National 2022 · SM · session rattrapage

Étude de quelques réactions de l'acide éthanoïque. On se propose d'étudier une solution aqueuse d'acide éthanoïque, le dosage d'une solution aqueuse d'acide éthanoïque, et le suivi temporel d'une réaction de l'acide éthanoïque avec un alcool.

Partie 1 — L'acide éthanoïque en solution aqueuse

L'acide éthanoïque pur est un liquide incolore, inflammable, naturellement présent dans le vinaigre ; c'est un antiseptique et un désinfectant. Données : toutes les mesures sont effectuées à 25 ^∘C ; pK_A(CH₃COOH_(aq)/CH₃COO⁻_(aq))=4,8 ; densité de l'acide éthanoïque d=1,05 ; masse volumique de l'eau ρ_e=1 g·cm⁻³ ; masse molaire de l'acide éthanoïque M(CH₃COOH)=60 g·mol⁻¹. On prépare une solution aqueuse (S₀) d'acide éthanoïque en introduisant, dans une fiole jaugée de volume V=500 mL, un volume V₀=2 mL d'acide éthanoïque pur, puis en complétant au trait de jauge avec de l'eau distillée tout en agitant.

Partie 2 — Dosage de la solution d'acide éthanoïque

Dosage de la solution aqueuse (S₀). Pour vérifier la valeur de la concentration molaire C₀ de la solution (S₀), on dose un volume V_A=25,0 mL de (S₀) par une solution aqueuse (S_B) d'hydroxyde de sodium Na⁺_(aq) + HO⁻_(aq) de concentration molaire C_B=8,75×10⁻² mol·L⁻¹, à l'aide d'un montage de dosage pH-métrique. Le volume de (S_B) versé à l'équivalence est V_BE=20,0 mL.

Partie 3 — Suivi temporel d'une réaction d'estérification

Suivi temporel d'une transformation chimique. On étudie la cinétique de la réaction entre l'acide éthanoïque et un alcool primaire R−OH, d'équation CH₃COOH + R−OH⇌CH₃COOR + H₂O. Quatre expériences sont réalisées, toutes de volume réactionnel V=62 mL : (a) n₀(CH₃COOH)=0,6 mol et n₀(R−OH)=0,6 mol à la température θ₁, sans catalyseur ; (b) mêmes quantités à la température θ₂>θ₁, sans catalyseur ; (c) mêmes quantités à la température θ₂, avec quelques gouttes d'acide sulfurique ; (d) n₀(CH₃COOH)=0,3 mol et n₀(R−OH)=0,6 mol à la température θ₁, sans catalyseur. Les courbes (1), (2), (3) et (4) donnent l'évolution temporelle de la quantité de matière n_e d'ester CH₃COOR formé ; les courbes (2), (3) et (4) atteignent le même palier n_e=0,40 mol, la courbe (1) un palier n_e=0,25 mol, et (T) est la tangente à la courbe (1) à l'instant t=0.

Propagation d'une onde le long d'un ressort. On crée par compression de spires, à l'instant t=0, une onde périodique sinusoïdale à l'extrémité S d'un ressort à spires non jointives, considéré infiniment long (figure 1). On filme le mouvement d'un point M du ressort ; un logiciel adéquat a permis d'obtenir l'élongation x_M(t) du point M (figure 2). Sur la figure 2, l'élongation de M reste nulle jusqu'à la date t=40 ms ; au-delà, M décrit un mouvement sinusoïdal d'amplitude 5 mm et de période T=40 ms, en partant vers les élongations négatives.

Datation par le carbone 14. Le but de l'exercice est l'étude de la désintégration du carbone 14 (¹⁴C) et son utilisation pour la datation d'un échantillon de bois. Données : temps de demi-vie de l'isotope ¹⁴₆C : t_1/2=5,73×10³ an ; 1 an =365,25 jours ; masses des noyaux et particules : m(¹⁴₆C)=14,011 u, m(¹⁴₇N)=14,008 u, m(⁰₋₁e)=0,0005 u ; 1 u =931,5 MeV·c⁻². Lors de ses travaux sur la datation par le carbone 14, le savant W. F. Libby a démontré que pour les êtres vivants le rapport du nombre de noyaux de carbone 14 à celui de noyaux de carbone 12 reste constant ; ceci correspond à une activité de 13,6 désintégrations par minute et par gramme de carbone extrait d'un être vivant. À partir de l'instant de sa mort, le nombre de noyaux de carbone 14 décroît selon la loi de décroissance radioactive. La mesure de l'activité d'un échantillon de bois ancien a donné 3,7×10⁻² désintégrations par seconde et par gramme de carbone.

Les supercondensateurs utilisés dans les véhicules électriques se différencient des condensateurs électrochimiques classiques par leur capacité à emmagasiner une grande quantité d'énergie et à la restituer pendant un temps relativement court. On étudie la charge d'un condensateur par une source de tension, la charge d'un condensateur par une source de courant, et la décharge d'un condensateur dans une bobine.

Partie 1 — Charge d'un condensateur par une source de tension

Le circuit de la figure 1 comporte un condensateur de capacité C₀ initialement déchargé, un générateur de tension de force électromotrice E et de résistance interne r, un résistor de résistance R et un interrupteur K. À un instant t=0 on ferme K.

Partie 2 — Charge d'un condensateur par un générateur idéal de courant

Pour vérifier la valeur de C₀ du supercondensateur on réalise le montage de la figure 2, comportant le supercondensateur de capacité C₀ initialement déchargé, un générateur idéal de courant délivrant un courant d'intensité I₀, un conducteur ohmique de résistance R=15 Ω et un interrupteur K. À la date t=0 on ferme K et l'on enregistre l'évolution temporelle de la tension u_C(t) aux bornes du supercondensateur (figure 3) : c'est une droite passant par l'origine et par le point de coordonnées t=250 s et u_C=0,5 V. La mesure de la tension aux bornes du résistor donne u_R=75 V.

Partie 3 — Décharge du condensateur dans une bobine

Dans un montage de circuit RLC libre, l'utilisation d'un supercondensateur n'est pas commode pour les oscillations pseudopériodiques ; on utilise donc ici un condensateur de capacité C=100 µF. On charge totalement ce condensateur sous la tension E=2,5 V, puis on le relie à une bobine d'inductance L et de résistance r₀=5 Ω, en série avec le résistor de résistance R=15 Ω (figure 4). À un instant t=0 on ferme l'interrupteur K. La courbe de la figure 5 représente l'évolution temporelle de la tension u_C(t) aux bornes du condensateur ; elle part de 2,5 V et ses maxima successifs sont séparés de 40 ms.

Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I-1 — Mouvement du cylindre sans frottement

Étude du mouvement d'un cylindre. Le système est constitué d'un corps (S) de masse m et de centre d'inertie G, accroché à un fil inextensible et de masse négligeable enroulé autour d'un cylindre (C) de rayon R tournant librement autour de son axe (Δ) fixe et horizontal ; J_Δ est le moment d'inertie du cylindre par rapport à (Δ). Le mouvement de (S) entraîne la rotation du cylindre (figure 1) et le fil ne glisse pas sur le cylindre au cours du mouvement. On repère la position d'un point du cylindre par son abscisse angulaire θ et le centre d'inertie G de (S) par sa cote z dans le repère (O′ ; k). On étudie le mouvement du système dans un repère lié à un référentiel terrestre supposé galiléen. On abandonne le système sans vitesse initiale et l'on choisit θ=0 à l'instant t=0. Données : m=0,5 kg ; R=6 cm ; g=10 m·s⁻². La figure 2, qui donne la vitesse angulaire θ(t) du cylindre dans le premier cas, est une droite passant par l'origine et par le point de coordonnées t=1 s et θ=80 rad·s⁻¹.

Partie II-1 — Oscillateur solide-ressort sans frottement

Mouvement de l'oscillateur (corps solide – ressort). L'oscillateur est constitué d'un solide (S) de centre d'inertie G et de masse m=200 g et d'un ressort à spires non jointives, de masse négligeable et de raideur K. Le ressort est horizontal, une de ses extrémités est fixée à un support et l'autre est accrochée au solide (S), qui peut glisser sur le plan horizontal. On étudie le mouvement de G dans un repère R(O,i) lié à un référentiel terrestre considéré galiléen, et l'on repère G par son abscisse x sur l'axe (O,i) ; à l'équilibre, x=0 (figure 3). On prendra π²=10. tous les frottements sont négligeables : on écarte (S) de sa position d'équilibre dans le sens positif et on l'envoie à l'instant t=0 avec une vitesse initiale V₀=V₀ i. La figure 4 donne la vitesse v_x du centre d'inertie G : elle vaut 0,4 m·s⁻¹ à t=0, son amplitude est 0,8 m·s⁻¹ et sa période est 0,40 s.

Partie II-2 — Oscillateur solide-ressort avec frottement fluide

les frottements fluides, créés par une plaque de masse négligeable liée au solide (S), ne sont pas négligeables : on écarte (S) de sa position d'équilibre dans le sens positif et on le lâche à l'instant t=0 sans vitesse initiale. La figure 5 donne l'abscisse x de G en fonction du temps ; ses maxima successifs sont séparés de 0,40 s et valent, mesurés sur la courbe, 286, 190 puis 127 unités arbitraires.