National 2019 · SM · session normale

Les parties I, II et III sont indépendantes. L'acide chlorhydrique a plusieurs utilisations tels l'élimination de dépôts de calcaire dans divers appareils et dans les conduites d'eau, le dosage des solutions basiques et la préparation de quelques gaz aux laboratoires… On étudie dans cet exercice quelques transformations chimiques qui font intervenir l'acide chlorhydrique.

Partie I — Suivi cinétique par mesure de volume de gaz

Le calcaire, principalement constitué de carbonate de calcium CaCO₃, réagit avec une solution d'acide chlorhydrique selon l'équation CaCO_3(s) + 2H₃O⁺_(aq)→Ca²⁺_(aq) + CO_2(g) + 3H₂O_(ℓ). On se propose d'étudier dans cette première partie de l'exercice la cinétique de cette réaction. Pour cela on réalise dans un ballon, à la date t=0, le mélange d'une quantité de matière n₀ de carbonate de calcium CaCO_3(s) avec un excès d'une solution aqueuse d'acide chlorhydrique H₃O⁺_(aq) + Cl⁻_(aq). On obtient ainsi un mélange de volume V_S=100 mL. Le dioxyde de carbone formé est recueilli dans une éprouvette graduée. Le graphe de la figure 1 représente la variation du volume V(CO₂) de dioxyde de carbone dégagé en fonction du temps. Cette planche porte V(CO₂) en mL en ordonnée, graduée 0 · 12 · 24 · 60 — le pas de la ligne forte vaut donc 12 mL — et le temps en secondes en abscisse, gradué 200 puis 400, le pas valant 200 s. La courbe part de l'ORIGINE, monte très vite puis s'infléchit et rejoint une asymptote horizontale voisine de 59 mL, atteinte vers t=800 s ; elle vaut environ 12 mL à t=30 s, 24 mL à t=80 s, 30 mL à t≈1,2×10² s, 42 mL à t=200 s et 54 mL à t=400 s. Une DROITE marquée « (T) » est tracée en plus : c'est la tangente à la courbe au point d'abscisse t₁=390 s ; elle monte d'environ 3,5×10⁻² mL par seconde, part d'environ 36 mL à t=0 et sort par le haut du cadre vers t=700 s. Au cours de l'expérience on maintient la température et la pression du gaz recueilli constantes : T=25 ^∘C =298 K et P=1,02×10⁵ Pa. On considère que le volume du mélange réactionnel reste constant. On suppose que le dioxyde de carbone recueilli est un gaz parfait et on rappelle que l'équation d'état des gaz parfaits est PV=nRT. On donne la constante des gaz parfaits R=8,31 J·K⁻¹·mol⁻¹.

Partie II — Dosage d'une solution d'ammoniac par un acide fort

Dosage d'une solution aqueuse d'ammoniac par une solution aqueuse d'acide chlorhydrique. On se propose d'étudier dans cette deuxième partie de l'exercice le dosage d'une solution aqueuse d'ammoniac NH₃, contenue dans un détergent, par une solution aqueuse d'acide chlorhydrique. Le détergent est concentré pour être titré. Pour cela, on prend un volume de ce détergent et on le dilue 100 fois : on obtient ainsi une solution notée (S₁). Données : toutes les mesures sont effectuées à 25 ^∘C ; le produit ionique de l'eau K_e=10⁻¹⁴. On dose un volume V_B=20 mL de la solution (S₁), en suivant les variations du pH du mélange réactionnel en fonction du volume V_A versé d'une solution aqueuse d'acide chlorhydrique H₃O⁺_(aq) + Cl⁻_(aq) de concentration molaire C_A=2×10⁻² mol·L⁻¹. Le suivi pH-métrique de la transformation a permis d'obtenir la courbe (1) de la figure 2. Par ailleurs, un logiciel adapté a permis d'obtenir les courbes (2) et (3) représentant les variations de la concentration de l'espèce acide et celle de l'espèce basique du couple NH⁺_4(aq)/NH_3(aq) en fonction du volume V_A versé (figure 3). LA FIGURE 2 NE PORTE QUE DEUX GRADUATIONS D'ORDONNÉE, 2 et 4, sur deux lignes fortes consécutives : le pas de la ligne forte vaut donc 2 unités de pH. En abscisse, V_A est gradué 0 · 2 · 4, le pas valant 2 mL. La courbe (1), désignée « Courbe (1) » par une étiquette, part de pH≈10,6 à V_A=0 et DESCEND lentement — elle vaut environ 9,2 à V_A=5 mL et 8,8 à V_A≈7,2 mL — puis présente une CHUTE presque verticale centrée sur V_A=10 mL, qui la fait passer d'environ 8 à environ 3 ; elle continue ensuite de descendre très lentement et vaut environ 2,3 au bord droit du cadre. La figure 3 porte [NH_3(aq)] et [NH⁺_4(aq)] en mmol·L⁻¹ en ordonnée, graduée 2 puis 4 — le pas de la ligne forte vaut 2 mmol·L⁻¹ — et V_A en mL en abscisse, gradué 0 · 2 · 4, le pas valant 2 mL. Elle porte DEUX tracés, faits de segments de droite, désignés « Courbe (2) » et « Courbe (3) » par une étiquette. La courbe (3) part de 10 mmol·L⁻¹ à V_A=0 et DESCEND en ligne droite jusqu'à toucher l'axe des abscisses exactement à V_A=10 mL, où elle s'arrête. La courbe (2) part de ZÉRO à V_A=0 et MONTE en ligne droite jusqu'à un sommet de 6,7 mmol·L⁻¹ atteint lui aussi à V_A=10 mL, puis elle redescend lentement, en pente douce, jusqu'à environ 5 mmol·L⁻¹ au bord droit. Les deux courbes SE COUPENT au point (5 mL ; 4 mmol·L⁻¹).

Partie III — Électrolyse d'une solution d'acide chlorhydrique

On réalise l'électrolyse d'une solution aqueuse d'acide chlorhydrique H₃O⁺_(aq) + Cl⁻_(aq) de volume V₀=500 mL et de concentration molaire C₀=5×10⁻² mol·L⁻¹. Pour cela on utilise deux électrodes en carbone graphite reliées à un générateur de tension. On observe un dégagement de dihydrogène au niveau d'une électrode et de dichlore au niveau de l'autre électrode. Données : les couples Ox/Red intervenant dans cette électrolyse sont Cl_2(g)/Cl⁻_(aq) et H⁺_(aq)/H_2(g) ; le faraday 1F=9,65×10⁴ C·mol⁻¹. À partir de l'instant t=0, un courant électrique d'intensité constante I=0,50 A circule dans le circuit de l'électrolyse.

Transformations nucléaires — étude d'une réaction de fusion. Le combustible des réactions de fusion dans les futures centrales nucléaires est un mélange de deutérium ²₁H et de tritium ³₁H. On étudie la formation d'hélium ⁴₂He à partir de la réaction de fusion du deutérium et du tritium ; cette réaction nucléaire libère aussi un neutron. Données : constante d'Avogadro N_A=6,022×10²³ mol⁻¹ ; 1 MeV =1,6022×10⁻¹³ J. Le diagramme d'énergie qui accompagne la question 3 porte l'énergie E en 10³ MeV sur un axe vertical et compte TROIS niveaux horizontaux, chacun désigné à gauche par sa valeur et à droite par les nucléides correspondants ; du plus haut au plus bas : E₁=4,69526 pour « 3n + 2p » ; E₂=4,68456 pour « ²₁H + ³₁H » ; E₃=4,66697 pour « ⁴₂He + ¹₀n ». Il n'y a aucune autre indication sur la planche : ni graduation régulière, ni flèche de transition. La tonne d'équivalent pétrole (tep) est une unité d'énergie utilisée dans l'industrie et en économie ; elle sert à comparer les énergies obtenues à partir de sources différentes. Une tonne d'équivalent pétrole (1 tep) représente 4,2×10¹⁰ J, c'est-à-dire l'énergie libérée en moyenne par la combustion d'une tonne de pétrole. Soit n le nombre de tonnes de pétrole à brûler pour obtenir une énergie équivalente à celle libérée par la fusion de 2 g (une mole) de deutérium et de 3 g (une mole) de tritium.

Les circuits de nombreux appareils électriques sont formés par des composants tels que les résistors, les condensateurs, les bobines, les diodes… On se propose d'étudier dans cet exercice la réponse d'un dipôle RC à un échelon de tension, les oscillations libres et forcées dans un circuit RLC série, et la réception d'une onde hertzienne.

Partie 1 — Charge d'un condensateur et oscillations libres

Charge d'un condensateur, oscillations libres d'un circuit RLC série. Le montage électrique schématisé sur la figure 1 comporte un générateur idéal de tension de f.é.m. E, DEUX condensateurs de même capacité C, un conducteur ohmique de résistance R VARIABLE, une bobine d'inductance L VARIABLE et de résistance négligeable, et un interrupteur K à double position. La figure 1 montre le générateur E encerclé à gauche, la flèche de E montant, et le courant i partant vers la droite le long de la branche du haut ; au centre en haut, l'interrupteur K avec ses deux positions, (1) à gauche et (2) à droite ; sous K, les DEUX condensateurs marqués C sont dessinés CÔTE À CÔTE dans la même branche verticale, la tension u_C(t) étant relevée à leurs bornes par une flèche montante ; au-dessous d'eux, le conducteur ohmique R dans un rectangle barré d'une flèche oblique — la marque du composant variable ; à droite, la bobine L, dessinée en spirale et barrée elle aussi d'une flèche oblique. On ajuste la valeur de la résistance sur la valeur R=R₀=1 kΩ et on place l'interrupteur K en position (1), à un instant choisi comme origine des dates (t=0). Un système de saisie informatique approprié a permis de tracer la courbe représentant la tension u_C(t) (figure 2) ; (T) représente la tangente à la courbe au point d'abscisse t=0. Cette planche porte u_C en volts en ordonnée, graduée 0 · 2 · 4 — le pas de la ligne forte vaut donc 2 V — et le temps en ms en abscisse, gradué 0,24 puis 0,48, le pas valant donc 0,24 ms. La courbe part de u_C=0 à t=0, croît en s'incurvant et rejoint une asymptote horizontale à 6 V, pratiquement atteinte vers t=1,2 ms. La tangente (T) à l'origine, marquée « (T) », coupe cette asymptote à t=0,24 ms. Quand le régime permanent est établi, on bascule l'interrupteur K en position (2), à un instant choisi comme nouvelle origine des dates (t=0).

Partie 2 — Oscillateur RLC série en régime forcé

On alimente un circuit, formé par la bobine, le résistor et l'UN DES DEUX condensateurs précédemment utilisés, par un générateur GBF délivrant une tension alternative sinusoïdale de fréquence N variable et d'amplitude constante U_m=100 V (figure 3). La figure 3 montre une maille fermée entre les points B (en bas à gauche) et A (en bas à droite) : la branche du haut porte, de gauche à droite, le conducteur ohmique R dans un rectangle barré d'une flèche oblique, la bobine L en spirale barrée elle aussi d'une flèche oblique, et le condensateur C ; à droite, l'ampèremètre A encerclé descend vers le point A ; la branche du bas porte le GBF, encerclé, entre B et A. On ajuste l'inductance L sur la valeur L₁=2,5 mH et la résistance R sur une valeur R₁. Pour une fréquence N₀, la valeur efficace de l'intensité du courant est maximale, I₀≃0,71 A. Pour les fréquences N₁=6,54 kHz et N₂=12,90 kHz, cette intensité est I_eff=0,50 A.

Partie 3 — Réception d'une onde hertzienne

Pour recevoir une onde hertzienne, on utilise un montage récepteur formé par une chaîne électronique constituée de plusieurs étages. Après réception du signal modulé, on le démodule en reliant le circuit d'accord LC (circuit bouchon) avec le circuit de démodulation comme l'indique le montage de la figure 4. Cette figure montre, à gauche, une antenne en forme de V posée sur le circuit ; au-dessous, la bobine L en parallèle avec le condensateur C₀, entre l'antenne et la masse M, figurée en bas à gauche. De là part vers la droite une ligne horizontale portant successivement : le point P, la diode D (un triangle barré), le point Q, l'interrupteur K₁, le point S, l'interrupteur K₂, le condensateur C₁ et enfin le point T à droite. Sous cette ligne pendent, vers la masse : le conducteur ohmique R dans un rectangle barré d'une flèche oblique, puis le condensateur C, puis le conducteur ohmique R₁. Les graphes (1), (2), (3) et (4) de la figure 5 représentent les tensions visualisées à l'aide d'un système adéquat : u_PM avec les deux interrupteurs K₁ et K₂ ouverts ; u_QM avec les deux interrupteurs K₁ et K₂ ouverts ; u_SM avec K₁ fermé et K₂ ouvert ; u_TM avec les deux interrupteurs K₁ et K₂ fermés. LA FIGURE 5 ALIGNE QUATRE ÉCRANS QUADRILLÉS, sans aucun chiffre ni aucune échelle, numérotés (1) à (4) de gauche à droite ; c'est leur ALLURE seule qui les distingue. Sur l'écran (1), on voit une oscillation très rapide dont toutes les alternances sont DU MÊME CÔTÉ de l'axe médian, au-dessus : le signal est REDRESSÉ, et son enveloppe enfle et désenfle. Sur l'écran (2), une SINUSOÏDE lente et propre, de grande période, CENTRÉE sur l'axe médian — deux alternances entières tiennent dans la largeur. Sur l'écran (3), une sinusoïde lente elle aussi, mais entièrement AU-DESSUS de l'axe médian, qu'elle ne franchit jamais. Sur l'écran (4), une oscillation très rapide, symétrique de part et d'autre de l'axe médian, dont l'enveloppe enfle et désenfle : c'est un signal modulé en amplitude, non redressé.

Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I — Chute d'une bille avec résistance de l'air

Dans le champ de pesanteur, on abandonne à partir d'un point O, sans vitesse initiale à l'instant t=0, une petite bille (S) de masse m (figure 1). La bille est soumise à deux forces : son poids P ; et la résistance de l'air que l'on modélise par la force R=−λv, avec λ une constante positive et v=v k le vecteur vitesse de la bille. On étudie le mouvement de la bille dans un repère (O,k) lié à un référentiel terrestre supposé galiléen. La figure 1 est un schéma très dépouillé : un axe vertical, une longue flèche descendante terminée par la lettre z ; en haut, le point O marqué d'un petit cercle, sous lequel le vecteur k est dirigé VERS LE BAS ; un peu plus bas sur l'axe, la bille (S), figurée par un gros point avec son nom à gauche. Données : m=100 g ; g=10 m·s⁻² (intensité de la pesanteur). Le graphe de la figure 2 représente l'évolution, au cours du temps, de la vitesse de la bille. Cette planche porte v en m·s⁻¹ en ordonnée, graduée 0 · 10 · 20 — le pas de la ligne forte vaut donc 10 m·s⁻¹ — et le temps en secondes en abscisse, gradué 0 · 4 · 8, le pas valant 4 s. La courbe part de v=0 à t=0, croît d'abord vite puis s'incurve et rejoint une asymptote horizontale à 20 m·s⁻¹, pratiquement atteinte vers t=10 s ; aucune tangente n'est tracée sur cette planche. On lance ensuite la bille du point O à l'instant t=0, verticalement vers le bas, avec une vitesse V₀=V₀ k telle que V₀>v_L, v_L étant la vitesse limite du mouvement de la bille ; la solution de l'équation différentielle s'écrit alors v(t)=A + B e^−t/τ, où A et B sont deux constantes et τ le temps caractéristique du mouvement.

Partie II — Mouvement d'un gravimètre

Étude du mouvement d'un oscillateur : le gravimètre. Un gravimètre est un instrument qui permet de mesurer l'intensité de la pesanteur g avec une bonne précision. On modélise un gravimètre par un oscillateur constitué par une tige OA de centre d'inertie G, de masse m et de moment d'inertie J_Δ par rapport à l'axe de rotation (Δ) horizontal passant par le point O ; la tige est susceptible de tourner autour de l'axe (Δ) dans le plan vertical (Oxy) et son centre d'inertie G se trouve à la distance OG=ℓ de l'axe (Δ) (figure 3). Un ressort spirale tend à ramener la tige en position verticale en exerçant sur celle-ci un couple de moment M_Δ=−C θ par rapport à l'axe de rotation (Δ), où C est une constante positive et θ l'angle de rotation exprimé en radian. La figure 3 montre, en bas à droite, le point O entouré du symbole de l'axe (Δ) — un petit cercle hachuré — d'où partent les vecteurs i, horizontal vers la gauche le long de l'axe x, et j, vertical vers le haut le long de l'axe y. De O monte, inclinée vers la gauche, la tige OA en trait épais : le point G y est marqué à mi-hauteur et l'extrémité A en haut. L'angle θ est coté entre la tige et l'axe y, et une flèche courbe marquée +, en haut à gauche, donne le sens positif. Données : m=0,1 kg ; ℓ=58,4 cm ; J_Δ=2,5×10⁻² kg·m² ; C=1,4 N·m·rad⁻¹ ; pour les petits angles cosθ≈1 − θ²2 et sinθ≃θ, θ en radian ; on prend π²=10. On néglige les frottements. On repère la position de la tige OA à chaque instant t par son abscisse angulaire θ par rapport à sa position d'équilibre stable. On écarte la tige de sa position d'équilibre verticale d'un angle θ_m petit dans le sens positif et on la lâche sans vitesse initiale à l'instant de date t=0. On choisit la position où θ=0 comme état de référence de l'énergie potentielle de torsion (E_pt=0) et le plan horizontal passant par O comme état de référence de l'énergie potentielle de pesanteur (E_pp=0). On donne T₀=1,1 s. La courbe de la figure 4 représente les variations de l'énergie potentielle totale E_p en fonction de θ. Cette planche porte E_p en mJ en ordonnée, graduée 565 · 570 · 575 · 580 — le pas de la ligne forte vaut donc 5 mJ — et θ en radian en abscisse, gradué −0,2 · −0,1 · 0 · 0,1 · 0,2, le pas valant 0,1 rad ; les deux bords verticaux du cadre sont hachurés. Le tracé est une PARABOLE tournée vers le haut, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : son sommet, à θ=0, vaut environ 573,5 mJ ; elle remonte des deux côtés et vaut 580 mJ en θ=±0,125 rad, puis 590 mJ aux bords de la planche, en θ=−0,2 rad et θ=+0,2 rad.