National 2018 · SM · session normale

L'eau est une espèce chimique dont le rôle est primordial en chimie des solutions aqueuses. Dans cet exercice on étudiera une solution aqueuse d'un acide, l'hydrolyse d'un ester et l'électrolyse de l'eau.

Partie 1 — Étude d'une solution aqueuse d'un acide

On prépare une solution aqueuse S_A d'acide 2-méthylpropanoïque, noté HA, de volume V et de concentration molaire C=10⁻² mol·L⁻¹. On désigne par A⁻ la base conjuguée de HA. La mesure du pH de S_A donne pH=3,44. On prend ensuite un volume V_A=20 mL de la solution aqueuse S_A auquel on ajoute progressivement un volume V_B d'une solution aqueuse (S_B) d'hydroxyde de sodium Na⁺_(aq) + HO⁻_(aq) de concentration molaire C_B=C, avec V_B<20 mL ; cette réaction est considérée totale.

Partie 2 — Hydrolyse d'un ester

Le 2-méthylpropanoate d'éthyle est un ester à odeur de fraise ; le sujet en donne la formule semi-développée sous forme d'un schéma développé : une chaîne CH₃−CH−C−O−CH₂−CH₃ où l'atome de carbone central porte, au-dessus, un oxygène lié par une double liaison, et où le second atome de carbone porte, au-dessous, un groupe CH₃. L'hydrolyse de cet ester, noté E, conduit à la formation d'un acide et d'un alcool. On réalise deux mélanges équimolaires de l'ester E et d'eau ; le volume de chaque mélange est V₀. Les courbes (1) et (2) de la figure ci-contre représentent l'évolution au cours du temps de la quantité de matière de l'ester E à une même température θ. L'une des deux courbes est obtenue en réalisant cette hydrolyse sans catalyseur. Cette planche porte n en mmol en ordonnée, graduée 350 · 400 · 450 — le pas de la ligne forte vaut donc 50 mmol — et le temps en minutes en abscisse, gradué 0 · 5 · 10, le pas valant donc 5 min. LES DEUX COURBES PARTENT DU MÊME POINT, n=600 mmol à t=0, et DÉCROISSENT toutes deux vers la MÊME asymptote horizontale, n=400 mmol ; mais elles ne descendent pas à la même allure. La courbe (2) descend la première : elle vaut 529 mmol à t=1,4 min, 468 mmol à t=5,5 min, 428 mmol à t=10 min, 411 mmol à t=15 min et 404 mmol à t=20 min. La courbe (1) reste au-dessus : elle vaut 545 mmol à t=3,2 min, 516 mmol à t=5,5 min, 503 mmol à t=6,7 min, 470 mmol à t=10 min, 445 mmol à t=15 min et 429 mmol à t=20 min. Une DROITE (T), marquée « (T) », est tracée en plus : c'est la tangente à la courbe (2) au point d'abscisse t₁=5 min ; elle part de n=550 mmol à t=0, descend d'environ 15 mmol par minute, coupe l'asymptote 400 mmol vers t=10 min et sort de la planche par le bas vers t=13 min. On prendra le volume du mélange réactionnel V₀=71 mL.

Partie 3 — Électrolyse de l'eau

On introduit un volume d'eau acidifiée dans un électrolyseur. On surmonte chaque électrode en graphite d'un tube à essai, rempli d'eau, destiné à récupérer le gaz formé, puis on réalise le montage représenté sur le schéma du sujet. Ce schéma montre un circuit rectangulaire : en haut au centre, un générateur figuré par un cercle barré d'une flèche oblique, ses bornes marquées ⊕ à gauche et ⊖ à droite ; à droite, un ampèremètre A encerclé ; à gauche, l'interrupteur K. Au centre, la cuve de l'électrolyseur, dessinée en coupe : deux tubes à essai renversés y plongent, chacun coiffant une électrode, et l'on voit dans le tube de gauche DEUX fois plus de bulles que dans celui de droite ; une flèche partant du bas porte la mention « Eau acidifiée ». Après la fermeture de l'interrupteur K, on ajuste l'intensité du courant électrique sur la valeur I=0,2 A. On prend cet instant comme origine des dates (t=0). Données : les couples Ox/Red qui participent à l'électrolyse sont O_2(g)/H₂O_(ℓ) et H⁺_(aq)/H_2(g) ; volume molaire dans les conditions de l'expérience V_m=24 L·mol⁻¹ ; N_A=6,02×10²³ mol⁻¹ ; e=1,6×10⁻¹⁹ C.

Transformations nucléaires. On se propose dans cet exercice d'étudier la radioactivité α du radium ainsi que le mouvement d'une particule α dans un champ magnétique uniforme.

Partie 1 — Radioactivité α du radium

C'est en 1898 que Marie et Pierre Curie annoncèrent la découverte de deux éléments radioactifs : le polonium et le radium. Le radium ²²⁶₈₈Ra, qui se transforme en radon ²²²₈₆Rn, est considéré comme l'un des exemples historiques de la radioactivité α. L'activité d'un échantillon radioactif était alors calculée par rapport au radium considéré comme étalon. Elle fut exprimée en curie (Ci) pendant des années, avant d'utiliser le becquerel (Bq) comme unité. Le curie (1 Ci) est l'activité d'un échantillon d'un gramme (1 g) de radium 226. Données : masse molaire du radium M=226 g·mol⁻¹ ; constante d'Avogadro N_A=6,02×10²³ mol⁻¹ ; énergie de liaison du noyau de radium E_ℓ(²²⁶₈₈Ra)=1,7311×10³ MeV ; énergie de liaison du noyau de radon E_ℓ(²²²₈₆Rn)=1,7074×10³ MeV ; énergie de liaison du noyau de l'hélium E_ℓ(⁴₂He)=28,4 MeV ; constante radioactive du radium λ=1,4×10⁻¹¹ s⁻¹ ; 1 an =365,25 jours.

Partie 2 — Particule α dans un champ magnétique uniforme

La particule α émise arrive au trou O avec une vitesse horizontale V₀ et pénètre dans une zone où règne un champ magnétique B uniforme, perpendiculaire au plan vertical (π), d'intensité B=1,5 T. Cette particule dévie et heurte un écran au point M. Le schéma qui accompagne la question montre un rectangle grisé, le plan (π), désigné par son nom en bas à droite ; à gauche de ce rectangle court un trait vertical épais, l'écran, légendé « Ecran » sous son pied. Le point O est marqué en haut, sur l'écran, et de lui part vers la droite le vecteur V₀, horizontal ; le point M est marqué plus bas sur le MÊME trait vertical, d'un gros point. Au centre du rectangle, le vecteur B est figuré par une flèche verticale montante. L'intensité du poids de la particule α, de charge q=+2e, est négligeable devant celle de la force de Lorentz qui s'exerce sur celle-ci. On donne la masse de la particule α, m(α)=6,6447×10⁻²⁷ kg ; V₀=1,5×10⁷ m·s⁻¹ ; e=1,6×10⁻¹⁹ C.

Cet exercice se propose d'étudier la réponse d'un dipôle RC à un échelon de tension, la réponse d'un dipôle RL à un échelon de tension, et la résonance en intensité d'un circuit RLC série.

Partie I — Réponse d'un dipôle RC à un échelon de tension

On réalise le montage représenté sur le schéma de la figure 1. Ce montage comporte un générateur de tension G de force électromotrice E, un conducteur ohmique de résistance R=2 kΩ, un condensateur de capacité C initialement déchargé, et un interrupteur K. La figure 1 montre une maille rectangulaire : en haut, le conducteur ohmique R dans un rectangle ; à gauche, le générateur G encerclé, la flèche de E montant ; en bas, l'interrupteur K ; à droite, le condensateur C, parcouru par le courant i descendant, aux bornes duquel on relève u_C, la flèche de u_C montant. À l'instant t=0 on ferme K. On note u_C la tension aux bornes du condensateur. La courbe de la figure 2 représente les variations de du_Cdt en fonction de u_C. CETTE PLANCHE N'A AUCUNE GRADUATION CHIFFRÉE SUR SES AXES : elle ne porte qu'un CARTOUCHE de deux flèches croisées, à droite, donnant le pas de la ligne forte du quadrillage — 5×10⁴ V·s⁻¹ en ordonnée et 1 V en abscisse. Le tracé est une DROITE DESCENDANTE : elle part de du_Cdt=3×10⁵ V·s⁻¹ pour u_C=0, descend d'un carreau en ordonnée par carreau en abscisse — soit 5×10⁴ V·s⁻¹ par volt — et coupe l'axe des abscisses pour u_C=6 V. On définit le rendement énergétique de la charge du condensateur par ρ=E_eE_g, avec E_e l'énergie emmagasinée par le condensateur jusqu'au régime permanent et E_g=C E² l'énergie fournie par le générateur G.

Partie II — Réponse d'un dipôle RL à un échelon de tension

On réalise le montage, représenté sur le schéma de la figure 3, comportant un générateur de f.é.m. E=6 V, deux conducteurs ohmiques de résistances R₁ et R₂=2 kΩ, une bobine (b) d'inductance L et de résistance r=20 Ω, un interrupteur K, et une diode D idéale de tension seuil u_s=0. La figure 3 montre deux mailles : à gauche, le générateur E encerclé en bas et l'interrupteur K en haut à gauche, le courant i partant vers la droite le long de la branche du haut ; la branche du milieu porte, de haut en bas, la bobine (b) dessinée en spirale puis le conducteur ohmique R₁ dans un rectangle ; la branche de droite porte le conducteur ohmique R₂ en haut et la diode D en dessous, figurée par un triangle pointant vers le bas barré d'un trait. On ferme l'interrupteur K à l'instant de date t=0. Un système d'acquisition informatisé adéquat permet de tracer la courbe représentant l'évolution de l'intensité du courant i(t) dans le circuit (figure 4) ; la droite (T) représente la tangente à la courbe à t=0. Cette planche porte i en mA en ordonnée, graduée 0 · 10 · 20 — le pas de la ligne forte vaut donc 10 mA — et le temps en ms en abscisse, gradué 2,5 puis 5, le pas valant donc 2,5 ms. La courbe part de i=0 à t=0, CROÎT en s'incurvant et rejoint un PALIER horizontal à 50 mA, pratiquement atteint vers t=10 ms ; elle vaut environ 19 mA à t=1,2 ms, 31,7 mA à t=2,5 ms, 40 mA à t=4,1 ms et 46 mA à t=6,3 ms. La droite (T), tracée en TIRETS, part de l'origine et coupe le palier 50 mA à t=2,5 ms. Le régime permanent étant atteint, on ouvre ensuite K ; on prend l'instant d'ouverture de K comme nouvelle origine des dates (t=0).

Partie III — Oscillateur RLC en régime forcé

On réalise un circuit RLC série comprenant un générateur délivrant une tension alternative sinusoïdale u(t) de tension efficace constante et de fréquence N réglable, un conducteur ohmique de résistance R₃=1980 Ω, la bobine (b) précédente, et un condensateur de capacité C₁. L'étude expérimentale a permis de tracer la courbe représentant les variations de l'impédance Z du dipôle RLC en fonction de la fréquence N (figure 5). On prendra √2=1,4 et π²=10. Cette planche porte Z en kΩ en ordonnée, graduée 0 · 1 · 2 — le pas de la ligne forte vaut donc 1 kΩ — et N en kHz en abscisse, graduée 0,25 puis 0,5, le pas valant donc 0,25 kHz. La courbe est en CUVETTE très dissymétrique : elle plonge depuis le haut de la planche, passe par un MINIMUM, puis remonte lentement — bien plus lentement qu'elle n'est descendue — jusqu'au bord droit.

Les deux parties I et II sont indépendantes.

Partie I-1 — Mouvement du corps dans l'air

Étude du mouvement d'un corps solide dans l'air et dans un liquide. On trouve dans les piscines des plongeoirs à partir desquels chutent les baigneurs pour plonger dans l'eau. Dans cette partie de l'exercice, on étudiera le mouvement d'un baigneur dans l'air et dans l'eau. On modélise le baigneur par un corps solide (S) de masse m et de centre d'inertie G. On étudie le mouvement du centre G dans un repère R(O,k) lié à un référentiel terrestre supposé galiléen (figure 1). Données : m=80 kg ; intensité de la pesanteur g=10 m·s⁻². On prend √2=1,4. La figure 1 montre, à gauche, un plongeoir dessiné en coupe : une planche horizontale hachurée portée par un montant oblique hachuré. À son extrémité droite est marqué le point O, d'où descend le vecteur k, dirigé VERS LE BAS, puis l'axe z vertical, une longue flèche descendante. Sur cet axe, un peu plus bas, le solide (S) est figuré par un petit rectangle noir dont le centre d'inertie G est marqué d'un point. Plus bas encore, un grand rectangle ouvert représente la piscine, dont la surface de l'eau est désignée par une flèche portant la mention « Eau » ; l'axe z y plonge. À droite, une double flèche verticale cote la hauteur h entre le trait pointillé passant par O et la surface de l'eau. À l'instant de date t₀, pris comme origine des dates (t₀=0), le baigneur se laisse chuter sans vitesse initiale d'un plongeoir. On considère qu'il est en chute libre durant son mouvement dans l'air. À la date t₀ le centre d'inertie G coïncide avec l'origine O du repère R(O,k) (z_G=0) et est situé à une hauteur h=10 m au-dessus de la surface de l'eau (figure 1).

Partie I-2 — Mouvement du corps dans l'eau

Étude du mouvement vertical du centre d'inertie G dans l'eau. Le baigneur arrive avec la vitesse v_e, de direction verticale, à l'entrée dans l'eau. Lorsqu'il est dans l'eau, il suit une trajectoire verticale où il est soumis à l'action de son poids P ; de la force de frottement fluide f=−λ v, où λ est le coefficient de frottement fluide (λ=250 kg·s⁻¹) et v le vecteur vitesse de G à un instant t ; et de la poussée d'Archimède F=−md g, où g est l'intensité de la pesanteur et d=0,9 la densité du baigneur. On considère l'instant d'entrée de (S) dans l'eau comme nouvelle origine des dates (t=0). On posera τ=mλ, et l'on admet que le baigneur n'atteint pas le fond de la piscine.

Partie II — Mouvement d'un pendule élastique sur tige inclinée

Le pendule élastique étudié est constitué d'un solide (S), de masse m et de centre d'inertie G, attaché à l'extrémité d'un ressort à spires non jointives, de masse négligeable, de longueur à vide ℓ₀ et de raideur K. L'autre extrémité du ressort est fixée à un support fixe au point P. Le solide (S) peut glisser sans frottement sur une tige (T) inclinée d'un angle α par rapport à la VERTICALE et solidaire au point P (figure 2). La figure 2 montre, à droite, un mur hachuré vertical, avec le point P en haut ; du mur part vers la gauche et vers le bas la tige (T), une longue droite oblique désignée (T) à son extrémité inférieure gauche et terminée par la lettre x ; l'angle α est coté au point P, entre la tige et le mur. Le ressort, dessiné en spirale, est accroché en P et descend le long de la tige jusqu'au solide (S), un petit rectangle grisé dont le centre d'inertie G est marqué. L'origine O du repère est marquée sur la tige, à la position de G à l'équilibre, avec le vecteur i dirigé le long de la tige vers le bas à gauche et le vecteur j perpendiculaire ; l'axe y part de O vers le haut à gauche. On étudie le mouvement du centre d'inertie G dans le repère orthonormé R(O,i,j) lié à un référentiel terrestre considéré comme galiléen. On repère la position de G à un instant t par l'abscisse x sur l'axe (O,i). À l'équilibre, G est confondu avec l'origine O du repère (x_G=0) (figure 2). On prendra π²=10. On déplace (S) de sa position d'équilibre d'une distance x_m, dans le sens positif, et on le lâche à l'instant de date t=0 sans vitesse initiale. La courbe de la figure 3 représente la variation de l'accélération a_x du centre d'inertie G en fonction de l'abscisse x, avec −x_m≤x≤x_m. CETTE PLANCHE N'A AUCUNE GRADUATION CHIFFRÉE : elle ne porte qu'un CARTOUCHE de deux flèches croisées, en haut à droite, donnant le pas de la ligne forte du quadrillage — 1,25 m·s⁻² en ordonnée et 0,5 cm en abscisse. Le tracé est une DROITE DESCENDANTE qui passe par l'ORIGINE : elle descend de 1,25 m·s⁻² par demi-centimètre, c'est-à-dire de 2,5 m·s⁻² par centimètre ; elle commence en haut à gauche au point (−1,5 cm ; +3,75 m·s⁻²) et s'arrête en bas à droite au point (+1,5 cm ; −3,75 m·s⁻²), ses deux extrémités étant marquées par de petites hachures. On choisit comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur (E_pp(O)=0) le plan horizontal auquel appartient G à l'équilibre, et comme référence de l'énergie potentielle élastique (E_pe(O)=0) l'état où le ressort est allongé à l'équilibre. La courbe de la figure 4 représente les variations de l'énergie cinétique de l'oscillateur en fonction de x. ELLE NON PLUS N'A AUCUN CHIFFRE : son cartouche donne 2 mJ en ordonnée et 0,5 cm en abscisse. Le tracé est une PARABOLE tournée vers le bas, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : son sommet est à x=0, et elle redescend des deux côtés jusqu'à toucher l'axe des abscisses.