Exercice 1 — Chimie
7.0 pt(s)
Les deux parties sont indépendantes.
Partie I-1 — Étude d'une solution aqueuse d'acide salicylique
Étude de quelques réactions de l'acide salicylique. L'acide salicylique, ou acide spirique (acide 2-hydroxybenzoïque), peut être extrait de certaines plantes ; il est connu pour ses propriétés anti-inflammatoires. Données : toutes les mesures sont effectuées à 25 ∘C ; le produit ionique de l'eau est Ke=10−14 ; la masse molaire de l'acide salicylique est 138 g·mol⁻¹ ; sa formule chimique est celle d'un cycle benzénique portant un groupe −COOH et un groupe −OH. On prépare un volume V d'une solution aqueuse d'acide salicylique de concentration molaire en soluté apporté C=0,25 mol·L⁻¹ ; on mesure le pH de la solution : pH=1,8. On notera AH l'acide salicylique et A− sa base conjuguée.
Partie I-2 — Titrage d'une solution d'acide salicylique
On désire vérifier par titrage l'indication inscrite sur un flacon contenant une solution (S0) d'acide salicylique ; l'étiquette indique 5 g d'acide salicylique pour 50 mL de solution. On dilue 10 fois la solution (S0) et on obtient une solution (S). On prélève un volume VA=15,0 mL de (S) que l'on dose avec une solution aqueuse (SB) d'hydroxyde de sodium Na+(aq) + HO−(aq) de concentration molaire CB=0,12 mol·L⁻¹ ; le volume de (SB) versé à l'équivalence est VBE=9,0 mL.
Partie II — Cadmiage d'une pièce métallique
Pour protéger l'acier contre la corrosion on peut le recouvrir d'un métal, tel que le cadmium ; le cadmiage consiste à déposer une couche de cadmium par électrolyse sur une plaque. Données : le couple Cd2+(aq)/Cd(s) ; le faraday 1F=9,65×104 C·mol⁻¹ ; la masse molaire du cadmium M(Cd)=112,4 g·mol⁻¹ ; sa masse volumique ρ=8,7 g·cm⁻³. Par électrolyse on veut recouvrir de cadmium une plaque (P) en acier. L'électrolyseur contient une solution aqueuse acidifiée de cyanure de cadmium Cd2+(aq) + 2 CN−(aq), dans laquelle plongent une plaque de cadmium et la plaque (P) en acier. On ferme le circuit à l'instant t=0 et l'on constate que la plaque en cadmium s'use. L'intensité du courant est maintenue constante, I=2,50 A, et la durée de passage du courant à partir de la fermeture du circuit est Δt=30 min.
C. 1. 1.1Définir le taux d'avancement final d'une réaction chimique.0.25
C. 1. 1.2Montrer que la réaction de l'acide salicylique avec l'eau est une réaction limitée. Écrire alors l'équation chimique de la réaction de l'acide salicylique avec l'eau, en utilisant la formule de l'acide salicylique donnée dans les données.0.75
C. 1.2On notera AH pour désigner l'acide salicylique et A− pour désigner sa base conjuguée. Déterminer α(AH), la proportion de la forme acide (fraction d'acide en solution) du couple AH(aq)/A−(aq), et déduire l'espèce prédominante de ce couple dans la solution.0.5
C. 1.3Vérifier que le pKA du couple AH(aq)/A−(aq) est pKA≃3.0.5
C. 2.1Écrire l'équation chimique modélisant la réaction du dosage, en utilisant les notations AH(aq) et A−(aq).0.5
C. 2.2Calculer la constante d'équilibre K de cette réaction du dosage.0.5
C. 2.3L'indication inscrite sur l'étiquette du flacon est-elle vérifiée ? Justifier la réponse.0.75
C. 2. 4.1Vérifier que la concentration de la solution Na+(aq) + A−(aq) obtenue à l'équivalence est Ce=4,5×10−2 mol·L⁻¹.0.5
C. 2. 4.2Trouver alors le pH de cette solution.0.5
C. 2. 4.3Les indicateurs colorés disponibles sont l'hélianthine (zone de virage 3,1 − 4,4), la thymolphtaléine (zone de virage 9,6 − 10,5) et le rouge de phénol (zone de virage 6,8 − 8,4). Indiquer, parmi ces indicateurs, l'indicateur le mieux adapté à ce dosage. Quel inconvénient présente l'usage des deux autres indicateurs ?0.5
C.1Écrire l'équation de la réaction qui se produit au niveau de l'anode.0.5
C.2Trouver l'expression de la masse du cadmium déposé sur la plaque (P) en fonction de Δt, I, M(Cd) et F. Calculer sa valeur.0.75
C.3On considère que le cadmium se dépose uniformément et équitablement sur les deux faces de la plaque (P) d'acier ; celle-ci est rectangulaire, de longueur L=10 cm, de largeur ℓ=9 cm et d'épaisseur négligeable. Déterminer la valeur de l'épaisseur e du cadmium déposé sur une face de la plaque (P) pendant la durée Δt.0.5
Exercice 2 — Ondes
2.0 pt(s)
Propagation d'une onde mécanique : la houle. Sous l'effet du vent une houle est engendrée. Les vagues de la houle se succèdent et arrivent parallèlement à l'entrée d'un port limité par deux digues séparées par un passage de largeur a=20 m (figure 1). Deux vagues successives de cette houle sont espacées de la distance d=20 m. Un capteur fixé sur un ballon (A) se trouvant à la surface de l'eau a permis d'obtenir la courbe de la figure 2, représentant l'élongation yM(t) d'un point M de ce ballon à partir de l'instant t=0 choisi comme origine des dates. La figure 2 est graduée en secondes sur l'axe des dates ; le mouvement de M y est sinusoïdal.
O.1Donner le nombre d'affirmations justes parmi les affirmations suivantes : a — une onde est dite progressive si son amplitude augmente avec le temps ; b — une onde est dite transversale quand la perturbation se fait de proche en proche ; c — la dispersion est un phénomène souvent utilisé pour démontrer la nature ondulatoire de la houle ; d — la célérité d'une onde mécanique progressive dépend de l'amplitude de la perturbation.0.5
O.2Déterminer la vitesse de propagation de cette houle.0.5
O.3Représenter, dans l'intervalle τ≤t≤6 s, l'allure de l'élongation yN(t) d'un point N du ballon (B) situé à une distance MN=10 m du point M (figure 1), avec τ le retard temporel du mouvement de N par rapport à M.0.5
O.4La houle atteint l'entrée du port. Déterminer l'angle α qui délimite la zone touchée par le phénomène qui se produit lors du passage de la houle.0.5
Exercice 3 — Nucléaire
1.5 pt(s)
Radioactivité du césium 137. Les feuilles d'un lot de thé contaminé à la suite d'une catastrophe nucléaire ont capté une quantité importante de césium 137, qui est un élément radioactif. Données : demi-vie radioactive du césium 13755Cs : t1/2=30 ans ; masse de l'électron m(e−)=0,00055 u ; masse du noyau de césium m(13755Cs)=136,87692 u ; masse du noyau de baryum m(13756Ba)=136,87511 u ; 1 u =931,5 MeV·c⁻² ; 1 an =365,25 jours. Un laboratoire reçoit un échantillon d'un lot de thé radioactif de masse m=200 g ; à un instant t=0 la mesure de l'activité de cet échantillon a donné 200 Bq. On considère que la norme maximale autorisée est de 500 Bq/kg pour que le thé soit consommable.
N.1Donner le nombre d'affirmations justes : a — tous les noyaux radioactifs sont instables ; b — en radioactivité, γ (gamma) désigne un neutron ; c — la constante de temps d'un noyau radioactif est la durée que met un échantillon de noyaux radioactifs pour que la moitié de ses noyaux initialement présents se soient désintégrés ; d — plus un noyau est stable, plus son énergie de liaison par nucléon est petite.0.5
N.2Le noyau fils obtenu lors de la désintégration du césium 137 est 13756Ba. Écrire l'équation de désintégration du césium 137 en indiquant le type de cette désintégration.0.25
N. 3.1Calculer, en unité MeV, l'énergie totale |ΔE| libérée par la désintégration de tous les noyaux de césium 137 se trouvant dans l'échantillon à l'instant t=0.0.5
N. 3.2Déterminer à partir de quel instant, en unité an, ce lot atteindra la norme autorisée.0.25
Exercice 4 — Électricité
4.5 pt(s)
On réalise les expériences suivantes avec un condensateur de capacité C, un conducteur ohmique de résistance R variable et une bobine (b). expérience 1 — Décharge d'un condensateur. Le circuit de la figure 1 est utilisé pour étudier la décharge d'un condensateur de capacité C dans le conducteur ohmique de résistance variable R ajustée à la valeur R=R1=100 Ω. Le condensateur est initialement chargé totalement par un générateur de tension G de force électromotrice E. Un système d'acquisition a permis d'obtenir l'évolution temporelle de l'énergie Ee emmagasinée dans le condensateur au cours de sa décharge (figure 2), où (T) représente la tangente à la courbe au point d'abscisse t=0 ; cette tangente coupe l'axe des temps à la date 0,5 ms, et la courbe part de la valeur Ee(0)=180 µJ. EXPÉRIENCE 2 — Oscillations forcées dans un circuit RLC. On constitue un dipôle (D) par l'association en série de la bobine (b), du condensateur de capacité C et du conducteur ohmique de résistance R ajustée sur la valeur R=R2=20 Ω. Le dipôle (D) est soumis à une tension alternative sinusoïdale fournie par un générateur GBF (figure 3). Un oscilloscope bicourbe est branché de manière à visualiser, sur la voie A, la tension u(t)=Umcos(2πN t + φ1) aux bornes du dipôle (D) et, sur la voie B, la tension uR2(t) aux bornes du conducteur ohmique. Données : base de temps 0,5 ms·div⁻¹ ; sensibilité verticale pour les deux voies 2 V·div⁻¹. L'expression de l'intensité du courant dans le circuit est i(t)=Imcos(2πN t + φ2). Pour une fréquence N on obtient l'oscillogramme de la figure 4, sur lequel la période occupe 4 divisions, la voie A a une amplitude de 2 divisions, la voie B une amplitude de 1 division, et le maximum de la voie B arrive une demi-division après celui de la voie A. expérience 3 — Démodulation d'amplitude d'une onde. En démodulation d'amplitude, le condensateur de capacité C et le conducteur ohmique de résistance R variable précédents sont montés avec une diode, comme l'indique le circuit de la figure 5, pour être utilisés comme constituant d'un montage de récepteur radio.
E. 1.1Établir l'équation différentielle vérifiée par la tension uC(t) lors de la décharge.0.25
E. 1.2Sachant que la solution de cette équation différentielle s'écrit uC(t)=k e−t/τ, déterminer les constantes k et τ en fonction des paramètres du circuit.0.5
E. 1.3Montrer que la tangente (T) coupe l'axe du temps au point d'abscisse t=τ2.0.25
E. 1.4Déterminer la valeur de C et celle de E.0.5
E. 1.5Trouver |Ej|, l'énergie dissipée par effet Joule dans le circuit pendant la durée Δt=0,9 τ à compter de t=0.0.5
E. 2.1Faire le schéma du montage permettant de visualiser les deux tensions u(t) et uR2(t).0.5
E. 2.2Déterminer les valeurs des grandeurs suivantes : a — la fréquence N ; b — l'impédance Z du dipôle (D) ; c — Δφ=φ2 − φ1.0.75
E. 2.3Calculer la puissance électrique moyenne consommée par le dipôle (D).0.5
E. 3.1Expliquer le rôle de ce constituant dans le montage du récepteur radio.0.25
E. 3.2Sachant que la fréquence de la porteuse est Np=160 kHz et la fréquence du signal modulant Ns=10 kHz, la valeur de R=R3=2 kΩ et celle de C permettent-elles à ce constituant de bien jouer son rôle ? Justifier.0.5
Exercice 5 — Mécanique
5.0 pt(s)
Les deux parties sont indépendantes.
Partie I — Mouvement d'un jouet sur une gouttière
Un jouet modélisé par un solide (S) de masse m=50 g et de centre d'inertie G est abandonné sans vitesse initiale en un point A d'une gouttière ABCD (figure 1). Cette gouttière est constituée d'un tronçon rectiligne AB incliné d'un angle α=30∘ par rapport au plan horizontal et de longueur AB=1,6 m, d'un tronçon horizontal BC, et d'un tronçon circulaire CD de centre O et de rayon r tel que OC soit perpendiculaire à BC. La trajectoire du mouvement de (S) se trouve dans un plan vertical. On étudie le mouvement de (S) sur le parcours AB dans un repère orthonormé R(A,i,j) et son mouvement sur le parcours BC dans un repère orthonormé R(B,i′,j′) ; les deux repères sont liés à un référentiel terrestre supposé galiléen. Donnée : intensité de la pesanteur g=10 m·s⁻².
Partie II — Mise en orbite d'un satellite géostationnaire
Dans le référentiel géocentrique, la période de révolution d'un satellite géostationnaire est égale à la période propre de la Terre autour de son axe polaire ; la trajectoire du satellite est un cercle contenu dans le plan équatorial et décrite dans le même sens que la rotation propre de la Terre. Données : la Terre est considérée sphérique, de centre I, de masse MT, et ayant une symétrie sphérique de répartition de masse ; rayon de la Terre RT=6380 km ; masse de la Terre MT=6,0×1024 kg ; accélération de la pesanteur à la surface de la Terre g0=9,8 m·s⁻² ; période propre de rotation de la Terre autour de son axe polaire T=23,9345 h ; constante de gravitation universelle G=6,67×10−11 kg⁻¹·m³·s⁻². On étudie le mouvement du centre d'inertie Gs d'un satellite artificiel (S) de masse ms dans le référentiel géocentrique supposé galiléen.
M. 1.1Le long du parcours AB les frottements sont négligeables. Calculer la durée tAB du parcours AB.0.5
M. 1.2Déduire que la valeur de la vitesse de (S) à son arrivée au point B est VB=4 m·s⁻¹.0.25
M.2Le long du parcours BC la force de frottement f qui s'applique sur (S) est horizontale, de sens contraire à la vitesse de (S) et d'intensité constante. On considère que le changement de direction au point B n'a pas d'influence sur la valeur de la vitesse. Trouver l'intensité f, sachant que la durée du parcours BC est tBC=0,5 s et que (S) arrive en C avec une vitesse nulle.0.5
M. 3. 1.1Le long du parcours CD les frottements sont négligeables ; le solide (S) part du point C avec une vitesse pratiquement nulle et aborde le tronçon circulaire CD. La position de G en un point M de CD est repérée par l'angle θ=(OC,OM). En se basant sur l'application de la deuxième loi de Newton sur (S) dans la base de Frenet (M,u,n), trouver l'expression de R, l'intensité de la réaction de la gouttière sur (S) au point M, en fonction de m, θ, g, r et de la vitesse angulaire θ=dθdt du mouvement de (S).0.25
M. 3. 1.2Exprimer l'accélération angulaire θ en fonction de g, θ et r.0.25
M. 3.2À partir de l'expression de θ on a θ=√2gr(1 − cosθ). En déduire l'expression de R en fonction de m, g et θ.0.25
M. 3.3Pour quelle valeur de θ le solide (S) quitte-t-il la gouttière ?0.25
M.1Le satellite artificiel (S) est transporté par une navette spatiale. Pour ce décollage, le système formé par la navette spatiale et le satellite (S) a une masse totale M=7,3×105 kg ; sa propulsion est assurée par un ensemble de dispositifs fournissant une force de poussée verticale constante F d'intensité F=1,16×107 N. Tout au long du décollage on admet que la valeur de l'intensité de la pesanteur reste constante. On étudie le mouvement de la navette dans un repère (O ; k) lié à un référentiel terrestre supposé galiléen, où k est un vecteur unitaire vertical dirigé vers le haut. À l'instant t=0 la navette est immobile et son centre d'inertie est confondu avec l'origine O du repère. On supposera que seuls le poids P et la force de poussée F agissent sur la navette, et l'on admettra que la masse du système reste constante pendant la durée de fonctionnement. Pendant le lancement, on suppose que la valeur de l'accélération reste constante et que la trajectoire de la navette reste verticale jusqu'à la date t1=6 s. Calculer la distance parcourue par la navette depuis son décollage à t=0 jusqu'à l'instant t1.0.5
M. 2.1Le satellite (S) est placé sur une orbite circulaire (orbite (O1)) à vitesse constante VS, à basse altitude, à la distance d1=6580 km du centre de la Terre, et il n'est soumis qu'à la force gravitationnelle exercée par la Terre. Déterminer, en fonction de MT, d1 et G, l'expression de la vitesse VS du centre d'inertie Gs du satellite. Calculer sa valeur sur son orbite basse.0.5
M. 2.2Déterminer, en fonction de MT, d1 et G, l'expression de la durée TS mise par le satellite pour faire un tour autour de la Terre. Retrouver alors la troisième loi de Kepler.0.5
M. 3.1Le satellite passe de l'orbite (O1) à l'orbite (O3) en passant par l'orbite elliptique (O2), qui est tangente aux orbites circulaires aux points A et B ; le satellite est géostationnaire sur l'orbite (O3), qui se trouve à une altitude h de la surface de la Terre. Indiquer, en justifiant, parmi les points A et B, le point où la vitesse de (S) est minimale.0.25
M. 3. 2.1Le satellite étant arrivé au point B, on augmente à nouveau sa vitesse pour qu'il décrive ensuite son orbite géostationnaire définitive. Montrer que l'expression de h s'écrit h=3√T2 G MT4π2 − RT.0.5
M. 3. 2.2Calculer la vitesse du centre d'inertie du satellite géostationnaire sur son orbite.0.5