National 2019 · SM · session rattrapage

Les parties I et II sont indépendantes. L'hydroxyde de sodium et la méthylamine sont des composés chimiques qui entrent dans la production de très nombreux produits synthétiques. On se propose d'étudier dans la première partie de cet exercice le dosage d'une solution aqueuse de méthylamine, et dans la deuxième partie l'hydrolyse basique d'un ester.

Partie I — Dosage d'une solution aqueuse de méthylamine

On dispose d'une solution aqueuse (S) de méthylamine CH₃NH₂ de concentration molaire C. On prélève un volume V=10 mL de la solution (S) que l'on dose par une solution aqueuse d'acide chlorhydrique H₃O⁺_(aq) + Cl⁻_(aq) de concentration molaire C_A=2×10⁻² mol·L⁻¹. La courbe de la figure 1 représente la variation du pH du mélange réactionnel en fonction du volume V_A d'acide versé. Données : toutes les mesures sont effectuées à 25 ^∘C ; le produit ionique de l'eau K_e=10⁻¹⁴. La figure 1 porte le pH en ordonnée, gradué de 1 à 11 de 1 en 1 — le pas de la ligne forte vaut donc 1 unité de pH — et V_A en mL en abscisse, gradué 2 · 4 · 6 · 8 · 10 · 12, le pas valant 2 mL. Le sujet donne à côté un TABLEAU de trois indicateurs colorés et de leurs zones de virage : vert de bromocrésol, 3,8–5,4 ; bleu de bromothymol, 6,0–7,6 ; phénolphtaléine, 8,2–10,0.

Partie II — Hydrolyse basique d'un ester

L'éthanoate de propyle est un ester, que l'on note E, caractérisé par son odeur de poire. Il est utilisé dans l'industrie de la parfumerie, des arômes, des peintures, des lubrifiants… On réalise, à l'instant de date t=0, DEUX mélanges équimolaires de l'ester E et d'une solution aqueuse d'hydroxyde de sodium. Chaque mélange est constitué d'un volume V_E d'une solution de l'ester E de concentration molaire C₁=10⁻² mol·L⁻¹ et d'un volume V_B=V_E d'une solution aqueuse d'hydroxyde de sodium de même concentration. Dans des conditions expérimentales déterminées chaque mélange réactionnel est le siège d'une réaction modélisée par l'équation E_(ℓ) + HO⁻_(aq)→CH₃COO⁻_(aq) + A_(ℓ). Pour l'un des mélanges l'expérience est réalisée à la température θ₁, pour l'autre elle est réalisée à la température θ₂, avec θ₂>θ₁. Les courbes C et C′ de la figure 2 représentent l'évolution de la concentration [CH₃COO⁻_(aq)] au cours du temps à la température θ₁ et à la température θ₂. Cette planche porte [CH₃COO⁻_(aq)] en mmol·L⁻¹ en ordonnée, graduée 1 puis 2 — le pas de la ligne forte vaut donc 1 mmol·L⁻¹ — et le temps en minutes en abscisse, gradué 4 puis 8, le pas valant 4 min. LES DEUX COURBES PARTENT DE L'ORIGINE et montent vers le MÊME PALIER horizontal, mais pas à la même allure. Une DROITE en POINTILLÉ, marquée « (T) », est tracée en plus : c'est la tangente à la courbe C au point d'abscisse t=0.

Propagation d'une onde le long d'une corde. Une lame vibrante en mouvement sinusoïdal de fréquence N, fixée à l'extrémité S d'une corde élastique SA très longue et tendue horizontalement, génère le long de celle-ci une onde progressive périodique non amortie de célérité v. Un dispositif approprié, placé en A, empêche toute réflexion des ondes. Le mouvement de S débute à l'instant t=0. Les courbes (1) et (2) de la figure représentent l'élongation d'un point M de la corde, situé à la distance d de S, et l'aspect de la corde à un instant t₁. LES DEUX PLANCHES SONT DESSINÉES CÔTE À CÔTE, SANS QUADRILLAGE ET SANS AUCUNE GRADUATION D'ORDONNÉE : chacune n'a qu'un axe horizontal chiffré. Celle de GAUCHE, désignée « Courbe (1) » sous elle, porte en abscisse le temps t en 10⁻² s, gradué 4 · 8 · 12 · 16. Le tracé y reste CONFONDU AVEC L'AXE, donc nul, depuis l'origine jusqu'à t=8×10⁻² s ; à partir de cet instant il devient une sinusoïde qui part VERS LE BAS, atteint un premier minimum vers t=10×10⁻² s, repasse par zéro vers 12×10⁻² s, atteint un premier maximum vers 14×10⁻² s, et poursuit sans s'amortir — deux oscillations entières tiennent dans la largeur de la planche, et l'écart entre deux maximums successifs vaut 8×10⁻² s. Celle de DROITE, désignée « Courbe (2) », porte en abscisse la position x en 10⁻² m, graduée 20 · 40 · 60 · 80. Le tracé y est une sinusoïde qui part de l'ORIGINE VERS LE HAUT, atteint un maximum vers x=10×10⁻² m, repasse par zéro à x=20×10⁻² m, atteint un minimum vers 30×10⁻² m, repasse par zéro à 40×10⁻² m, et ainsi de suite jusqu'à x=80×10⁻² m, où il rejoint l'axe et y reste CONFONDU au-delà ; l'écart entre deux maximums successifs vaut 40×10⁻² m. On donne la relation qui lie la célérité v de l'onde, la tension F de la corde et sa masse linéique μ (quotient de la masse sur la longueur) : v=√Fμ. On double ensuite la tension F de la corde (F′=2F) sans modifier la fréquence N.

On prendra π²=10.

Partie I-1 — Étude du dipôle RC

Étude d'un dipôle RC et des oscillations électriques libres dans un circuit RLC. On réalise le montage schématisé sur la figure 1 comportant un générateur idéal de tension de f.é.m. E ; deux conducteurs ohmiques de résistances R₁=1,5×10⁵ Ω et R₂=32 Ω ; deux condensateurs (C₁) et (C₂) de capacités respectives C₁ et C₂=4 μF, initialement non chargés ; un interrupteur double position K ; et une bobine (b) d'inductance L=0,2 H et de résistance r=10 Ω. La figure 1 montre, à gauche, le générateur E encerclé, la flèche de E montant, le courant i partant vers la droite le long de la branche du haut, et le conducteur ohmique R₁ dans un rectangle en bas ; au centre, la branche verticale qui porte le point A en haut, les DEUX condensateurs C₁ (au-dessus) et C₂ (au-dessous) montés EN SÉRIE, et le point B en bas — la tension u_AB est relevée à leurs bornes, sa flèche montant ; en haut au centre, l'interrupteur K avec ses deux positions, (1) à gauche et (2) à droite ; à droite, la branche qui porte le conducteur ohmique R₂ dans un rectangle, aux bornes duquel on relève u₂(t) — sa flèche pointant vers la gauche — et la bobine (b) dessinée en spirale ; la tension u₁(t) est relevée entre A et le point commun, sa flèche montant. On place l'interrupteur (K) en position (1) à l'instant t=0. Un système d'acquisition informatisé adéquat a permis de tracer la courbe représentant la tension u_AB(t) (figure 2). La droite (T) représente la tangente à la courbe au point d'abscisse t=0. On symbolise par C_e la capacité du condensateur équivalent à l'association en série de (C₁) et (C₂). La figure 2 porte u_AB en volts en ordonnée, graduée 0 · 4 · 8 — le pas de la ligne forte vaut donc 4 V — et le temps en secondes en abscisse, gradué 0,2 puis 0,4, le pas valant 0,2 s. La courbe part de u_AB=0 à t=0, croît en s'incurvant et rejoint un PALIER horizontal à 24 V, pratiquement atteint vers t=1 s. La droite (T), marquée « (T) », part de l'origine, monte très raide et coupe ce palier à t=0,20 s.

Partie I-2 — Oscillations électriques libres dans le circuit RLC

Une fois que le régime permanent est établi, on bascule l'interrupteur K à la position (2) à un instant pris comme nouvelle origine des dates (t=0). Un système d'acquisition informatisé adéquat a permis de tracer la courbe représentant la tension u₂(t) aux bornes du conducteur ohmique de résistance R₂ (figure 3). CETTE PLANCHE N'A AUCUNE GRADUATION CHIFFRÉE EN ORDONNÉE — seulement deux petits traits sur l'axe, sans nombre ; en abscisse, le temps est gradué 1 puis 2 en ms, le pas valant 1 ms. La courbe est une OSCILLATION AMORTIE qui part de zéro à t=0 EN DESCENDANT : premier minimum vers t=0,9 ms, premier maximum vers t=2,9 ms, second minimum vers t=4,9 ms, second maximum vers t=6,8 ms ; le second maximum est nettement moins haut que le premier, et le second minimum moins profond que le premier. L'écart entre deux minimums successifs, comme entre deux maximums successifs, vaut 4,0 ms. Pour entretenir les oscillations amorties obtenues, on introduit en série dans le circuit un générateur délivrant une tension u_g=k i(t), avec u_g exprimée en volt (V) et i(t) en ampère (A).

Partie II — Oscillations forcées dans un circuit RLC série

On réalise un circuit électrique composé des éléments suivants montés en série : un générateur de basse fréquence (GBF) qui délivre une tension sinusoïdale u(t) de fréquence N réglable et de tension maximale constante ; un condensateur de capacité C ; la bobine (b) précédemment utilisée ; et un conducteur ohmique de résistance R=40 Ω. On fixe la fréquence du GBF sur une valeur N₀ puis on visualise, à l'aide d'un système d'acquisition informatique adéquat, la tension u_R(t) aux bornes du conducteur ohmique et la tension u(t) aux bornes du générateur. On obtient l'oscillogramme représenté sur la figure 4. CET ÉCRAN NE PORTE AUCUN CHIFFRE : sa seule échelle est un CARTOUCHE, une flèche verticale marquée « 2,5 V » dont la longueur vaut EXACTEMENT UNE ligne forte du quadrillage. On y voit DEUX sinusoïdes de même période et EN PHASE — elles passent par leur maximum, par zéro et par leur minimum aux mêmes abscisses. Elles n'ont pas la même amplitude : la plus grande monte de 2,0 lignes fortes au-dessus de l'axe médian et descend d'autant au-dessous ; la plus petite, de 1,6 ligne forte de part et d'autre. Deux oscillations entières tiennent dans la largeur de l'écran.

Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I-A — Mouvement oscillatoire du corps solide

Mouvement oscillatoire et chute libre d'un corps solide. On modélise un jouet par un système mécanique constitué d'un ressort (R) à spires non jointives, de masse négligeable, de raideur K=50 N·kg⁻¹, et d'un corps solide (S) de masse m=50 g et de centre d'inertie G. Données : intensité de la pesanteur g=10 m·s⁻² ; α=30^∘. On étudie le mouvement du corps (S) dans deux situations. On attache à l'une des extrémités du ressort (R) le solide (S) et on fixe l'autre extrémité à un support fixe. Le solide (S) peut glisser sans frottement sur la ligne de plus grande pente d'un plan incliné d'un angle α par rapport au plan horizontal (figure 1). La figure 1 montre, en bas à gauche, un support hachuré incliné auquel est accroché le ressort (R), dessiné en spirale et couché le long de la pente qui MONTE vers la droite ; l'angle α est coté en bas entre la pente et l'horizontale en pointillé. À l'extrémité haute du ressort, le solide (S), un petit rectangle dont le centre d'inertie G est marqué ; l'origine O du repère est marquée juste au-dessous de G sur la ligne de pente, avec le vecteur i dirigé le long de la pente VERS LE HAUT à droite et le vecteur j perpendiculaire à la pente ; l'axe x prolonge la pente vers le haut à droite et l'axe y part de O perpendiculairement. On étudie le mouvement du centre d'inertie G dans le repère orthonormé R(O,i,j) lié à un référentiel terrestre considéré comme galiléen. On repère la position de G à un instant t par l'abscisse x sur l'axe (O,i) ; à l'équilibre, G est confondu avec l'origine O du repère (figure 1). On écarte (S) de sa position d'équilibre d'une distance d=2 cm dans le sens positif et on le lâche à l'instant de date t=0 sans vitesse initiale. On choisit comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur (E_pp=0) le plan horizontal auquel appartient G à l'équilibre, et comme référence de l'énergie potentielle élastique (E_pe=0) l'état où le ressort est non déformé. On note T₀ la période propre de l'oscillateur.

Partie I-B — Mouvement de chute libre du corps solide

On détache le corps (S) du ressort (R). On comprime suffisamment le ressort et on place à son extrémité libre le corps (S), puis on le lâche. À un instant donné, le corps (S) quitte le ressort et arrive au point O₁ avec une vitesse V₀₁ faisant l'angle α avec l'horizontale et de norme V₀₁=2 m·s⁻¹ (figure 2), et tombe en chute libre. La figure 2 reprend le plan incliné de la figure 1 — support hachuré, ressort en spirale, solide (S) avec son centre G — et ajoute, en haut à droite de la pente, le point O₁ marqué à son sommet : de O₁ partent le vecteur j₁ vertical vers le haut, le vecteur i₁ horizontal vers la droite le long de l'axe x₁, et le vecteur V₀₁ incliné de l'angle α sur l'horizontale ; l'axe y₁ monte de O₁. Loin à droite, sur l'axe x₁, une CUVE À EAU est dessinée en coupe, grisée et légendée « Cuve à eau » ; ses deux bords sont repérés sur l'axe par les abscisses x₁₁ (à gauche) et x₁₂ (à droite). On étudie le mouvement de chute libre du centre d'inertie G dans le repère (O₁,i₁,j₁) lié à un référentiel terrestre considéré galiléen. On choisit l'instant de passage de G par O₁ comme origine des dates (t=0). La cuve à eau a pour largeur L=x₁₂ − x₁₁, avec x₁₁=30 cm et x₁₂=40 cm ; on néglige les dimensions de (S).

Partie II — Mouvement d'un satellite artificiel

Le but de cette partie est de déterminer la masse de la Terre par deux méthodes. Données : l'accélération de la pesanteur à la surface de la Terre g₀=9,8 m·s⁻² ; constante de gravitation universelle G=6,67×10⁻¹¹ SI ; on prendra π²=10. On considère que la Terre est sphérique de centre O, de rayon R_T=6400 km, de masse M_T et ayant une répartition de masse sphérique. On considère que le satellite artificiel n'est soumis qu'à la force d'attraction universelle exercée par la Terre. Dans le référentiel géocentrique considéré galiléen, un satellite artificiel (S) décrit une orbite circulaire autour de la Terre avec une période de révolution T=98 min ; le satellite se trouve à une altitude h=647 km de la surface de la Terre.