National 2021 · SM · session normale

Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I — À propos de l'acide formique

L'acide carboxylique le plus simple est l'acide méthanoïque ou formique HCOOH ; dans la nature, on le trouve dans les orties et dans le venin de plusieurs insectes comme les abeilles et les fourmis. Quand une fourmi pique un corps, elle injecte, à chaque piqûre, environ un volume V_i=6,00×10⁻³ cm³ d'une solution S₁, ce qui représente la majorité du volume total de la solution urticante disponible dans l'abdomen d'une « fourmi typique » ; le volume d'acide méthanoïque contenu dans la solution S₁ représente 50 % de V_i. Données : masse volumique de l'acide méthanoïque ρ=1,22 g·cm⁻³ ; masses molaires M(HCOOH)=46,0 g·mol⁻¹ et M(NaHCO₃)=84,0 g·mol⁻¹ ; couples acide/base (CO₂, H₂O)_(aq)/HCO⁻_3(aq) et HCOOH_(aq)/HCOO⁻_(aq). L'hydrogénocarbonate de sodium HCO⁻_3(aq) + Na⁺_(aq) est souvent utilisé pour traiter les piqûres de fourmis. Dès que la solution est injectée, elle se dilue dans l'eau du corps pour produire une solution aqueuse d'acide méthanoïque S₂ ; on considère que la solution injectée se dissout immédiatement dans 1,00 mL d'eau du corps et on néglige dans le calcul le volume d'acide méthanoïque injecté. Le pH de la solution S₂ est pH=2,43. On prépare enfin une solution aqueuse S₃ d'acide méthanoïque de même concentration molaire que la solution S₂ ; on ajoute d'abord 50,0 mL d'eau distillée à 25,0 mL de la solution S₃, puis, dans une seconde expérience, 7,50 mL d'une solution aqueuse d'hydroxyde de sodium Na⁺_(aq) + HO⁻_(aq) de concentration molaire C_b=0,1 mol·L⁻¹ à 10,0 mL de la solution S₃.

Partie II — Étude de la pile plomb-fer

On étudie la pile plomb-fer qui fait intervenir les deux couples ox/red Pb²⁺_(aq)/Pb_(s) et Fe²⁺_(aq)/Fe_(s). On la constitue de deux compartiments liés par un pont salin. Le premier compartiment est constitué d'une lame de plomb plongée dans un volume V=100 mL d'une solution aqueuse de nitrate de plomb Pb²⁺_(aq) + 2NO⁻_3(aq) de concentration molaire initiale [Pb²⁺_(aq)]_i=1,0×10⁻³ mol·L⁻¹. Le deuxième compartiment est constitué d'une lame de fer plongée dans un volume V=100 mL d'une solution aqueuse de chlorure de fer (II) Fe²⁺_(aq) + 2Cl⁻_(aq) de concentration molaire initiale [Fe²⁺_(aq)]_i=4,0×10⁻² mol·L⁻¹. La partie immergée de la lame de fer dans la solution est en excès. Données : le faraday 1F=9,65×10⁴ C·mol⁻¹ ; masse molaire du plomb M(Pb)=207 g·mol⁻¹. On monte en série avec la pile un conducteur ohmique (D), un ampèremètre (A) et un interrupteur K. À un instant de date t₀=0 on ferme le circuit ; l'ampèremètre indique alors le passage d'un courant électrique d'intensité I₀ considérée constante. On négligera l'oxydation des ions Fe²⁺_(aq) par le dioxygène dissous dans l'eau. Au cours du fonctionnement de la pile, la masse de la lame de plomb a augmenté de 2,07 mg après une durée de fonctionnement Δt=t₁ − t₀. On donne I₀=2 mA.

Ondes — vérification de la pureté d'une huile. La célérité du son dans une huile végétale dépend de sa pureté. La valeur de la célérité V_h du son dans une huile d'olive pure se situe entre 1595 m·s⁻¹ et 1600 m·s⁻¹. Pour tester une huile d'olive au laboratoire, on utilise le montage de la figure 1, qui permet de comparer les durées de parcours d'une onde ultrasonore dans des milieux différents. L'émetteur E d'ultrasons génère simultanément deux salves d'ondes. Les récepteurs A et B sont reliés à une interface d'acquisition qui déclenche l'enregistrement des signaux dès que le récepteur B détecte en premier les ultrasons. L'huile testée est disposée dans un tube en verre entre l'émetteur E et le récepteur B, tandis que l'air sépare l'émetteur E du récepteur A (figure 1). La figure 1 est un schéma en blocs, sans aucune graduation : à gauche, un rectangle vertical haut marqué E ; de lui partent vers la droite DEUX chemins superposés. Celui du HAUT est une simple ligne, au-dessus de laquelle une double flèche horizontale cote la distance D ; il aboutit à un petit rectangle marqué A. Celui du BAS traverse un long rectangle allongé, dessiné en perspective, légendé « Huile d'olive » par une flèche venant du bas ; il aboutit à un petit rectangle marqué B. De A et de B partent vers la droite deux fils accolés, légendés « Vers le système d'acquisition ». Pour chaque valeur D de la longueur du tube on mesure, par l'intermédiaire du système informatique, la durée Δt écoulée entre les deux signaux reçus en A et B. À partir de ces mesures on obtient la courbe de la figure 2, représentant les variations de Δt en fonction de D. Cette planche porte Δt en ms en ordonnée, graduée 0 · 0,5 · 1 · 1,5 — le pas de la ligne forte vaut donc 0,5 ms — et D en mètres en abscisse, gradué 0,2 puis 0,4, le pas valant 0,2 m. Le tracé est une DROITE, tracée seulement de D=0,20 m à D=1,00 m : elle monte régulièrement et s'arrête au coin supérieur droit du cadre. Les ultrasons utilisés dans cette expérience ont une fréquence de 40 kHz et leur célérité dans l'air est V_a=340 m·s⁻¹.

Transformations nucléaires — stabilité des noyaux, réaction de fission. Données : masses des particules, m(α)=4,001506 u ; m(¹⁰₅B)=10,012938 u ; m(^A_ZLi)=7,016005 u ; énergie de liaison de la particule α, E_ℓ=28,295244 MeV ; 1 u =931,5 MeV·c⁻² ; masse du neutron m_n=1,008665 u ; masse du proton m_p=1,007276 u. 1 — Diagramme de Segré. La figure 1 représente le diagramme de Segré (Z, N), dans lequel les noyaux stables correspondent aux cases GRISÉES du diagramme. C'est un QUADRILLAGE de cases carrées : l'axe vertical porte N=A − Z, gradué 0 · 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 de bas en haut, et l'axe horizontal porte Z, gradué 0 · 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 de gauche à droite ; une DIAGONALE, la droite N=Z, traverse le quadrillage du coin inférieur gauche au coin supérieur droit. Les cases grisées forment un escalier qui monte le long de cette diagonale, un peu au-dessus d'elle. 2 — Fission nucléaire. On bombarde un noyau de bore ¹⁰₅B par un neutron pour former une particule α et un noyau de lithium ^A_ZLi.

Cet exercice vise l'étude de la charge d'un condensateur et sa décharge dans une bobine, puis de la modulation et de la démodulation d'amplitude d'une onde électromagnétique. On prendra π²=10.

Partie 1 — Charge d'un condensateur et décharge dans une bobine

On réalise le montage représenté sur le schéma de la figure 1. Ce montage comprend un générateur idéal de COURANT ; un condensateur de capacité C variable, initialement non chargé ; une bobine (b) d'inductance L=8,6 mH et de résistance r=12 Ω ; un microampèremètre ; et un interrupteur K. La figure 1 montre, à gauche, le générateur de courant I₀, un cercle barré d'une flèche verticale, et au-dessous de lui le microampèremètre μA encerclé ; en haut au centre, l'interrupteur K avec ses deux positions, (1) à gauche et (2) à droite ; sous K, le point A, d'où descend le courant i vers le condensateur C, dessiné barré d'une flèche oblique — la marque du composant variable — puis le point B en bas ; à droite, la bobine (b) en spirale, désignée (L, r). On ajuste la capacité du condensateur sur une valeur C₀ et on place l'interrupteur K en position (1) à un instant de date t=0 ; le microampèremètre indique I₀=10 μA. Un système de saisie informatique convenable permet d'avoir le graphe de la figure 2, représentant √E_e=f(t), avec E_e l'énergie électrique emmagasinée dans le condensateur à un instant t. Cette planche porte √E_e en J^1/2 en ordonnée, graduée seulement DEUX fois — 5×10⁻³ et 10⁻², sur deux lignes fortes consécutives, le pas valant donc 5×10⁻³ — et le temps en secondes en abscisse, gradué 1 puis 2, le pas valant 1 s. Le tracé est une DROITE qui monte en diagonale jusqu'au coin supérieur droit du cadre. Lorsque la tension aux bornes du condensateur prend la valeur u_AB=40 V, on place l'interrupteur K en position (2) à un instant choisi comme nouvelle origine des dates (t=0). Un dispositif approprié permet de visualiser la courbe donnant les variations au cours du temps de l'intensité du courant i(t) dans le circuit (figure 3). Cette planche porte i en ampères en ordonnée, graduée −0,4 · −0,2 · 0 · 0,2 · 0,4 — le pas de la ligne forte vaut donc 0,2 A — et le temps t en abscisse SANS AUCUNE GRADUATION CHIFFRÉE. La courbe est une OSCILLATION AMORTIE qui part de i=0 à t=0 EN DESCENDANT : elle atteint un premier minimum, remonte en coupant l'axe, atteint un premier maximum, redescend à un second minimum moins profond, puis remonte vers un second maximum plus bas ; l'amplitude décroît d'une oscillation à la suivante. TROIS instants, t₁, t₂ et t₃, sont repérés sur l'axe des temps.

Partie 2 — Modulation et démodulation d'amplitude

Modulation et démodulation d'amplitude d'une onde électromagnétique. On peut transmettre une information à grande distance en modulant l'amplitude d'une onde électromagnétique qui se propage d'un émetteur à un récepteur. Afin d'obtenir un signal modulé en amplitude, on utilise un circuit intégré multiplieur X (figure 4). On applique à l'entrée E₁ la tension u₁(t)=s(t) + U₀, avec s(t)=S_mcos(2πf t) représentant le signal informatif et U₀ la tension de décalage ; et à l'entrée E₂ une tension sinusoïdale représentant la porteuse, u₂(t)=U_mcos(2πF t). La figure 4 montre le multiplieur, un rectangle marqué X, avec les deux entrées E₁ (en haut) et E₂ (au-dessous) sur son côté gauche, atteintes par deux flèches montantes marquées u₁(t) et u₂(t) ; à droite, la sortie S, surmontée d'une antenne en V, d'où descend le fil sur lequel on relève u_s(t). La tension de sortie obtenue est u_s(t)=k u₁(t) u₂(t), k étant une constante qui dépend du circuit intégré X ; elle s'exprime aussi par u_s(t)=S(t)cos(2πF t) avec S(t)=A[1 + mcos(2πf t)], où S(t) est l'amplitude de la tension modulée et m le taux de modulation. Un dispositif approprié permet de visualiser simultanément deux des tensions u₁(t), u₂(t) et u_s(t) ; on observe ainsi les oscillogrammes (a) et (b) de la figure 5. CETTE PLANCHE N'A AUCUNE GRADUATION CHIFFRÉE : elle ne porte qu'un CARTOUCHE de deux flèches en équerre, en haut à gauche, dont la branche verticale est marquée « 1 V » et l'horizontale « 40 µs » ; chacune vaut UNE division du quadrillage. Les deux tracés sont superposés sur le même écran, désignés (a) en haut et (b) en bas par une étiquette. Le tracé (a) est une SINUSOÏDE lente et propre, de grande amplitude, dont l'axe est situé nettement AU-DESSUS de l'axe des temps — elle ne coupe jamais celui-ci — et dont une période occupe CINQ divisions. Le tracé (b) est une oscillation TRÈS RAPIDE, symétrique de part et d'autre de l'axe des temps, dont l'amplitude enfle et désenfle : son enveloppe a la MÊME période que (a), cinq divisions, et l'on compte 36 oscillations rapides dans cette période. Aux endroits où l'enveloppe est la plus large, (b) occupe environ 3 divisions crête à crête ; là où elle est la plus étroite, environ 1 division. 3 — Démodulation de l'onde. La figure 6 schématise un constituant de récepteur radio lié au circuit de démodulation ; ce constituant est équivalent à la bobine (b) précédente d'inductance L et de résistance r, associée au condensateur de capacité C variable. La figure 6 montre, à gauche, une antenne en V posée sur le circuit ; au-dessous, la bobine (b), désignée (L, r), en parallèle avec le condensateur C barré d'une flèche oblique. De là part vers la droite une ligne horizontale portant successivement le point P, la diode D (un triangle barré), le point Q, l'interrupteur K₁, et le point S à droite, d'où la ligne se poursuit en tirets. Sous cette ligne pendent, vers la masse M figurée en bas par le symbole hachuré : le conducteur ohmique R′, puis le condensateur C′ barré lui aussi d'une flèche oblique. Le circuit formé par la bobine (b) et le condensateur est mis en vibration forcée par l'intermédiaire de l'antenne qui capte toutes les ondes émises par toutes les stations ; pour écouter une seule station, il suffit d'accorder la fréquence propre du circuit à la fréquence de l'émetteur en régulant la capacité du condensateur. On donne la fréquence propre visée N₀=180 kHz, la fréquence de l'information émise N_i=5 kHz et R′=100 kΩ.

Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I-1 — Mouvement de la luge sur un plan incliné

Mouvement d'une luge. On étudie le mouvement d'une luge modélisée par un solide (S) de centre d'inertie G et de masse m dans deux phases de son parcours : première phase, mouvement rectiligne de (S) sur un plan incliné ; deuxième phase, chute verticale de (S) dans l'eau. Données : masse de la luge m=20 kg ; intensité de la pesanteur g=10 m·s⁻². Première phase : mouvement de la luge sur un plan incliné. On étudie le mouvement du centre d'inertie G dans le repère (A ; i ; j) lié à un référentiel terrestre considéré galiléen (figure 1). La figure 1 réunit DEUX dessins. Celui du HAUT montre une longue droite oblique DESCENDANT vers la droite, la piste AB : le point A est marqué en haut à gauche, le point B en bas à droite ; en A sont tracés les vecteurs j, perpendiculaire à la pente, et i, dirigé le long de la pente vers le bas à droite, ainsi que l'axe y qui monte de A ; l'axe x prolonge la pente vers le bas à droite. Un peu plus bas sur la pente, la luge est figurée par un petit traîneau grisé dont le centre d'inertie G est marqué d'un point, avec la mention (S) à côté ; le vecteur V_A est tracé en A, le long de la pente. Une horizontale en trait plein part du bas à gauche jusque sous B, et l'angle α est coté entre elle et la piste. Celui du BAS, à droite, montre un LAC en coupe : un rectangle ouvert dont le bord supérieur, désigné « Surface de l'eau » par une flèche venant de la gauche, porte le point C marqué d'un gros point, relié à des tirets horizontaux ; sous C descendent le vecteur k, dirigé VERS LE BAS, et l'axe z. Après la phase de poussée vers le bas, le solide (S) atteint une vitesse V_A=5,0 m·s⁻¹ au point A et glisse sans frottement le long de la piste rectiligne AB faisant un angle α avec l'horizontale ; la pente est inclinée à 20 % (sinα=0,20). L'origine des dates (t=0) est choisie à l'instant du passage par le point A. On filme le mouvement de la luge, puis on exploite la vidéo avec un logiciel adapté ; ceci a permis de tracer la courbe représentant les variations de la vitesse de G en fonction du temps, V_exp=f(t) (figure 2). Cette planche porte V_exp en m·s⁻¹ en ordonnée, graduée seulement DEUX fois — 5 et 10, sur deux lignes fortes consécutives, le pas valant donc 5 m·s⁻¹ — et le temps en secondes en abscisse, gradué 0 · 5 · 10, le pas valant 5 s. Le tracé est une DROITE qui part du point (0 ; 5,0 m·s⁻¹), sur l'axe des ordonnées, monte régulièrement — elle vaut 10 m·s⁻¹ à t=5 s, 15 m·s⁻¹ à t=10 s, 20 m·s⁻¹ à t=15 s — et s'arrête au coin supérieur droit du cadre, au point (25 s ; 30 m·s⁻¹). On interprète la différence entre l'accélération théorique a_th et l'accélération expérimentale a_exp par l'existence de frottements : lorsque le contact entre le plan incliné et la luge se fait avec frottement solide, la piste exerce sur (S) une force R ayant une composante tangentielle R_T et une composante normale R_N, et lors du mouvement de (S) les intensités de R_T et R_N sont liées par la relation R_T=μ R_N, avec μ le coefficient de frottement.

Partie I-2 — Chute verticale de la luge dans l'eau

Deuxième phase : chute verticale de (S) dans l'eau. La luge quitte la piste en B et tombe dans un lac au point C (figure 1). Après s'être immobilisée quelques instants, la luge se met à couler verticalement sans vitesse initiale depuis le point C. On étudie le mouvement du centre d'inertie G dans un repère (C,k) lié à un référentiel terrestre considéré comme galiléen (figure 1). On repère la position de G à tout instant par la cote z de l'axe vertical (C,k) dirigé vers le bas ; l'origine des dates (t₀=0) est prise au point C. Au cours de sa chute dans l'eau, la luge est soumise, en plus de son poids, à la force de frottement fluide f=−k v, où k=200 SI et v la vitesse de G à un instant t ; on note que la poussée d'Archimède est négligée. Cette deuxième phase ne comporte pas de figure propre : elle reprend le dessin du bas de la figure 1.

Partie II — Faisceau de protons dans un champ électrostatique uniforme

On se propose dans cette partie de déterminer les caractéristiques du mouvement d'un proton dans un champ électrique uniforme. On considère que le mouvement du proton se fait dans le vide et que son poids n'a pas d'influence sur le mouvement. Un condensateur plan est constitué de deux plaques métalliques parallèles rectangulaires HORIZONTALES (A) et (B) de longueur L et séparées par une distance d (figure 3) ; les deux plaques sont soumises à une tension U₀=|V_A − V_B|, et entre elles règne un champ électrostatique uniforme E. La figure 3 montre l'axe y vertical à gauche et l'axe x horizontal vers la droite, d'origine O ; en O sont tracés les vecteurs i (horizontal), j (vertical) et k. La plaque (A) est un long trait horizontal ÉPAIS dessiné en HAUT, désigné (A) ; la plaque (B) un second trait horizontal épais dessiné EN BAS, désigné (B) ; l'axe (Ox) court exactement à mi-distance entre les deux, et deux double-flèches verticales, à droite, cotent d2 au-dessus et d2 au-dessous de cet axe. En O, le vecteur V₀ est une flèche inclinée vers le haut à droite, l'angle α étant coté entre elle et l'axe x. Le point S est marqué sur l'axe (Ox), près de l'extrémité droite des plaques. En bas, une double flèche horizontale cote la longueur L. Un faisceau de protons pénètre entre les deux plaques au point O avec la vitesse V₀ faisant un angle α avec i ; on prend l'instant où le proton passe par O comme origine des dates (t=0). Le proton pénétré en O est soumis, au cours de son mouvement le long de la distance L, à la force électrostatique F=e E, avec e la charge du proton. Données : L=20 cm ; d=7 cm ; α=30^∘ ; V₀=4,5×10⁵ m·s⁻¹ ; e=1,6×10⁻¹⁹ C ; masse du proton m_p=1,67×10⁻²⁷ kg. On rappelle que E=U₀d. Le faisceau de protons sort du champ électrostatique en S du condensateur.