National 2020 · SM · session rattrapage

Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I — Pile diiode-zinc

On étudie la pile diiode-zinc qui fait intervenir les deux couples ox/red Zn²⁺_(aq)/Zn_(s) et I_2(aq)/I⁻_(aq). On la constitue de deux compartiments liés par un pont salin (papier filtre imbibé d'une solution de chlorure de potassium K⁺_(aq) + Cl⁻_(aq)). Le premier compartiment est constitué d'une lame de zinc plongée dans un volume V=100 mL d'une solution aqueuse de sulfate de zinc Zn²⁺_(aq) + SO₄²⁻_(aq) de concentration molaire initiale [Zn²⁺_(aq)]_i=C₀=0,10 mol·L⁻¹. Le deuxième compartiment est constitué d'une lame de platine (Pt) plongée dans un volume V=100 mL d'un mélange (S) contenant une solution aqueuse du diiode I_2(aq) et une solution d'iodure de potassium K⁺_(aq) + I⁻_(aq), dont les concentrations molaires initiales dans (S) sont [I_2(aq)]_i=C₁=0,10 mol·L⁻¹ et [I⁻_(aq)]_i=C₂=5,0×10⁻² mol·L⁻¹. La partie immergée de la lame de zinc est en excès et, lorsque la pile fonctionne, l'électrode de platine ne subit aucune réaction. Données : le faraday 1F=9,65×10⁴ C·mol⁻¹ ; la constante d'équilibre associée à l'équation de la réaction I_2(aq) + Zn_(s)⇌2I⁻_(aq) + Zn²⁺_(aq), le sens (1) étant le sens direct et le sens (2) le sens inverse, est K=10⁴⁶ à 25 ^∘C. On monte en série avec la pile un conducteur ohmique (D), un ampèremètre (A) et un interrupteur K. À un instant de date t₀=0 on ferme le circuit ; l'ampèremètre indique alors le passage d'un courant électrique d'intensité considérée constante I₀=70 mA. On laisse fonctionner la pile pendant la durée Δt=t − t₀. Pour déterminer la quantité de matière de diiode consommée pendant cette durée, on dose le diiode restant dans le deuxième compartiment de la pile avec une solution incolore de thiosulfate de sodium 2Na⁺_(aq) + S₂O₃²⁻_(aq) de concentration molaire en soluté apporté C_r=0,30 mol·L⁻¹ ; le volume de la solution de thiosulfate de sodium versé à l'équivalence est V_E=20,0 mL. L'équation modélisant la réaction du dosage s'écrit I_2(aq) + 2S₂O₃²⁻_(aq)→2I⁻_(aq) + S₄O₆²⁻_(aq).

Partie II — Réactions acido-basiques d'un acide carboxylique

Les acides carboxyliques sont des composés organiques, qui entrent dans la composition de beaucoup de substances utilisées dans notre vie quotidienne tels les médicaments, les arômes, les aliments. On se propose, dans cette partie, de déterminer la formule chimique d'un acide carboxylique de formule générale C_nH_2n+1COOH (avec n∈ℕ) et d'étudier certaines réactions de cet acide avec d'autres composés. Données : M(C)=12 g·mol⁻¹ ; M(H)=1 g·mol⁻¹ ; M(O)=16 g·mol⁻¹. On prépare une solution aqueuse (S), de volume V=500 mL, d'un acide carboxylique en dissolvant une quantité de cet acide pur de masse m=2,3 g dans de l'eau distillée. On prend un volume V_A=10 mL de la solution (S) que l'on dose avec une solution aqueuse (S_B) d'hydroxyde de sodium Na⁺_(aq) + HO⁻_(aq) de concentration molaire C_B=0,10 mol·L⁻¹ ; le volume de la solution (S_B) versé à l'équivalence est V_BE=10,0 mL. Le pH de la solution (S) est pH=2,38. On mélange ensuite un volume V₁ de la solution (S) avec le même volume V₁ d'une solution aqueuse d'éthanoate de sodium CH₃COO⁻_(aq) + Na⁺_(aq) de même concentration C_A ; le pH du mélange est pH=4,25.

Propagation des ondes mécaniques et des ondes électromagnétiques. Un faisceau laser de fréquence f₁=4,76×10¹⁴ Hz éclaire une fente verticale de largeur a. On place un écran E perpendiculairement à la direction du faisceau, à une distance D=1,6 m de la fente. On observe une figure de diffraction dont la tache centrale a une largeur ℓ₁=8 cm. On donne c=3×10⁸ m·s⁻¹ la célérité d'une onde lumineuse dans l'air, et on se limite dans le cas de faibles écarts angulaires où tanθ≈θ avec θ exprimé en radian. On change ensuite le faisceau laser par une source lumineuse émettant une lumière monochromatique de longueur d'onde λ₂=450 nm.

Activité du polonium. Le polonium ²¹⁰₈₄Po, découvert en 1898 par Pierre et Marie Curie, se désintègre avec émission d'une particule α. Le polonium 210 est très toxique : la dose maximale du polonium 210 que peut supporter le corps humain correspond à une activité a_max=740 Bq. Données : le sujet donne un EXTRAIT DU TABLEAU DE LA CLASSIFICATION PÉRIODIQUE, une bande de cinq cases côte à côte portant chacune un symbole précédé de son numéro atomique en indice à gauche — ₈₁Ti · ₈₂Pb · ₈₃Bi · ₈₅At · ₈₆Rn ; m(⁴₂He)=4,00151 u ; m(Pb)=205,930 u ; m(Po)=209,9374 u ; 1 u =931,5 MeV·c⁻² =1,6605×10⁻²⁷ kg ; 1 MeV =1,6×10⁻¹³ J. Un laboratoire reçoit un échantillon de polonium 210 ; après une durée Δt=245 h 37 min à partir de la date de sa réception, on mesure l'activité de l'échantillon et on trouve qu'elle a diminué de 5 %.

Les parties I et II sont indépendantes. On se propose, dans la partie I de cet exercice, de déterminer les grandeurs caractéristiques des éléments d'un circuit électrique, en étudiant la charge d'un condensateur et sa décharge à travers une bobine. Dans la partie II, on étudiera un signal modulé en amplitude.

Partie I-1 — Réponse d'un dipôle RC à un échelon de tension ascendant

On réalise le montage représenté sur la figure 1, comportant un générateur idéal de tension de f.é.m. E ; un condensateur de capacité C VARIABLE, initialement déchargé ; un conducteur ohmique de résistance R ; un conducteur ohmique de résistance R₁ ; une bobine d'inductance L=0,1 H et de résistance négligeable ; et un interrupteur K. La figure 1 montre, à gauche, le générateur E encerclé, la flèche de E montant, et au-dessus de lui le conducteur ohmique R dans un rectangle ; en haut au centre, l'interrupteur K avec ses deux positions, (1) à gauche et (2) à droite ; sous K, le courant i descend vers le condensateur C, dessiné barré d'une flèche oblique — la marque du composant variable — et aux bornes duquel on relève u_C, sa flèche montant ; à droite, la bobine (b) en spirale ; en bas à droite, le conducteur ohmique R₁ dans un rectangle. On ajuste la capacité du condensateur sur une valeur C et on place l'interrupteur, à la date t=0, en position (1). La solution de l'équation différentielle s'écrit sous la forme i(t)=A e^−t/τ, avec A une constante et τ la constante de temps du dipôle RC. Les courbes (a) et (b) de la figure 2 représentent l'évolution de l'intensité i(t) du courant lorsqu'on ajuste la capacité du condensateur sur une valeur C₁ puis sur une valeur C₂, avec C₂>C₁. La capacité du condensateur équivalent à un condensateur de capacité C₁ monté en parallèle avec un condensateur de capacité C₂ est C_e=10 μF.

Partie I-2 — Décharge d'un condensateur dans une bobine

Après avoir chargé complètement le condensateur de capacité C₁, on bascule à un instant t — qu'on prendra comme nouvelle origine des dates (t=0) — l'interrupteur K en position (2). La courbe de la figure 3 représente l'évolution, au cours du temps, de la tension u_R1(t) aux bornes du conducteur ohmique de résistance R₁ ; (T) représente la tangente à la courbe à l'instant t=0.

Partie II — Étude d'un signal modulé en amplitude

Afin d'obtenir un signal modulé en amplitude, on utilise un circuit intégré multiplieur X de constante caractéristique k=0,1 V⁻¹ (figure 4). La figure 4 montre le multiplieur, un rectangle marqué X, avec les deux entrées E₁ (en haut) et E₂ (au-dessous) sur son côté gauche, atteintes par deux flèches montantes marquées v_p(t) et v_s(t) ; à droite, la sortie S, d'où descend le fil sur lequel on relève u_s(t) par rapport à la masse, figurée en bas à droite. On applique à l'entrée E₁ la tension v_p(t)=U_mcos(2π 10⁵t) et à l'entrée E₂ la tension v_s(t)=s(t) + U₀, avec s(t)=S_mcos(2π 10³t) et U₀ la tension de décalage. La tension de sortie obtenue est u_s(t)=k(s(t) + U₀)v_p(t), qui peut s'écrire u_s(t)=A[m2cos(2πN₁ t) + cos(2πF t) + m2cos(2πN₂ t)] avec A=k U_m U₀, N₁<F<N₂, F la fréquence de l'onde porteuse et m le taux de modulation. On visualise la tension s(t) sur l'entrée X de l'oscilloscope et la tension de sortie u_s(t) sur l'entrée Y, et on élimine la base de temps (mode XY). On obtient ainsi l'oscillogramme de la figure 5, représentant u_s(t) en fonction de s(t).

Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I — Chute verticale d'une bille dans un liquide visqueux

Dans cette partie on étudie le mouvement du centre d'inertie G d'une bille sphérique homogène, de masse m et de rayon r, dans une huile contenue dans un tube. On étudie le mouvement du centre d'inertie G dans un repère (O,k) lié à un référentiel terrestre considéré comme galiléen (figure 1). La figure 1 montre, à droite, un TUBE vertical étroit, dessiné en coupe et grisé, fermé en haut par un trait épais ; le point O₁ est marqué juste sous ce trait, à l'intérieur du tube, et le point O à sa gauche, hors du tube, relié à O₁ par un trait pointillé horizontal. Sous O part le vecteur k, dirigé VERS LE BAS, puis un long axe vertical descendant terminé par la lettre z. À l'intérieur du tube, un peu plus bas, la bille est figurée par un gros disque noir. On repère la position de G à tout instant par la cote z de l'axe vertical (O,k) dirigé vers le bas ; l'origine de l'axe est confondue avec le point O₁. À l'instant de date t₀, prise comme origine des dates (t₀=0), on lâche la bille sans vitesse initiale du point O₁ (figure 1). Au cours de sa chute dans l'huile, la bille est soumise, en plus de son poids, à la force de frottement fluide f=−6π η r v k, où η est la viscosité de l'huile, r le rayon de la bille et v la vitesse de G à un instant t ; et à la poussée d'Archimède F=−ρ_ℓ V_S g, où g est l'intensité de la pesanteur, V_S le volume de la bille et ρ_ℓ la masse volumique de l'huile. Données : l'intensité de la pesanteur g=9,81 m·s⁻² ; la masse volumique de l'huile ρ_ℓ=860 kg·m⁻³ ; le rayon de la bille r=6,3 mm ; la masse volumique de la matière constituant la bille ρ_S=4490 kg·m⁻³. On rappelle que le volume d'une sphère de rayon r est V=43πr³. La vitesse limite v_lim de chute de la bille est déterminée par une étude expérimentale qui consiste à filmer le mouvement de la bille dans un tube en verre vertical de hauteur h=90 cm et rempli de l'huile utilisée ; l'exploitation des résultats de l'enregistrement a donné v_lim≃1,0 m·s⁻¹.

Partie II — Mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur

On étudie dans cette partie le mouvement de chute libre d'un projectile, de centre d'inertie G et de masse m, dans un repère orthonormé R(O,i,j) lié au référentiel terrestre considéré galiléen. On suppose qu'au cours du mouvement, le champ de pesanteur est uniforme. À un instant choisi comme origine des dates (t=0), on lance le projectile depuis le point O, origine du repère, avec une vitesse initiale V₀ faisant un angle α avec l'horizontale et situé dans le plan (xOy) (figure 2). La figure 2 est un schéma très dépouillé : l'origine O en bas à gauche, d'où partent l'axe x horizontal vers la droite et l'axe y vertical vers le haut ; en O, le vecteur i horizontal et le vecteur j vertical ; et le vecteur V₀, une flèche inclinée vers le haut à droite, l'angle α étant coté entre lui et l'axe x. Données : g=10 m·s⁻² ; V₀=100 m·s⁻¹. On rappelle que 1cos²α=1 + tan²α. On garde ensuite la norme de V₀ constante et l'on cherche l'angle α permettant d'atteindre une cible (A) de coordonnées (x_A=400 m ; y_A=100 m). On fait enfin varier l'angle α ; soit (C) la courbe, dans le plan (xOy), qui limite l'ensemble des points pouvant être atteints par ce projectile — cette courbe porte le nom de parabole de sûreté.