : on dose le volume V_A=5 mL d'une solution aqueuse (S_A) d'acide propanoïque AH de concentration molaire C_A par une solution aqueuse (S_B) d'hydroxyde de sodium de concentration molaire C_B=5×10⁻² mol.L⁻¹, en suivant les variations du pH du mélange réactionnel en fonction du volume V_B versé de la solution (S_B). La courbe de la figure 1 représente ces variations : l'axe des ordonnées porte le pH, gradué de 3 à 12 de une en une unité ; l'axe des abscisses porte V_B en millilitres, seuls 0, 1, 2 et 3 étant imprimés, le quadrillage principal valant 2 mL et le quadrillage fin 0,2 mL ; la courbe part du bas de l'échelle au voisinage de pH=3, passe par pH=5 vers V_B=3,5 mL, présente un saut vertical centré sur V_B=6,0 mL à un pH voisin de 8,7, puis tend vers pH≈12,2 ; deux droites parallèles en pointillés encadrent le saut, tracées pour la méthode des tangentes. 2 — Réaction avec l'éthanol : on mélange dans un ballon la quantité n₀=0,5 mol d'acide propanoïque avec la même quantité n₀=0,5 mol d'éthanol pur, puis on chauffe à reflux le mélange réactionnel pendant une certaine durée ; on obtient à la fin de la réaction la quantité n_E=0,33 mol d'un composé organique E.

Étude d'une réaction de fusion nucléaire. La formation de l'hélium à partir du deutérium et du tritium, qui sont deux isotopes de l'hydrogène, est une réaction de fusion nucléaire spontanée qui se produit continuellement au cœur des étoiles ; l'homme essaie de la reproduire au laboratoire afin d'utiliser de façon contrôlée son énorme énergie libérée. On modélise cette réaction nucléaire par l'équation ²₁H+³₁H⟶^A_ZHe+¹₀n. Données : masses en unités de masse atomique — deutérium 2,01355, tritium 3,01550, hélium 4,00150, neutron 1,00866 ; célérité de la lumière dans le vide c=3×10⁸ m.s⁻¹ ; constante de Planck h=6,626×10⁻³⁴ J.s ; 1 u=931,5 MeV.c⁻² ; 1 MeV=1,6×10⁻¹³ J. Pour la dernière question : un échantillon de sol contient du tritium radioactif ; à la date t=0 l'activité de cet échantillon est a₀=2,0×10⁶ Bq, et à l'instant de date t₁=4 ans cette activité devient égale à a₁=1,6×10⁶ Bq.

Certains dipôles électriques, comme les condensateurs et les bobines, permettent d'emmagasiner de l'énergie, qui se dissipe progressivement au cours du temps ; on peut compenser cette énergie dissipée en utilisant des dispositifs adéquats. On étudie dans un premier temps le comportement d'un dipôle RC lors de la charge du condensateur, puis dans un deuxième temps l'amortissement et l'entretien des oscillations dans un circuit RLC série. Le circuit électrique schématisé sur la figure 1 comporte : un générateur de tension de f.é.m. E ; deux conducteurs ohmiques de résistance r=20 Ω et R ; une bobine (b) d'inductance L et de résistance r_b ; un condensateur de capacité C initialement déchargé ; un interrupteur K à double position. Le schéma montre le générateur E et le conducteur ohmique r en série, puis l'interrupteur K qui bascule entre la position (1), où le condensateur C est chargé à travers R, et la position (2), où le condensateur est branché sur la bobine (L,r_b) ; la tension aux bornes du condensateur est notée u_C et l'intensité du courant i.

Partie 1 — Dipôle RC lors de la charge du condensateur

À un instant de date t=0, on place l'interrupteur K en position (1). Un système d'acquisition informatisé permet de tracer la courbe d'évolution de la tension u_C(t), et la droite (T) représente la tangente à la courbe à la date t=0 (figure 2). Sur cette courbe, l'axe des ordonnées porte u_C en volts, les graduations 2 et 4 étant imprimées et chaque carreau valant 1 V ; l'axe des abscisses porte le temps en millisecondes, les graduations 0,6 et 1,2 étant imprimées et chaque carreau valant 0,3 ms.

Partie 2 — Amortissement et entretien des oscillations d'un circuit RLC

Une fois le condensateur totalement chargé, on bascule l'interrupteur K vers la position (2) à un instant que l'on choisira comme nouvelle origine des dates (t=0). La courbe de la figure 3 représente l'évolution temporelle de la charge q(t) du condensateur : l'axe des ordonnées porte q en microcoulombs, les graduations 0, 40 et 80 étant imprimées et chaque carreau valant 10 μC ; l'axe des abscisses porte le temps en millisecondes, les graduations 6 et 12 étant imprimées et chaque carreau valant 0,75 ms.

Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I — Particule chargée dans un champ magnétique uniforme

Deux particules chargées Li⁺ et X²⁺ sont introduites en un point O, avec la même vitesse initiale V, dans un espace où règne un champ magnétique uniforme B perpendiculaire au vecteur V. On note q_X et m_X la charge électrique et la masse de la particule X²⁺, et on considère que Li⁺ et X²⁺ ne sont soumises qu'à la force de Lorentz. Données : vitesse initiale V=10⁵ m.s⁻¹ ; intensité du champ magnétique B=0,5 T ; charge élémentaire e=1,6×10⁻¹⁹ C ; masse de Li⁺ m_Li=6,015 u ; 1 u=1,66×10⁻²⁷ kg ; expression de la force de Lorentz F=q V∧B. La figure 1 représente les trajectoires des deux particules dans le champ B : le vecteur V est vertical, dirigé vers le haut, au point O situé sur un axe horizontal gradué de 0 à 7 ; les deux trajectoires sont deux demi-cercles décrits vers la droite au-dessus de cet axe, celui de Li⁺ en trait pointillé, celui de X²⁺ en trait plein. Pour la dernière question, la particule X²⁺ se trouve parmi trois ions dont le sujet donne la masse en unités de masse atomique : ²⁴₁₂Mg²⁺ 23,985, ²⁶₁₂Mg²⁺ 25,983, ⁴⁰₂₀Ca²⁺ 39,952.

Partie II — Étude énergétique d'un pendule simple

Un pendule simple est constitué d'une boule de petites dimensions et de masse m, suspendue à l'extrémité d'un fil inextensible, de masse négligeable et de longueur L, dont l'autre extrémité est accrochée en un point fixe A. On écarte le pendule d'un angle θ_m par rapport à sa position d'équilibre stable et on le lâche sans vitesse initiale à l'instant de date t=0 ; le pendule oscille librement dans le plan (O,x,y) autour d'un axe fixe horizontal Δ passant par A. L'étude est réalisée dans un référentiel terrestre supposé galiléen, et à chaque instant la position du pendule est repérée par son abscisse angulaire θ. On choisit l'énergie potentielle de pesanteur nulle au niveau du point O, position d'équilibre stable du pendule (figure 2, un simple schéma du pendule accroché en A, du fil de longueur L faisant l'angle θ avec la verticale, et du point O sur l'axe (Ox) horizontal). On néglige les frottements et on travaille dans l'approximation des faibles oscillations. Données : masse de la boule m=350 g ; longueur du pendule L=58 cm ; g=9,81 m.s⁻² ; moment d'inertie du pendule J_Δ=m L² ; pour les angles petits sinθ≈θ et cosθ≈1−θ²2. La figure 3 représente le diagramme d'énergie du pendule : l'énergie cinétique E_c, en millijoules, est portée en ordonnée avec les graduations 10, 20 et 30 imprimées, et l'abscisse angulaire θ, en radians, en abscisse avec les graduations −0,2, −0,1, 0, 0,1 et 0,2 ; la courbe est une parabole tournée vers le bas, de sommet 40 mJ en θ=0, qui s'annule en θ=−0,2 et en θ=0,2 rad.