National 2021 · SM · session rattrapage

Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I-1 — Étude d'une solution aqueuse de chlorure d'ammonium

Quelques réactions avec l'ion ammonium. Dans cette partie on se propose d'étudier une solution aqueuse de chlorure d'ammonium, puis le dosage des ions ammonium dans un médicament. Données : toutes les mesures sont effectuées à 25 ^∘C ; le produit ionique de l'eau K_e=10⁻¹⁴ ; les conductivités molaires ioniques à 25 ^∘C, λ₁=λ(H₃O⁺)=34,9×10⁻³ S·m²·mol⁻¹, λ₂=λ(NH⁺₄)=7,34×10⁻³ S·m²·mol⁻¹, λ₃=λ(Cl⁻)=7,63×10⁻³ S·m²·mol⁻¹ ; masse molaire M(NH₄Cl)=53,5 g·mol⁻¹. On rappelle l'expression de la conductivité σ d'une solution aqueuse ionique en fonction des concentrations molaires effectives des espèces ioniques X_i présentes en solution et des conductivités molaires ioniques λ_i : σ=∑ λ_i[X_i]. On prépare une solution aqueuse (S) de chlorure d'ammonium NH⁺_4(aq) + Cl⁻_(aq) de concentration molaire C=5,0×10⁻³ mol·L⁻¹ ; la mesure de la conductivité de la solution (S) donne σ=74,898 mS·m⁻¹. On dilue ensuite la solution (S) de chlorure d'ammonium.

Partie I-2 — Dosage des ions ammonium dans un médicament

Le chlorure d'ammonium est utilisé dans les compléments alimentaires pour le bétail ou comme « médicament » pour traiter les calculs urinaires chez l'agneau ; on le rencontre aussi dans des solutions médicamenteuses contre la toux. Le laboratoire pharmaceutique veille à ce que la concentration massique en chlorure d'ammonium C₀=1,51 g·L⁻¹ soit parfaitement respectée. On se propose de doser un échantillon d'une solution (S₁) de chlorure d'ammonium pris d'un flacon, vendu par un laboratoire pharmaceutique, portant l'indication C₀=1,51 g·L⁻¹. La solution (S₁) est dosée par une solution aqueuse (S_B) d'hydroxyde de sodium Na⁺_(aq) + HO⁻_(aq) de concentration molaire C_B=2,0×10⁻² mol·L⁻¹. On prend un volume V_A=20 mL de la solution (S₁) auquel on ajoute progressivement un volume V_B de la solution (S_B) ; le volume de (S_B) versé à l'équivalence est V_BE=28,3 mL. AUCUNE COURBE DE DOSAGE N'EST TRACÉE : seul le volume à l'équivalence est donné.

Partie II — Étude de la pile nickel-argent

On étudie une pile électrochimique faisant intervenir les deux couples ox/red suivants : Ni²⁺_(aq)/Ni_(s) et Ag⁺_(aq)/Ag_(s). On la constitue de deux compartiments liés par un pont salin. Le premier compartiment est constitué d'une lame de nickel de masse m₁=1,5 g plongée entièrement dans un volume V=100 mL d'une solution aqueuse contenant des ions nickel de concentration molaire initiale [Ni²⁺_(aq)]_i=0,10 mol·L⁻¹. Le deuxième compartiment est constitué d'une lame d'argent plongée dans un volume V=100 mL d'une solution aqueuse contenant des ions argent de concentration molaire initiale [Ag⁺_(aq)]_i=0,10 mol·L⁻¹. Données : le faraday 1F=9,65×10⁴ C·mol⁻¹ ; masse molaire M(Ni)=58,7 g·mol⁻¹. Au cours du fonctionnement de la pile il y a réduction des ions Ag⁺. Reliée à un circuit électrique, cette pile débite un courant d'intensité constante I=200 mA pendant 30 min.

Ondes — nature ondulatoire de la lumière. Le caractère ondulatoire de la lumière fut établi au XIXᵉ siècle par des expériences de diffraction et d'autres expériences montrant, par analogie avec les ondes mécaniques, que la lumière peut être décrite comme une onde. Fresnel a exploité le phénomène de diffraction de la lumière par un fil de fer. Pour mesurer, par diffraction, la longueur d'onde d'un laser émettant une lumière monochromatique de longueur d'onde λ, on réalise l'expérience de diffraction en utilisant des fils fins (figure 1). On se limite dans le cas de faibles écarts angulaires où tanθ≈θ avec θ exprimé en radian. La figure 1 est un schéma sans graduation : à gauche, une flèche horizontale épaisse légendée « Faisceau du laser » vient frapper un petit trait vertical, désigné « Fil de diamètre a » par une légende posée au-dessus. De ce point partent vers la droite deux traits qui s'écartent symétriquement de part et d'autre d'un axe horizontal en POINTILLÉ, formant un cône ; l'angle θ est coté entre le trait supérieur et cet axe. À droite, un trait vertical épais légendé « Ecran » au-dessus : entre les deux extrémités du cône, une double flèche verticale cote la largeur L de la tache centrale. En bas, une double flèche horizontale cote la distance D entre le fil et l'écran. La figure 1 représente le schéma de diffraction obtenue sur un écran blanc situé à une distance D=2,0 m des fils. Pour chaque fil de diamètre a, on mesure la largeur L de la tache centrale. À partir de ces mesures et d'autres données on obtient la courbe de la figure 2 représentant les variations de l'écart angulaire θ en fonction de 1a. Cette planche porte θ en 10⁻³ rad en ordonnée, graduée 5 · 10 · 15 · 20 — le pas de la ligne forte vaut donc 5×10⁻³ rad — et 1a en 10³ m⁻¹ en abscisse, graduée 5 · 10 · 15 · 20 · 25 · 30, le pas valant 5×10³ m⁻¹. Le tracé est une DROITE, portant SIX POINTS EXPÉRIMENTAUX marqués d'une petite CROIX. La droite est tracée en trait plein entre ces points et se poursuit en POINTILLÉ vers le bas à gauche jusqu'à l'ORIGINE, par laquelle elle passe. On place ensuite, dans le même dispositif expérimental, un fil de diamètre a₁ inconnu ; la largeur de la tache centrale de diffraction vaut alors L₁=4 cm.

Transformations nucléaires — fission de l'uranium 235. L'uranium naturel est composé essentiellement de l'isotope 238 et d'autres isotopes, parmi lesquels l'uranium 235 qui est un noyau fissile et qui n'existe qu'en très faible pourcentage. Afin de l'utiliser comme combustible, on procède à l'activation de l'uranium naturel en vue d'augmenter la proportion de l'isotope 235. Données : masse des noyaux, m(²³⁵₉₂U)=234,9935 u, m(¹⁴⁶₅₈Ce)=145,8782 u, m(⁸⁵₃₄Se)=84,9033 u ; masse du neutron m_n=1,0087 u ; 1 u =931,5 MeV·c⁻² =1,6605×10⁻²⁷ kg ; 1 MeV =1,6022×10⁻¹³ J. La production de l'énergie dans les réacteurs nucléaires est basée sur la fission de l'uranium 235 : lorsqu'un neutron heurte un noyau d'uranium 235, l'une des fissions possibles conduit à la formation d'un noyau de césium ¹⁴⁶Ce, d'un noyau de sélénium ⁸⁵Se et des neutrons. Un réacteur nucléaire utilise l'uranium 235 activé à 5 % — parmi 100 noyaux de l'uranium 235 il y en a 5 qui sont activés. Une centrale nucléaire fournit une puissance électrique p=1450 MW ; le rendement de la transformation de l'énergie calorifique en énergie électrique est 34 %, et l'on prendra 1 an =365,25 jours.

L'exercice vise l'étude de l'une des applications d'un circuit électrique contenant une bobine, puis la détermination de quelques paramètres électriques en étudiant les oscillations non amorties d'un circuit LC et les oscillations forcées dans un circuit RLC série.

Partie 1 — Éveil lumière — dipôle RL

Dans un réveil « éveil lumière », une fois l'heure de réveil programmée atteinte, la lampe du réveil émet de la lumière qui augmente petit à petit jusqu'à une valeur maximale modifiable qui permet le réveil d'une personne. On modélise cet effet en construisant un circuit électrique qui permet de faire varier la luminosité d'une lampe en utilisant la propriété électrique d'une bobine. La luminosité de la lampe est liée à la puissance électrique qu'elle reçoit ; on rappelle l'expression de la puissance électrique reçue par la lampe soumise à la tension u et traversée par un courant d'intensité i, en l'assimilant à un résistor de résistance R : P=R i²=u²R. On réalise le montage électrique représenté sur la figure 1, qui comporte un générateur idéal de tension de force électromotrice E=9 V ; une lampe (La) assimilée à un conducteur ohmique de résistance R=4 Ω ; une bobine (b) d'inductance L et de résistance r ; et un interrupteur K. La figure 1 montre une maille rectangulaire : en haut à gauche l'interrupteur K, au-dessous de lui le générateur E encerclé, la flèche de E montant ; en haut à droite, le courant i descend vers la bobine (b), dessinée en spirale et désignée (L, r) ; en bas, la lampe (La), figurée par un cercle barré d'une croix, avec le conducteur ohmique R marqué à sa gauche et la tension u relevée à ses bornes par une flèche pointant vers la droite. On ferme l'interrupteur K à un instant choisi comme origine des dates (t=0). On visualise, à l'aide d'un système d'acquisition informatique adéquat, la tension u(t) aux bornes de la lampe ; on obtient l'oscillogramme représenté sur la figure 2, où (T) représente la tangente à la courbe au point d'abscisse t=0. On estime que pour réveiller une personne, la lumière est suffisante lorsque la puissance électrique reçue par la lampe a atteint 98,01 % de sa valeur maximale.

Partie 2 — Étude du circuit LC entretenu

On réalise le circuit d'un oscillateur entretenu en associant en série les éléments suivants (figure 3) : un condensateur de capacité C ; la bobine (b) précédemment utilisée ; et un générateur délivrant une tension u_g=k i(t), avec u_g exprimée en volt (V) et i(t) en ampère (A). La figure 3 montre une maille rectangulaire : en haut, le condensateur C ; à droite, le courant i descend vers la bobine (b), en spirale, désignée (L, r) ; en bas à gauche, le générateur G, un cercle marqué G, aux bornes duquel on relève u_g par une flèche montante. À partir d'un instant t choisi comme origine des dates (t=0), on obtient la courbe de la figure 4 représentant la variation de l'énergie magnétique E_m emmagasinée dans la bobine en fonction du temps.

Partie 3 — Oscillateur RLC en régime forcé

On réalise un circuit RLC série comprenant un générateur délivrant une tension alternative sinusoïdale u(t) de tension efficace constante U=6,25 V et de fréquence N réglable ; un conducteur ohmique de résistance R variable ; la bobine (b) précédente ; et le condensateur précédent de capacité C. L'étude expérimentale a permis de tracer, pour deux valeurs de la résistance R — R₁ puis R₂, avec R₁<R₂ — la courbe de résonance en intensité du dipôle RLC série, I=f(N), avec I l'intensité efficace du courant et N la fréquence des oscillations ; on obtient ainsi les courbes (a) et (b) de la figure 5.

Les deux parties I et II sont indépendantes.

Partie I-1 — Expérience de Millikan — rayon de la gouttelette

En 1910 R. A. Millikan a réussi avec sa célèbre méthode de la gouttelette d'huile à imposer l'idée que tout corpuscule chargé porte un nombre entier de charges élémentaires e. Il observa des gouttelettes d'huile chargées électriquement entre les deux armatures électrifiées d'un condensateur plan et détermina la charge q d'une gouttelette en suspension. Dans l'expérience de Millikan on étudie le mouvement dans l'air d'une gouttelette d'huile chargée, obtenue par pulvérisation et introduite à travers un trou T entre les plaques horizontales d'un condensateur plan auxquelles on peut appliquer une différence de potentiel réglable V_A − V_B=U positive, donnant un champ électrostatique uniforme E ; la gouttelette d'huile est observée au microscope. Le pulvérisateur produit un nuage de gouttelettes d'huile chargées négativement. Le schéma de la figure 1 représente un dispositif simplifié de l'expérience menée au laboratoire. Cette figure montre DEUX longs traits horizontaux épais et parallèles : celui du haut, désigné A à sa gauche, est percé en son milieu d'un trou marqué T ; celui du bas est désigné B. Au-dessus de la plaque A, un petit nuage de ronds figure les gouttelettes, légendé « gouttes d'huiles électrisées » par une flèche venant de la gauche et « Pulvérisateur » par une flèche venant de la droite. Entre les deux plaques, à droite du trou, une gouttelette est figurée par un petit rond ; le point O est marqué sur la plaque A à sa droite, d'où descendent le vecteur k, dirigé VERS LE BAS, et l'axe z. À gauche, entre les plaques, une double flèche verticale cote la distance d, et un microscope est dessiné en coupe, légendé « Microscope » au-dessous. Une accolade à droite légende « Plaques horizontales du condensateur ». Lors de l'expérience menée au laboratoire, une gouttelette d'huile notée (S) de masse m et de charge q négative, supposée sphérique de rayon r, arrive entre les plaques A et B, distantes de d, à travers le trou T avec une vitesse initiale considérée nulle (figure 1). Données : masse volumique de l'huile ρ_H=1,3×10² kg·m⁻³ ; masse volumique de l'air ρ_A=1,3 kg·m⁻³ ; intensité de la pesanteur g=9,81 N·kg⁻¹ ; d=2,0×10⁻² m ; volume d'une sphère de rayon r, V_s=43πr³ ; charge élémentaire e=1,6×10⁻¹⁹ C. On étudie le mouvement de la gouttelette (S) dans un repère (O,k) lié à un référentiel terrestre supposé galiléen (figure 1). En l'absence de champ électrique entre les plaques, la gouttelette (S) est soumise à son poids P ; à la force de frottement fluide f=−6π η r v, où η=1,8×10⁻⁵ SI et v le vecteur vitesse de (S) à un instant t ; et à la poussée d'Archimède F_A=−ρ_A V_s g due à l'air ambiant de masse volumique ρ_A. Pendant le régime permanent, avec V_A − V_B=0, on mesure la vitesse limite de la gouttelette : v_ℓ=2,0×10⁻⁴ m·s⁻¹. On établit ensuite un champ électrostatique uniforme entre les plaques A et B en appliquant une tension V_A − V_B=U₀ ; la gouttelette subit alors une force électrostatique supplémentaire F_e=q E avec E=U₀d. On constate que pour U₀=3,1 kV, la gouttelette s'immobilise.

Partie II — Spectrographe de masse

Séparation d'un mélange d'isotopes à l'aide d'un spectrographe de masse. On se propose de séparer les ions ⁶Li⁺ et ⁷Li⁺ de masses respectives m₁ et m₂ à l'aide d'un spectrographe de masse. Le spectrographe de masse est constitué essentiellement de trois compartiments (figure 2). Dans le compartiment (1), les atomes de lithium sont ionisés en cations ⁶Li⁺ et ⁷Li⁺ ; dans le compartiment (2), les ions sont accélérés ; et dans le compartiment (3), les ions sont soumis à l'action d'un champ magnétique uniforme. Enfin, ils atteignent un écran luminescent en M et N (figure 2). La figure 2 est un schéma sans graduation : un grand rectangle couché, divisé par DEUX traits verticaux en trois compartiments numérotés (1), (2) et (3) de gauche à droite, les numéros étant portés en haut. Le premier trait vertical est désigné A au-dessus, le second C. Le point O est marqué sur le trait A, à gauche, avec le vecteur i horizontal et l'axe x ; une flèche horizontale traverse le compartiment (2) de O jusqu'au point O′, marqué sur le trait C. Dans le compartiment (3), désigné (π) en bas à droite, le vecteur B est figuré par une flèche à droite ; de O′ part un DEMI-CERCLE qui redescend et revient vers la gauche, et ses deux extrémités inférieures sont les points M (le plus haut) et N (le plus bas), marqués sur le trait C prolongé. Le mouvement des particules a lieu dans le vide et il est étudié dans un repère terrestre supposé galiléen. On néglige l'intensité du poids des cations devant l'intensité de la force de Lorentz et devant l'intensité de la force électrostatique ; la charge élémentaire étant e. Les ions ⁶Li⁺ et ⁷Li⁺ pénètrent, sans vitesse initiale en O, dans un champ électrique uniforme E existant entre les deux plaques A et C pour être accélérés jusqu'en O′ ; les plaques A et C, distantes de d, sont soumises à la tension U₀=V_A − V_C. Dans le compartiment (2) on repère, au cours du mouvement de chaque ion, sa position à un instant t par l'abscisse x sur l'axe (O ; i) (figure 2). À la sortie en O′, les ions pénètrent dans le compartiment (3) où règne un champ magnétique B uniforme normal au plan (π) du schéma ; après la déviation des ions, ils arrivent en M et N, et l'on sait que leur mouvement est circulaire uniforme dans ce compartiment. Données : e=1,6×10⁻¹⁹ C ; U₀=2 kV ; B=100 mT ; m₁=6 u ; m₂=7 u ; 1 u =1,67×10⁻²⁷ kg.