National 2017 · SM · session rattrapage

Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I-1 — Hydrolyse d'un ester

Hydrolyse d'un ester et étude d'une solution aqueuse d'acide propanoïque. Les acides carboxyliques sont des substances chimiques que l'on trouve dans des composés organiques naturels ou synthétiques. Ces acides sont utilisés dans la production de diverses substances comme les esters, caractérisés par leurs aromes, qui sont exploités dans différents domaines comme l'industrie pharmaceutique et l'agroalimentaire… On s'intéresse dans cette partie à l'étude de l'hydrolyse d'un ester E et à l'étude d'une solution aqueuse d'acide propanoïque (C₂H₅COOH). Données : les masses molaires M(C₂H₅COOH)=74 g·mol⁻¹, M(C₂H₅OH)=46 g·mol⁻¹, M(E)=102 g·mol⁻¹ ; pK_A(C₂H₅COOH_(aq)/C₂H₅COO⁻_(aq))=4,9. Dans des conditions expérimentales déterminées, on fait réagir n₁=0,1 mol d'un ester E avec n₂=0,1 mol d'eau. Il se forme l'acide propanoïque et l'éthanol (C₂H₅OH) ; la constante d'équilibre associée à l'équation modélisant cette transformation est K=0,25. On réalise ensuite l'hydrolyse basique d'une quantité de l'ester E de masse m₀=10,2 g en utilisant une solution aqueuse d'hydroxyde de sodium Na⁺_(aq) + HO⁻_(aq) en excès ; on obtient une masse m_exp=4,2 g de l'alcool.

Partie I-2 — Étude d'une solution aqueuse d'acide propanoïque

On dispose d'une solution aqueuse d'acide propanoïque de concentration molaire C et de volume V. La mesure du pH de la solution donne la valeur pH=2,9. On prend ensuite un volume V_A d'une solution aqueuse d'acide propanoïque de concentration molaire C_A, auquel on ajoute progressivement une solution aqueuse (S_B) d'hydroxyde de sodium Na⁺_(aq) + HO⁻_(aq) de concentration molaire C_B. On suit les variations du pH du mélange réactionnel en fonction du volume V_B ajouté de la solution (S_B). À partir des mesures obtenues, on a tracé la courbe ci-contre représentant les variations du pH du mélange réactionnel en fonction de log(V_BV_BE−V_B), avec V_B<V_BE où V_BE est le volume de la solution d'hydroxyde de sodium ajouté à l'équivalence. Cette planche porte le pH en ordonnée, gradué 0 · 1 · 2 — le pas de la ligne forte vaut donc 1 unité de pH — et log(V_BV_BE−V_B) en abscisse, gradué 1 puis 2, le pas valant donc 1. LE TRACÉ EST UNE DROITE DESCENDANTE : elle part de l'axe du pH et descend d'une unité de pH par unité d'abscisse.

Partie II — Étude de la pile cadmium-argent

On étudie la pile cadmium-argent qui fait intervenir les deux couples ox/red Ag⁺_(aq)/Ag_(s) et Cd²⁺_(aq)/Cd_(s). Données : le faraday 1F=9,65×10⁴ C·mol⁻¹ ; la constante d'équilibre associée à l'équation de la réaction 2Ag⁺_(aq) + Cd_(s)⇌2Ag_(s) + Cd²⁺_(aq), le sens (1) étant le sens direct et le sens (2) le sens inverse, est K≈5×10⁴⁰ à 25 ^∘C ; la masse molaire du cadmium M(Cd)=112,4 g·mol⁻¹ ; la partie immergée de l'électrode consommable est en excès. On réalise cette pile en plongeant une lame d'argent dans un bécher contenant un volume V=250 mL d'une solution aqueuse de nitrate d'argent Ag⁺_(aq) + NO⁻_3(aq) de concentration molaire initiale C₁=[Ag⁺_(aq)]_i=0,400 mol·L⁻¹, et une lame de cadmium dans un autre bécher contenant un volume V=250 mL d'une solution aqueuse de nitrate de cadmium Cd²⁺_(aq) + 2NO⁻_3(aq) de concentration molaire initiale C₂=[Cd²⁺_(aq)]_i=0,200 mol·L⁻¹. On relie ensuite les deux solutions par un pont salin. On branche entre les électrodes de la pile un conducteur ohmique monté en série avec un ampèremètre et un interrupteur. On ferme le circuit à un instant choisi comme origine des dates (t=0) ; un courant d'intensité I=215 mA, considérée constante, circule alors dans le circuit.

Transformations nucléaires — étude de l'activité d'un échantillon radioactif. On étudie dans cet exercice la désintégration d'un échantillon radioactif du cobalt ayant une fiche technique portant les indications suivantes : cobalt 60, ⁶⁰₂₇Co ; masse molaire atomique M=60 g·mol⁻¹ ; radioactivité β⁻ ; constante de temps τ=2,8×10³ jours. Données : constante d'Avogadro N_A=6,02×10²³ mol⁻¹ ; une année solaire, 1 an =365,25 jours ; énergie de liaison du nucléide ^A_ZX, E_ℓ=588,387 MeV ; m(⁶⁰Co)=59,8523 u ; m(¹₀n)=1,00866 u ; m(¹₁p)=1,00728 u ; m(⁰₋₁e)=5,486×10⁻⁴ u ; 1 u =931,494 MeV·c⁻². Le noyau issu de la désintégration de ⁶⁰₂₇Co est ^A_ZX. La masse initiale de l'échantillon radioactif à l'instant de sa réception par un laboratoire spécialisé est m₀=50 mg ; on considère l'instant de réception de cet échantillon comme origine des dates (t=0). La mesure de l'activité de l'échantillon étudié à un instant t₁ donne la valeur a₁=5,18×10¹¹ Bq.

Cet exercice se propose d'étudier la charge d'un condensateur portant une charge initiale, les oscillations libres dans un circuit (RLC) série et les oscillations forcées dans un circuit (RLC) série.

Partie I-1 — Charge d'un condensateur portant une charge initiale

Charge et décharge d'un condensateur. On réalise le montage expérimental représenté sur la figure 1, comportant un générateur de tension G de f.é.m. E=8 V, deux conducteurs ohmiques de résistances R et R₀=30 Ω, un condensateur de capacité C=2,5 μF dont la tension initiale à ses bornes est u_c=U₀ avec 0<U₀<E, un interrupteur K, et une bobine d'inductance L=0,5 H et de résistance r=7 Ω. La figure 1 montre deux mailles partageant la branche du milieu : à gauche, le générateur G encerclé, la flèche de E montant, et en haut le conducteur ohmique R dans un rectangle ; au centre en haut, l'interrupteur K avec ses deux positions, (1) à gauche et (2) à droite ; sous K, le courant i descend vers le condensateur C, aux bornes duquel on relève u_C, la flèche de u_C montant ; à droite, la bobine (L, r) en haut et le conducteur ohmique R₀ en dessous, dressés dans la branche de droite. Charge du condensateur. À un instant choisi comme origine des dates (t=0), on place l'interrupteur K en position (1). Un courant d'intensité i(t) circule alors dans le circuit. La courbe de la figure 2 représente l'évolution de i(t) en fonction du temps, et (T) est la tangente à la courbe à t=0. Cette planche porte i en mA en ordonnée, graduée 0 · 2 · 4 — le pas de la ligne forte vaut donc 2 mA — et le temps en ms en abscisse, gradué 1 puis 2, le pas valant donc 1 ms. La courbe part de i=10 mA à t=0 et DÉCROÎT en s'incurvant vers l'axe des temps, qu'elle rejoint sans le couper ; elle vaut environ 6,5 mA à t=0,44 ms, 3,8 mA à t=1 ms, 2,2 mA à t=1,5 ms, 1,3 mA à t=2 ms et 0,4 mA à t=3 ms. La tangente (T) à l'origine, tracée en TIRETS, descend en ligne droite et coupe l'axe des temps à t=1 ms.

Partie I-2 — Oscillations libres dans un circuit RLC série

Quand le régime permanent est établi, on bascule l'interrupteur K en position (2) à un instant choisi comme une nouvelle origine des dates (t=0). L'étude expérimentale montre que le régime des oscillations obtenu est pseudopériodique et que la tension aux bornes du conducteur ohmique prend une valeur maximale u_R0(t₁)=0,44 V à un instant t=t₁.

Partie II — Oscillations forcées dans un circuit RLC série

On réalise le montage schématisé sur la figure 3, comportant un générateur de basse fréquence (GBF), une bobine d'inductance L₀ et de résistance r₀, le conducteur ohmique de résistance R₀=30 Ω et le condensateur de capacité C=2,5 μF. La figure 3 montre une maille fermée entre le point A en haut à droite et le point B en bas à droite : la branche de droite porte, de haut en bas, le conducteur ohmique R₀ dans un rectangle, la bobine (L₀, r₀) et le condensateur C ; la branche de gauche porte le GBF, encerclé. Le générateur délivre une tension alternative sinusoïdale u(t)=U_mcos(2πN t) de fréquence N réglable ; un courant d'intensité i(t)=I_mcos(2πN t + φ) circule alors dans le circuit. On fait varier la fréquence N de la tension u(t) en gardant sa tension maximale U_m constante. L'étude expérimentale a permis de tracer les deux courbes représentées sur les figures 4 et 5, où Z est l'impédance du circuit et I_m l'intensité maximale du courant. La figure 4 porte I_m en mA en ordonnée, graduée 0 · 50 · 100 — le pas de la ligne forte vaut donc 50 mA — et N en Hz en abscisse, graduée 80 · 100 · 120, le pas valant donc 20 Hz. C'est une courbe de RÉSONANCE : elle monte lentement depuis environ 20 mA à gauche, s'élève de plus en plus vite, passe par un maximum AIGU de 270 mA à N=142 Hz, puis redescend plus vite qu'elle n'est montée, jusqu'à environ 45 mA au bord droit de la planche. La figure 5 porte Z en Ω en ordonnée, graduée 30 · 40 · 50 — le pas de la ligne forte vaut donc 10 Ω — et N en Hz en abscisse, graduée 130 · 135 · 140, le pas valant donc 5 Hz. C'est une courbe en CUVETTE, qui descend depuis le haut à gauche, atteint son MINIMUM Z_min=37 Ω à la même fréquence N=142 Hz, puis remonte plus raide encore vers le haut à droite.

Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I-1 — Oscillateur mécanique horizontal

Étude du mouvement de l'oscillateur (corps solide – ressort). On étudie dans cette partie le mouvement d'un oscillateur mécanique élastique dans deux situations : l'oscillateur est horizontal, puis l'oscillateur est vertical. L'oscillateur mécanique étudié est modélisé par un système (solide-ressort) constitué d'un solide (S) de masse m et d'un ressort à spires non jointives, de masse négligeable et de raideur K. On note T₀ la période propre de cet oscillateur. On étudie le mouvement du centre d'inertie G du solide (S) dans un repère lié à un référentiel terrestre considéré galiléen. On néglige les frottements et on prend π²=10. Le ressort est horizontal, une de ses extrémités est fixe. On accroche à son autre extrémité le solide (S). Ce solide peut glisser sur le plan horizontal. On repère la position de G à un instant t par l'abscisse x sur l'axe (O,i). À l'équilibre, le centre d'inertie G du solide coïncide avec l'origine O du repère (figure 1). La figure 1 montre, à gauche, un mur hachuré auquel est accrochée l'extrémité du ressort, dessiné en spirale et couché à l'horizontale ; à son autre extrémité, le solide (S), un petit rectangle grisé dont le centre d'inertie G est marqué. Au-dessous court l'axe horizontal, orienté vers la droite et terminé par la lettre x ; l'origine O y est marquée sous G à l'équilibre, avec le vecteur i vers la droite, le point x est repéré plus à droite par un trait pointillé descendant de G, et l'extrémité gauche de l'axe porte x′. On écarte (S) de sa position d'équilibre et on le lâche sans vitesse initiale à un instant choisi comme origine des dates (t=0). La courbe de la figure 2 représente l'évolution au cours du temps de l'accélération a_x du centre d'inertie G. Cette planche porte a_x en m·s⁻² en ordonnée, graduée 2,5 · 0 · −2,5 — une ligne du quadrillage tombe tous les 1,25 m·s⁻² — et le temps en secondes en abscisse, gradué 0,2 puis 0,4, le pas valant donc 0,2 s. La courbe est une SINUSOÏDE non amortie.

Partie I-2 — Oscillateur mécanique vertical

On fixe maintenant le ressort étudié comme l'indique la figure 3 ; l'une des deux extrémités du ressort est liée au solide (S) et l'autre est fixée à un support. La figure 3 montre DEUX dessins côte à côte, le ressort pendant au-dessous du solide et reposant sur un sol hachuré : à gauche, l'état d'équilibre, le solide (S) figuré par un petit rectangle grisé dont le centre G est repéré par un trait pointillé en face de l'origine O, marquée sur l'axe vertical à gauche, le vecteur k étant dirigé VERS LE BAS ; à droite, le même montage, le solide descendu à la côte z, repérée par un second trait pointillé plus bas. La mention « état d'équilibre » est portée sous le dessin de gauche. On repère la position de G à un instant t par la côte z sur l'axe (O,k). À l'équilibre, le centre d'inertie G du solide coïncide avec l'origine O du repère R(O,k). On écarte, verticalement vers le bas, le corps (S) de sa position d'équilibre stable puis on le libère sans vitesse initiale à un instant choisi comme origine des dates (t=0). L'oscillateur effectue alors un mouvement oscillatoire selon l'axe (Oz). On choisit comme référence (E_pp=0) de l'énergie potentielle de pesanteur le plan horizontal auquel appartient le point O, et comme référence (E_pe=0) de l'énergie potentielle élastique l'état où le ressort n'est pas déformé. On note ℓ la longueur du ressort à l'équilibre et ℓ₀ sa longueur à vide. La courbe de la figure 4 représente les variations de l'énergie potentielle totale en fonction de la côte z. Cette planche porte E_p en mJ en ordonnée, graduée 35 · 40 · 45 · 50 — le pas de la ligne forte vaut donc 5 mJ — et z en cm en abscisse, graduée −2 · −1 · 0 · 1 · 2, le pas valant donc 1 cm ; les deux bords verticaux du cadre sont hachurés. Le tracé est une PARABOLE tournée vers le haut, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : son sommet est sur cet axe, et elle remonte des deux côtés jusqu'aux bords de la planche.

Partie II — Rayon de l'orbite de la Lune autour de la Terre

Le but de cette partie est de déterminer la distance Terre-Lune à partir de l'étude du mouvement de la Terre autour du Soleil et du mouvement de la Lune autour de la Terre. Dans chaque cas, l'étude du mouvement se fait dans un référentiel considéré galiléen. On considère que le Soleil, la Terre et la Lune présentent une répartition de masse à symétrie sphérique ; que la Lune n'est soumise qu'à la force de gravitation universelle appliquée par la Terre ; et que la Terre n'est soumise qu'à la force de gravitation universelle appliquée par le Soleil. Données : la période de révolution du centre d'inertie G de la Terre autour du soleil, T=365,25 jours ; la période de révolution du centre d'inertie G′ de la Lune autour de la Terre, T′=27,32 jours ; on considère que dans le référentiel héliocentrique la trajectoire du centre G est assimilée à un cercle de rayon R=1,49×10⁸ km centré sur le centre d'inertie du soleil, et que dans le référentiel géocentrique la trajectoire du centre G′ est assimilée à un cercle de rayon r centré sur le centre G. On note M la masse du Soleil, m la masse de la Terre et m′ celle de la Lune ; on prend Mm=3,35×10⁵.