National 2017 · SM · session normale

Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I-1 — Détermination du pK_A par dosage

Étude d'une solution aqueuse d'acide méthanoïque. L'acide méthanoïque HCOOH est une substance naturelle secrétée par les fourmis et les abeilles. On peut aussi le synthétiser dans les laboratoires pour être utilisé dans les industries de textile, cuir, teintures, insecticides… L'acide méthanoïque est à l'état liquide dans les conditions ordinaires. Cette partie a pour objectif la vérification du pourcentage massique p de l'acide méthanoïque dans une solution commerciale de cet acide, et la détermination de la valeur du pK_A du couple HCOOH_(aq)/HCOO⁻_(aq) par deux méthodes différentes. L'étiquette d'un flacon d'une solution commerciale (S₀) d'acide méthanoïque porte les informations suivantes : masse molaire M(HCOOH)=46 g·mol⁻¹ ; densité d=1,15 ; pourcentage massique p=80 %. Données : p=80 % signifie que 100 g de solution commerciale contient 80 g d'acide pur ; masse volumique de l'eau ρ_e=1 kg·L⁻¹ ; les conductivités molaires ioniques λ_H3O⁺=3,50×10⁻² S·m²·mol⁻¹ et λ_HCOO⁻=5,46×10⁻³ S·m²·mol⁻¹ ; l'expression de la conductivité σ d'une solution est σ=∑_i λ_xi[X_i], où [X_i] est la concentration molaire effective de chaque espèce chimique ionique X_i présente dans la solution et λ_xi sa conductivité molaire ionique ; on néglige l'influence des ions hydroxyde HO⁻ sur la conductivité de la solution étudiée. On prépare une solution aqueuse (S) d'acide méthanoïque de concentration molaire C et de volume V_S=1 L en ajoutant le volume V₀=2 mL de la solution commerciale (S₀), de concentration molaire C₀, à l'eau distillée. On dose le volume V_A=50 mL de la solution (S) par une solution aqueuse (S_B) d'hydroxyde de sodium Na⁺_(aq) + HO⁻_(aq) de concentration molaire C_B=0,1 mol·L⁻¹, en suivant les variations du pH du mélange réactionnel en fonction du volume V_B versé de la solution (S_B). À partir des mesures obtenues, on a tracé la courbe (C₁) représentant pH=f(V_B) et la courbe (C₂) représentant dpHdV_B=g(V_B). La planche porte le pH en ordonnée, graduée 2 puis 4 — le pas de la ligne forte vaut donc 2 unités de pH — et V_B en mL en abscisse, gradué 2 puis 4, le pas valant donc 2 mL. La courbe (C₁) part de pH=2,6 à V_B=0 et monte lentement : elle vaut 3,0 à V_B=2 mL, 3,3 à 4 mL, 3,5 à 6 mL, 3,7 à 8 mL, 3,8 à 10 mL, 4,1 à 13 mL, 4,4 à 16 mL, 5,0 à 18,7 mL et 5,7 à 19,7 mL ; elle présente ensuite un SAUT presque vertical qui la porte au-dessus de pH=10, puis elle continue lentement — 11,0 à 21 mL, 11,5 à 22 mL, 11,8 à 25 mL, 12,1 à 29 mL. La courbe (C₂) est plaquée contre l'axe des abscisses partout ailleurs et forme un PIC très étroit et très haut, dont le sommet est à la MÊME abscisse que le saut de (C₁), soit V_B=20 mL.

Partie I-2 — Détermination du pK_A par conductimétrie

On prend un volume V₁ de la solution (S) de concentration C=4×10⁻² mol·L⁻¹, puis on mesure sa conductivité, on trouve σ=0,1 S·m⁻¹.

Partie II — Préparation d'un ester

Les esters sont des substances organiques, caractérisés par des arômes spécifiques. Ils sont utilisés dans l'industrie agroalimentaire, pharmaceutique… Ils peuvent être extraits de certaines substances naturelles comme ils peuvent être synthétisés aux laboratoires. On étudie dans cette partie la réaction de l'acide méthanoïque avec le propan-1-ol (C₃H₇OH). On donne la masse molaire M(HCOOH)=46 g·mol⁻¹. En chauffant, à reflux, à une température constante, un mélange (S) contenant n₁=0,2 mol d'acide méthanoïque et n₂=0,2 mol de propan-1-ol, on obtient un composé organique et de l'eau. On choisit l'instant du début de la réaction comme origine des dates (t=0).

Les ondes — diffraction d'une lumière monochromatique, niveaux d'énergie d'un atome. On s'intéresse dans cet exercice à l'étude de certaines propriétés de la lumière rouge émise par un laser hélium-néon (He-Ne). Dans l'air, la longueur d'onde de cette lumière est λ=633 nm. Données : célérité de la lumière dans l'air c=3×10⁸ m·s⁻¹ ; constante de Planck h=6,63×10⁻³⁴ J·s ; 1 eV =1,6022×10⁻¹⁹ J ; pour les petits angles, tanθ≈θ où θ est exprimé en radian.

Partie 1 — Diffraction d'une lumière monochromatique

Diffraction de la lumière monochromatique émise par le laser hélium-néon. Pour déterminer la largeur a d'une fente d'un diaphragme, on utilise la lumière rouge monochromatique émise par le laser hélium-néon. Pour cela, on réalise l'expérience schématisée sur la figure 1. La figure 1 montre, à gauche, une flèche épaisse horizontale marquée « faisceau laser » qui vient frapper un trait vertical marqué « diaphragme », percé en son milieu ; de ce point partent, vers la droite, deux traits qui s'écartent symétriquement de part et d'autre d'un axe horizontal en pointillé, et forment un cône ; l'angle θ est coté entre le trait supérieur et l'axe. À droite, un trait vertical épais marqué « écran » : entre les deux extrémités du cône, une double flèche verticale cote la largeur ℓ. Une double flèche horizontale, en bas, cote la distance D entre le diaphragme et l'écran. On éclaire la fente de largeur a par le faisceau laser et on observe des taches lumineuses sur un écran placé à une distance D de la fente. Ces taches sont séparées par des zones sombres. La largeur de la tache centrale est ℓ. Pour une distance D=1,5 m, on mesure la largeur de la tache centrale et on trouve ℓ=3,4 cm. On modifie ensuite la distance entre la fente et l'écran en prenant D′=3 m.

Partie 2 — Niveaux d'énergie d'un atome

Étude de la radiation émise par le laser He-Ne. La figure 2 représente un diagramme simplifié des niveaux d'énergie de l'atome de néon. C'est un empilement de CINQ traits horizontaux, chacun désigné par sa valeur en électron-volts portée à gauche, de haut en bas : 20,66 · 20,29 · 19,45 · 18,70 · 18,37 eV. L'axe vertical est gradué en E (eV) et il n'y a AUCUNE autre indication sur la planche : ni flèche de transition, ni numérotation des niveaux. La radiation de longueur d'onde λ=633 nm émise par le laser He-Ne est due au passage de l'atome du néon Ne du niveau d'énergie E_n au niveau d'énergie E_p.

Le condensateur, le conducteur ohmique et la bobine sont utilisés dans les circuits de divers montages électriques tels les circuits intégrés, les amplificateurs, les appareils d'émission et de réception… Cet exercice vise l'étude de la charge d'un condensateur et sa décharge dans un conducteur ohmique puis dans une bobine, et de la réception d'une onde électromagnétique. On prendra π=√10.

Partie 1 — Charge d'un condensateur et décharge dans un conducteur ohmique

On réalise le montage représenté sur le schéma de la figure 1. Ce montage comprend un générateur idéal de courant, un conducteur ohmique de résistance R, un condensateur de capacité C initialement non chargé, un microampèremètre et un interrupteur K. La figure 1 montre l'interrupteur K en haut au centre, avec ses deux positions, (1) à gauche et (2) à droite ; sous K, le point A, d'où descend le courant i vers le condensateur C, puis le point B en bas ; la branche de gauche porte, en montant, le générateur de courant I₀ encerclé et, en bas, le microampèremètre μA encerclé ; la branche de droite porte le conducteur ohmique R, dressé verticalement. On place l'interrupteur K en position (1) à un instant de date t=0. Le microampèremètre indique I₀=0,1 μA. Un système de saisie informatique convenable permet d'obtenir la courbe représentant les variations de la charge q du condensateur en fonction de la tension u_AB entre ses bornes (figure 2). Cette planche porte q en µC en ordonnée, graduée 0,02 puis 0,04 sur les deux premières lignes fortes, et u_AB en volts en abscisse, gradué 1 puis 2 de même — le pas de la ligne forte vaut donc 0,02 µC en ordonnée et 1 V en abscisse. Le tracé est une DROITE qui part de l'origine et monte en diagonale, passant exactement par les coins du quadrillage : (1 V ; 0,02 μC), (2 V ; 0,04 μC), et ainsi de suite jusqu'au coin supérieur droit du cadre. Lorsque la tension aux bornes du condensateur prend la valeur u_AB=U₀, on place l'interrupteur K en position (2) à un instant choisi comme une nouvelle origine des dates (t=0). La courbe de la figure 3 représente les variations de ln(u_AB) en fonction du temps, u_AB étant exprimée en volts. Cette planche porte ln(u_AB) en ordonnée, graduée 1 puis 2 sur des lignes fortes distantes d'une unité, et le temps en abscisse, en 10⁻⁵ s, gradué 1 puis 2 de même ; des lignes bleues fines marquent les demi-unités dans les deux directions. Le tracé est une DROITE DESCENDANTE : elle part de ln(u_AB)=2,5 à t=0, passe par le point (1 ; 2), puis par (3 ; 1), et couperait l'axe des abscisses à t=5×10⁻⁵ s — elle descend donc de 0,5 par 10⁻⁵ s.

Partie 2 — Décharge du condensateur dans une bobine

On recharge le condensateur précédent et on réalise le montage représenté sur la figure 4, qui comporte en plus de ce condensateur une bobine (b) d'inductance L et de résistance r, un conducteur ohmique de résistance R₀=12 Ω et un interrupteur K. La figure 4 montre une maille fermée : en haut, le point A à gauche et l'interrupteur K ; à gauche, le condensateur C traversé par le courant i descendant, puis le point B ; en bas, le conducteur ohmique R₀, dont la borne de droite est reliée à la masse, et le point Y marqué sous B par une flèche vers le bas ; à droite, la bobine (b) (L, r) dressée verticalement. On ferme le circuit et on visualise la tension u_R0(t) aux bornes du conducteur ohmique. On observe des oscillations pseudopériodiques. Pour obtenir des oscillations électriques entretenues, on insère en série dans le circuit un générateur G délivrant une tension, selon la convention générateur, u_G(t)=k i(t) où k est un paramètre ajustable (k>0). En ajustant le paramètre k sur la valeur k=20 (exprimée dans le système d'unités international), la tension u_R0(t) devient sinusoïdale. La courbe de la figure 5 représente l'évolution au cours du temps de l'énergie magnétique E_m emmagasinée dans la bobine. Cette planche porte E_m en µJ en ordonnée, graduée 0,2 puis 0,4 — le pas de la ligne forte vaut donc 0,2 µJ — et le temps en ms en abscisse. EN ABSCISSE, LES GRADUATIONS 0,25 ET 0,50 TOMBENT SUR UNE LIGNE FORTE SUR DEUX : le pas de la ligne forte vaut 0,125 ms. La courbe est une suite d'ARCHES identiques qui touchent l'axe des temps : E_m vaut 0 à t=0, monte jusqu'à un maximum de 1,0 µJ, revient à 0 à t=0,25 ms, et recommence — les zéros successifs tombent à t=0 · 0,25 · 0,50 · 0,75 ms.

Partie 3 — Réception d'une onde électromagnétique

Pour capter une onde électromagnétique de fréquence N₀=40 kHz modulée en amplitude, on utilise le dispositif simplifié représenté sur la figure 6. Cette figure montre, en haut à gauche, une antenne en forme de V posée sur un fil, puis TROIS blocs encadrés en pointillé et légendés « partie 1 », « partie 2 » et « partie 3 » de gauche à droite. La partie 1 porte, en parallèle, la bobine L₀ et le condensateur C₀. La partie 2 porte, en série depuis la gauche, la diode D (un triangle pointant vers la droite barré d'un trait), puis en parallèle le condensateur C et le conducteur ohmique R, la borne basse étant reliée à la masse au point M. La partie 3 porte le condensateur C₂ en série, puis le conducteur ohmique R₂ en parallèle vers la sortie. On associe un condensateur de capacité C₀ avec une bobine d'inductance L₀=0,781 mH dans le circuit d'accord. Pour détecter l'enveloppe de l'onde modulée, on utilise le condensateur de capacité C=20 nF et le conducteur ohmique de résistance R=1 kΩ ; pour avoir une bonne détection d'enveloppe, on monte en parallèle avec le condensateur de capacité C un autre condensateur de capacité C_x, la fréquence de l'information émise étant N_i=4 kHz.

Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I-1 — Chute d'un corps avec frottement

Étude du mouvement de chute de deux corps. Dans cette partie, on étudie le mouvement de chute de deux corps (A) et (B) dans le repère orthonormé R(O,i,j) lié à un référentiel terrestre supposé galiléen. Le point O est situé au niveau du sol (figure 1). On néglige la poussée d'Archimède devant les autres forces et on prend l'intensité de la pesanteur g=10 m·s⁻². La figure 1 montre le repère : l'axe (Oy) vertical, monté vers le haut, l'axe (Ox) horizontal vers la droite, avec les vecteurs j et i à l'origine O. Sur l'axe (Oy), un peu au-dessus de O, le point P, dont la hauteur h_P est cotée par une double flèche verticale entre le sol et lui ; de P part le vecteur V₀, incliné vers le haut à droite, l'angle α étant coté entre lui et l'horizontale en pointillé. Loin à droite, sur une verticale en pointillé, deux points marqués d'un gros point : H tout en haut et F juste au-dessous ; la hauteur h_F est cotée par une double flèche verticale entre le sol et F. À un instant choisi comme origine des dates (t=0), on lâche, sans vitesse initiale, d'un point H, un corps solide (A) de masse m_A=0,5 kg et de centre d'inertie G_A (figure 1). En plus de son poids, le solide (A) est soumis à une force de frottement fluide f=−k v_A, où v_A est le vecteur vitesse de G_A à un instant t et k une constante positive (k>0). La courbe de la figure 2 représente l'évolution de v_Ay(t) au cours du temps. Cette planche porte v_Ay en m·s⁻¹ en ordonnée, graduée 0 · −0,5 · −1 — les valeurs sont NÉGATIVES, l'axe (Oy) étant orienté vers le haut, et une ligne du quadrillage tombe tous les 0,25 m·s⁻¹ — et le temps en secondes en abscisse, gradué 0,2 puis 0,4, le pas valant donc 0,2 s ; l'axe des temps est tracé EN HAUT de la planche. La courbe part de v_Ay=0 à t=0, descend d'abord vite puis s'incurve et rejoint une asymptote horizontale. Aucune tangente n'est tracée sur cette planche.

Partie I-2 — Mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur

À l'instant où le centre d'inertie G_A du corps (A) passe par le point F d'altitude h_F=18,5 m par rapport au sol, on lance un projectile (B), de masse m_B et de centre d'inertie G_B, d'un point P de coordonnées (0, h_P) avec une vitesse initiale V₀ faisant un angle α (0<α<π2) avec l'horizontale (figure 1). On choisit cet instant comme nouvelle origine des dates (t=0) pour le mouvement de (A) et celui de (B). On néglige les frottements pour le projectile (B) et on donne h_P=1,8 m et V₀=20 m·s⁻¹. Les deux corps (A) et (B) se rencontrent au point S, sommet de la trajectoire de (B), où l'on considère que G_A coïncide avec G_B ; le corps (A) passe par F avec sa vitesse limite, et les mouvements de (A) et (B) s'effectuent dans le même plan (xOy).

Partie II — Mouvement d'un pendule pesant

Cette partie vise la détermination de l'intensité de la pesanteur, en un lieu donné, ainsi que quelques grandeurs qui sont liées au mouvement d'un pendule pesant. Un pendule pesant est constitué d'une tige homogène OA de masse m, de centre d'inertie G et de longueur L, pouvant effectuer un mouvement de rotation dans un plan vertical autour d'un axe horizontal (Δ) passant par son extrémité O (figure 1). La figure 1 montre l'axe vertical z à gauche, monté vers le haut ; en haut à droite de cet axe, le point O, marqué d'un gros point, d'où part vers le bas et vers la droite la tige OA, tracée en double trait épais, son extrémité A en bas à droite ; l'axe (Δ) est désigné à côté de O, et une flèche courbe marquée +, au-dessus, donne le sens positif. La verticale descendante issue de O est tracée en pointillé : elle porte le point G₀, position du centre d'inertie à l'équilibre, en face duquel se trouve le point G sur la tige ; l'angle θ est coté entre le pointillé et la tige. Soit J_Δ le moment d'inertie du pendule par rapport à l'axe (Δ). On étudie le mouvement du pendule dans un repère lié à un référentiel terrestre supposé galiléen. On écarte la tige OA de sa position d'équilibre stable d'un petit angle θ₀, dans le sens positif, puis on la lance avec une vitesse angulaire initiale à l'instant de date t=0. On repère la position du pendule à un instant de date t par l'abscisse angulaire θ. Le centre G est confondu avec G₀ quand le pendule passe par sa position d'équilibre stable (figure 1). On néglige tous les frottements et on choisit le plan horizontal passant par G₀ comme état de référence de l'énergie potentielle de pesanteur (E_pp=0). Données : la masse de la tige m=100 g ; la longueur de la tige L=0,53 m ; l'expression du moment d'inertie de la tige par rapport à l'axe (Δ), J_Δ=13mL² ; pour les petits angles, cosθ≈1 − θ²2 où θ est exprimé en radian ; on prendra π²=10. La courbe de la figure 2 représente l'évolution de l'énergie cinétique du pendule étudié au cours du temps. Cette planche porte E_c en 10⁻² J en ordonnée, graduée 0,25 puis 0,50 — le pas de la ligne forte vaut donc 0,25×10⁻² J — et le temps en secondes en abscisse, gradué 0,25 puis 0,50, le pas valant donc 0,25 s. La courbe est une suite d'ARCHES identiques qui touchent l'axe des temps. Une seule arche complète, entre deux zéros, tient dans la largeur de la planche ; on y voit trois sommets.