National 2020 · SM · session normale

Les deux parties sont indépendantes.

Partie 1 — Dosage de l'acide lactique dans un lait

L'acidité d'un lait augmente par fermentation lactique en cas de mauvaise conservation. Le dosage de l'acide lactique de formule CH₃−CHOH−COOH permet donc d'apprécier l'état de conservation du lait : moins le lait est frais, plus il contient de l'acide lactique. On se propose de doser l'acide lactique présent dans un lait de vache, qui n'a subi aucun traitement, par une solution aqueuse d'hydroxyde de sodium. On supposera que l'acidité du lait est due uniquement à l'acide lactique. L'acide lactique sera simplement noté HA. Données : toutes les mesures sont effectuées à 25 ^∘C ; le produit ionique de l'eau K_e=10⁻¹⁴ ; masse molaire de l'acide lactique 90 g·mol⁻¹. 1 — Préparation de la solution aqueuse d'hydroxyde de sodium. On prépare une solution aqueuse (S_B) d'hydroxyde de sodium Na⁺_(aq) + HO⁻_(aq) de volume V=1,0 L et de concentration molaire C_B, par dissolution d'une masse de soude dans de l'eau distillée. La mesure du pH de la solution (S_B) donne pH=12,70. 2 — Contrôle de la qualité d'un lait de vache. Un technicien de laboratoire dose l'acidité d'un lait de vache. Il réalise le titrage pH-métrique à l'aide de la solution aqueuse (S_B) d'hydroxyde de sodium de concentration molaire C_B. Pour cela il introduit, dans un bécher, un volume V_A=25,0 mL de lait, puis il verse progressivement un volume V_B de la solution (S_B) et note pour chaque volume versé le pH du mélange réactionnel. On note V_BE le volume de la solution d'hydroxyde de sodium versé à l'équivalence et K_A la constante d'acidité du couple HA_(aq)/A⁻_(aq). On établit la relation V_B 10^−pH=K_A(V_BE − V_B) pour 0<V_B<V_BE. La courbe de la figure 1 représente les variations de 10^−pH V_B en fonction de V_B. Cette planche porte 10^−pH V_B en mL en ordonnée, graduée seulement DEUX fois — 5×10⁻⁴ et 10⁻³, sur deux lignes fortes séparées par une ligne forte intermédiaire non chiffrée, le pas de la ligne forte valant donc 5×10⁻⁴ — et V_B en mL en abscisse, gradué 2 puis 4, le pas valant 2 mL. Le tracé est une DROITE DESCENDANTE : elle entre par le haut à gauche vers V_B=1 mL, où elle vaut environ 1,43×10⁻³, descend régulièrement — elle vaut 10⁻³ vers V_B=4,5 mL et 5×10⁻⁴ vers V_B=8,6 mL — et se poursuit en POINTILLÉ à partir de V_B≈10 mL jusqu'à couper l'axe des abscisses en V_B=12,4 mL. Sa pente vaut environ −1,25×10⁻⁴ par millilitre. Dans l'industrie alimentaire, l'acidité d'un lait s'exprime en degré Dornic, noté ^∘D. Un degré Dornic (1^∘D) correspond à 1,0×10⁻¹ g d'acide lactique par litre de lait. Un lait est considéré comme frais s'il a une acidité comprise entre 15^∘D et 18^∘D.

Partie 2 — Pile chrome-argent

La pile chrome-argent est composée de deux compartiments liés par un pont salin. Le compartiment (1) est constitué d'une lame de chrome plongée dans un volume V=100 mL d'une solution aqueuse de nitrate de chrome (III) Cr³⁺_(aq) + 3NO⁻_3(aq) de concentration molaire initiale [Cr³⁺_(aq)]_i=C₁=0,100 mol·L⁻¹. Le compartiment (2) est constitué d'une lame d'argent plongée dans le volume V d'une solution aqueuse de nitrate d'argent Ag⁺_(aq) + NO⁻_3(aq) de concentration molaire initiale [Ag⁺_(aq)]_i=C₁. Données : couples intervenant dans la réaction, Cr³⁺_(aq)/Cr_(s) et Ag⁺_(aq)/Ag_(s) ; constante de Faraday 1F=9,65×10⁴ C·mol⁻¹ ; masse molaire M(Cr)=52 g·mol⁻¹. On monte en série avec la pile un conducteur ohmique (D), un ampèremètre (A) et un interrupteur K. À un instant de date t₀=0 on ferme le circuit ; l'ampèremètre indique alors le passage d'un courant électrique d'intensité positive constante I₀ lorsque sa borne COM est reliée à l'électrode de chrome. Au cours du fonctionnement de la pile, la masse de l'une des électrodes diminue de 52 mg après une durée Δt=t₁ − t₀ de fonctionnement. On donne I₀=50 mA.

Diffraction de la lumière. On considère c=3×10⁸ m·s⁻¹ la célérité d'une onde lumineuse dans l'air. Le schéma de la figure représente un montage expérimental pour l'étude de la diffraction de la lumière. Ce schéma, sans aucune graduation, montre à gauche une flèche horizontale légendée « Lumière » qui vient frapper un trait vertical épais — la fente — dont l'ouverture, au milieu, est désignée a par une flèche oblique venant d'en bas. De cette ouverture partent vers la droite deux traits en POINTILLÉ qui s'écartent symétriquement de part et d'autre d'un axe horizontal, également en pointillé ; l'angle θ est coté entre le trait supérieur et cet axe. À droite, un second trait vertical épais, légendé « Ecran » au-dessus ; entre les deux extrémités du faisceau diffracté, une double flèche verticale mesure la « Tache centrale de largeur X ». En bas, une double flèche horizontale cote la distance D entre la fente et l'écran. Une fente de largeur a est éclairée avec une lumière laser rouge, de longueur d'onde λ₁=632,8 nm, puis par une lumière jaune, d'une lampe à mercure, de longueur d'onde λ₂ inconnue. Sur un écran situé à la distance D de la fente, on visualise successivement les figures de diffraction obtenues. En lumière rouge, la tache centrale a une largeur X₁=6,0 cm et en lumière jaune une largeur X₂=5,4 cm. On se limite dans le cas de faibles écarts angulaires où tanθ≈θ avec θ exprimé en radian. On réalise ensuite la même expérience en utilisant une lumière blanche : on observe une tache centrale blanche et des taches latérales irisées. On considère enfin la lumière rouge du laser se propageant dans un milieu d'indice n=1,5.

Désintégration de l'oxygène 15. La tomographie par émission de positrons (dénommée PET, « positron emission tomography ») est une technique d'imagerie médicale pratiquée en médecine nucléaire, qui permet d'obtenir des images précises de quelques organes du corps en trois dimensions dans lesquels il pourrait y avoir des maladies comme le cancer. Parmi les substances radioactives utilisées on cite le fluor, l'oxygène, l'azote… Dans cet exercice on utilise l'oxygène 15 (¹⁵₈O), qui est l'un des isotopes de l'oxygène. En PET, on détecte les molécules d'eau (présentes en grande quantité dans le cerveau) en utilisant de l'eau radioactive — eau marquée à l'oxygène 15 (¹⁵₈O) — que l'on injecte au sujet par voie intraveineuse. L'oxygène 15 se désintègre en un noyau ^A_ZX avec émission d'un positron. Données : constante d'Avogadro N_A=6,022×10²³ mol⁻¹ ; 1 u =931,494 MeV·c⁻² ; masse molaire de l'eau M=18 g·mol⁻¹ ; masse volumique de l'eau ρ=1 g·cm⁻³ ; les masses m(^A_ZX)=15,000109 u, m(¹⁵₈O)=15,003066 u, m(⁰₁e)=5,486×10⁻⁴ u ; la demi-vie de l'oxygène 15, t_1/2=122 s. On admet que le volume d'une injection d'activité initiale a₀=3,7×10⁷ Bq est V=5 cm³. Pour poursuivre l'examen par PET, on suppose qu'il est nécessaire de procéder à une nouvelle injection lorsque l'activité a(t₁) du noyau d'oxygène 15 restant à l'instant de date t₁ est de l'ordre de 0,15 % de l'activité initiale a₀ de l'injection à t=0.

Les composants tels les résistors, les condensateurs, les bobines, les diodes… sont utilisés dans différents circuits des appareils électriques et électroniques. On se propose d'étudier dans cet exercice la réponse d'un dipôle RC à un échelon de tension ascendant, et les oscillations libres et forcées dans un circuit RLC série. On réalise le montage schématisé sur la figure 1, comportant un générateur idéal de tension de f.é.m. E, un conducteur ohmique de résistance R RÉGLABLE, un condensateur de capacité C initialement déchargé, un interrupteur K, et une bobine (b) d'inductance L et de résistance r=12 Ω. La figure 1 montre le générateur E encerclé à gauche, la flèche de E montant ; en haut au centre, l'interrupteur K avec ses deux positions, (1) à gauche et (2) à droite ; sous K, le courant i descend vers le condensateur C, aux bornes duquel on relève u_C — sa flèche monte — puis vers le conducteur ohmique R, dessiné dans un rectangle barré d'une flèche oblique, la marque du composant réglable ; à droite, la bobine (b) dessinée en spirale.

Partie 1 — Charge du condensateur

On ajuste la résistance R sur la valeur R=R₀=40 Ω. À l'instant t=0, on place l'interrupteur K en position (1). La courbe de la figure 2 représente les variations de l'intensité i(t) en fonction de q(t). Cette planche porte i en ampères en ordonnée, graduée 0 · 0,05 · 0,1 — le pas de la ligne forte vaut donc 0,05 A — et q en µC en abscisse, gradué 0 · 5 · 10, le pas valant 5 µC. Le tracé est une DROITE DESCENDANTE.

Partie 2 — Décharge du condensateur dans la bobine

On ajuste la résistance R sur une valeur R₁. Une fois le régime permanent établi, on bascule l'interrupteur K en position (2) à un instant pris comme nouvelle origine des dates (t=0). Un système d'acquisition informatisé adéquat a permis de tracer la courbe représentant la charge q(t) du condensateur (figure 3). CETTE PLANCHE N'A AUCUNE GRADUATION CHIFFRÉE : elle ne porte qu'un CARTOUCHE de deux flèches en équerre, posé sous la courbe, dont la branche verticale est marquée « 10 µC » et la branche horizontale « 4 ms ». La courbe est une OSCILLATION AMORTIE qui part de son MAXIMUM à t=0. Un TRAIT VERTICAL EN POINTILLÉ, marqué t₁, est tracé sur le TROISIÈME minimum. On fait ensuite varier la résistance R, et on constate que pour A>2√B le régime des oscillations est apériodique ; dans ce cas la résistance totale du circuit est supérieure à une valeur R_c. On prend π²=10.

Partie 3 — Oscillations forcées dans un circuit RLC série

On alimente le circuit, formé par les dipôles précédemment utilisés — la bobine (b), le conducteur ohmique de résistance réglable R et le condensateur de capacité C — par un générateur GBF délivrant une tension alternative sinusoïdale u(t)=U_mcos(2πN t + φ) de fréquence N variable (figure 4). La figure 4 montre une maille fermée : la branche du haut porte, de gauche à droite, le conducteur ohmique R dans un rectangle barré d'une flèche oblique, la bobine (L, r) en spirale et le condensateur C ; à droite, l'ampèremètre A encerclé descend ; la branche du bas porte le GBF, encerclé. L'intensité du courant passant dans le circuit s'écrit i(t)=I_mcos(2πN t). On ajuste la résistance R sur la valeur R₂. On visualise, à l'aide d'un système d'acquisition informatique adéquat, la tension u_R(t) aux bornes du conducteur ohmique sur la voie Y_A et la tension u(t) aux bornes du générateur sur la voie Y_B. On obtient l'oscillogramme représenté sur la figure 5. CET ÉCRAN NE PORTE AUCUN CHIFFRE : sa seule échelle est un CARTOUCHE de deux flèches en équerre, en haut à droite, dont la branche verticale est marquée « 1 V » et l'horizontale « 2 ms » ; chacune enjambe DEUX carreaux du quadrillage, si bien qu'un carreau vaut 0,5 V et 1 ms. On y voit DEUX sinusoïdes de même période mais DÉCALÉES l'une par rapport à l'autre. On donne l'impédance mesurée du circuit, Z≃390,4 Ω.

Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I-1 — Mouvement du skieur sans frottement fluide

Étude du mouvement d'un skieur. On étudie dans cette partie le mouvement d'un skieur sur un plan incliné dans deux cas : premier cas, la force de frottement fluide exercée par l'air est négligeable ; deuxième cas, la force de frottement fluide exercée par l'air n'est pas négligeable. Un skieur glisse sur une piste plane inclinée d'un angle α=45^∘ par rapport au plan horizontal, selon la ligne de plus grande pente (figure 1). On modélise le skieur et ses accessoires par un système solide (S) de masse m=75 kg et de centre d'inertie G. La figure 1 montre une longue droite oblique DESCENDANT vers la droite, la piste ; en haut à gauche, le point O, origine du repère, d'où partent le vecteur i dirigé le long de la pente vers le BAS à droite et le vecteur j perpendiculaire à la pente vers le haut ; l'axe x prolonge la pente vers le bas à droite, l'axe y part de O vers le haut à droite, tous deux en pointillé. Un peu plus bas sur la pente, le skieur est figuré par une silhouette grisée dont le centre d'inertie G est marqué. En bas à droite, l'angle α est coté entre la pente et l'horizontale, tracée en tirets. On étudie le mouvement de G dans un repère orthonormé (O,i,j) lié à un référentiel terrestre supposé galiléen. À l'instant t=0, le skieur part sans vitesse initiale ; à cet instant, G coïncide avec l'origine O du repère (figure 1). On prendra l'accélération de la pesanteur g=10 m·s⁻² et on négligera la poussée d'Archimède. Premier cas : mouvement du skieur sans frottement fluide. Le contact entre le plan incliné et le système (S) se fait avec frottement solide. La piste exerce sur le skieur une force R ayant une composante tangentielle T et une composante normale N ; lors du mouvement du skieur, les intensités de T et de N sont liées par la relation T=k N, avec k une constante. La courbe de la figure 2 représente la variation de la vitesse v du centre d'inertie G en fonction du temps. Cette planche porte v en m·s⁻¹ en ordonnée, graduée 0 · 0,7 · 1,4 — le pas de la ligne forte vaut donc 0,7 m·s⁻¹ — et le temps en secondes en abscisse, gradué 1 puis 2, le pas valant 1 s. Le tracé est une DROITE qui part de l'ORIGINE et monte régulièrement jusqu'au coin supérieur droit du cadre, passant par le point (2 s ; 1,4 m·s⁻¹).

Partie I-2 — Mouvement du skieur avec frottement fluide

Deuxième cas : mouvement du skieur avec frottement fluide. En plus des mêmes forces exercées sur (S) dans le premier cas, (S) est soumis à des frottements fluides dûs à l'air que l'on modélise par la force F=−λ v, où v est la vitesse du centre d'inertie G à un instant t et λ une constante positive de valeur λ=5 SI. Le sujet donne un TABLEAU de trois colonnes — t (s), v (m·s⁻¹), a_G (m·s⁻²) — et de deux lignes : t₁=14, v₁=6,30, a₁ ; puis t₂=15,4, v₂, a₂. Le pas de calcul de la méthode d'Euler est Δt=t₂ − t₁. Ce deuxième cas ne comporte pas de figure propre : il reprend la figure 1 et s'appuie sur ce tableau.

Partie II — Sphère chargée dans un champ électrostatique

Mouvement d'une sphère chargée dans le champ de pesanteur et dans un champ électrique. Deux plaques métalliques VERTICALES (A) et (C) sont placées dans le vide à une distance d l'une de l'autre et sont soumises à une tension V_A − V_C=U₀ positive. La longueur de chaque plaque est ℓ. Entre les deux plaques règne un champ électrostatique uniforme E (figure 3). La figure 3 montre le repère : l'axe y vertical vers le haut à gauche, l'axe x horizontal vers la droite, l'origine O en bas à gauche avec les vecteurs i (horizontal) et j (vertical). La plaque (A) est le trait vertical épais dressé en O, désignée (A) à sa gauche ; la plaque (C) est un second trait vertical épais, parallèle, dressé plus à droite au point P de l'axe x, désignée (C) à sa droite ; la hauteur ℓ est marquée sur l'axe y. Entre les deux plaques, une flèche horizontale désignée E pointe vers la droite. Au sommet, le point M₀ est marqué d'un gros point, à mi-distance des plaques, repéré par deux traits en pointillé : l'un horizontal jusqu'à l'ordonnée ℓ, l'autre vertical jusqu'à l'abscisse d2, cotée sous l'axe. Une petite sphère (S) pesante de masse m, portant une charge positive q, est abandonnée sans vitesse initiale à l'instant t=0 du point M₀. On étudie le mouvement du centre d'inertie G de la sphère (S) dans un repère orthonormé R(O,i,j) lié au référentiel terrestre considéré galiléen. Les coordonnées du point M₀ dans ce repère sont (x₀=d2 ; y₀=ℓ) (figure 3). Entre les deux plaques la sphère est soumise, en plus de son poids, à la force électrostatique F=q E. Données : g=10 m·s⁻² ; ℓ=1 m ; d=4 cm ; α=qm=10⁻⁶ C·kg⁻¹. On rappelle que E=U₀d.