National 2016 · SM · session rattrapage

Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I — Étude de la pile aluminium-zinc

Les piles électrochimiques sont l'une des applications des réactions d'oxydoréduction. Au cours de leur fonctionnement, une partie de l'énergie chimique produite par ces réactions est transformée en énergie électrique. On réalise la pile aluminium-zinc en plongeant une plaque d'aluminium dans un bécher contenant un volume V=100 mL d'une solution aqueuse de chlorure d'aluminium Al³⁺_(aq) + 3Cl⁻_(aq) de concentration molaire initiale C₁=[Al³⁺_(aq)]₀=4,5×10⁻² mol·L⁻¹, et une plaque de zinc dans un autre bécher contenant un volume V=100 mL d'une solution aqueuse de sulfate de zinc Zn²⁺_(aq) + SO₄²⁻_(aq) de concentration molaire initiale C₂=[Zn²⁺_(aq)]₀=4,5×10⁻² mol·L⁻¹. On relie les deux solutions par un pont salin. On monte entre les pôles de la pile un conducteur ohmique (D), un ampèremètre et un interrupteur k (figure 1). La figure 1 montre les deux béchers côte à côte, reliés par un tube en U posé sur eux et marqué « pont salin » : dans celui de gauche plonge une lame verticale hachurée désignée Al par une flèche, dans celui de droite une lame identique désignée Zn ; les deux lames remontent vers le circuit extérieur, qui porte de gauche à droite le conducteur ohmique (D) dans un rectangle, l'interrupteur k et l'ampèremètre A encerclé. Données : la masse de la partie de la plaque d'aluminium immergée dans la solution de chlorure d'aluminium, à l'instant de la fermeture du circuit, est m₀=1,35 g ; la masse molaire de l'aluminium M(Al)=27 g·mol⁻¹ ; la constante de Faraday 1F=9,65×10⁴ C·mol⁻¹. La constante d'équilibre associée à la réaction 2Al³⁺_(aq) + 3Zn_(s)⇌2Al_(s) + 3Zn²⁺_(aq), le sens (1) étant le sens direct et le sens (2) le sens inverse, est K=10⁻⁹⁰ à 25 ^∘C. On ferme l'interrupteur k à l'instant t=0 ; un courant d'intensité considérée constante I=10 mA circule dans le circuit.

Partie II-1 — Synthèse d'un ester à partir de l'acide benzoïque

Synthèse d'un ester et réaction du benzoate de sodium avec un acide. Le benzoate de sodium (C₆H₅COONa) est utilisé dans l'industrie alimentaire pour conserver les aliments, grâce à ses propriétés anti-bactériennes. On s'intéresse dans cette partie à l'étude de la synthèse d'un ester à partir de la réaction de l'acide benzoïque avec le méthanol, et à l'étude de la réaction du benzoate de sodium C₆H₅COO⁻_(aq) + Na⁺_(aq) avec l'acide éthanoïque CH₃COOH. Données : à 25 ^∘C, pK_A1(C₆H₅COOH/C₆H₅COO⁻)=4,2 et pK_A2(CH₃COOH/CH₃COO⁻)=4,8 ; la masse volumique du méthanol ρ=0,8 g·mL⁻¹ ; la masse molaire du méthanol M(CH₃OH)=32 g·mol⁻¹ ; la masse molaire de l'acide benzoïque M(C₆H₅COOH)=122 g·mol⁻¹. Pour synthétiser un ester, on mélange dans un erlenmeyer une quantité d'acide benzoïque C₆H₅COOH de masse m=12,2 g et un volume V=8 mL de méthanol CH₃OH. On ajoute au mélange quelques gouttes d'acide sulfurique concentré et quelques grains de pierre ponce. On chauffe le mélange à reflux à une température θ. La courbe de la figure 2 représente l'évolution de la quantité de matière d'ester formé au cours du temps. Cette planche porte n en mmol en ordonnée, graduée 0 · 14 · 28 — le pas de la ligne forte vaut donc 14 mmol — et le temps en minutes en abscisse, gradué 10 puis 20, le pas valant donc 10 min. La courbe part de l'origine, monte vite en s'incurvant et rejoint une asymptote horizontale qui tombe EXACTEMENT sur la sixième ligne forte, soit n=84 mmol ; elle est pratiquement confondue avec cette asymptote à partir de t≈30 min. Quelques points lisibles : n=21 mmol à t=2,5 min, n=42 mmol à t≈6 min, n=57 mmol à t=9,5 min, n=71 mmol à t=16 min.

Partie II-2 — Réaction du benzoate de sodium avec l'acide éthanoïque

On mélange à 25 ^∘C un volume V₁ d'une solution aqueuse de benzoate de sodium C₆H₅COO⁻_(aq) + Na⁺_(aq) de concentration molaire C₁ avec un volume V₂=V₁ d'une solution aqueuse d'acide éthanoïque CH₃COOH de concentration molaire C₂=C₁.

Propagation d'une onde ultrasonore. On trouve parmi les applications des ondes ultrasonores l'exploration du relief des fonds marins et la localisation des regroupements de poissons, ce qui nécessite la connaissance de la vitesse de propagation de ces ondes dans l'eau de mer. Le but de cet exercice est de déterminer la vitesse de propagation d'une onde ultrasonore dans l'air et dans l'eau de mer.

Partie 1 — Vitesse de propagation d'une onde ultrasonore dans l'air

On place un émetteur E d'ondes ultrasonores et deux récepteurs R₁ et R₂ comme l'indique la figure 1. La figure 1 est un schéma en blocs : à gauche un rectangle marqué « émetteur E » ; à droite, deux rectangles superposés marqués « récepteur R₁ » et « récepteur R₂ », reliés respectivement aux voies Y₁ et Y₂ de l'oscilloscope par une flèche ; entre les deux récepteurs, une double flèche horizontale cote la distance d qui les sépare. L'émetteur E envoie une onde ultrasonore progressive sinusoïdale qui se propage dans l'air ; celle-ci est captée par les deux récepteurs R₁ et R₂. On visualise, à l'oscilloscope, sur la voie Y₁ le signal capté par R₁ et sur la voie Y₂ le signal capté par R₂. Lorsque les deux récepteurs R₁ et R₂ se trouvent à la même distance de l'émetteur E, les deux courbes correspondant aux signaux captés sont en phase (figure 2). En éloignant R₂ de R₁, on constate que les deux courbes ne restent plus en phase. En continuant d'éloigner R₂ de R₁, on constate que les deux courbes se retrouvent à nouveau en phase, et pour la quatrième fois lorsque la distance entre les deux récepteurs R₁ et R₂ est d=3,4 cm (figure 1). LA FIGURE 2 N'A AUCUNE GRADUATION CHIFFRÉE : c'est un écran d'oscilloscope quadrillé, de 12 divisions de large et 10 de haut, et la seule indication est portée SOUS la planche — la sensibilité horizontale S_H=10 μs·div⁻¹. On y voit DEUX sinusoïdes EN PHASE, qui atteignent leurs maximums aux mêmes abscisses et repassent par la ligne médiane aux mêmes instants ; elles n'ont pas la même amplitude — environ 3,6 divisions pour la plus grande, 2,1 pour la plus petite. On compte cinq maximums successifs régulièrement espacés, l'écart entre deux maximums voisins valant deux divisions et demie.

Partie 2 — Vitesse de propagation d'une onde ultrasonore dans l'eau de mer

L'émetteur envoie l'onde ultrasonore précédente dans deux tubes, l'un contenant de l'air, l'autre étant rempli d'eau de mer (figure 3). La figure 3 est un schéma en blocs : à gauche le rectangle « émetteur E » ; de lui partent vers la droite DEUX tubes horizontaux superposés, celui du haut marqué « air » et celui du bas, grisé, marqué « eau de mer » ; ils aboutissent à deux rectangles « récepteur R₁ » (en haut) et « récepteur R₂ » (en bas), reliés aux voies Y₁ et Y₂ ; une double flèche horizontale sous les tubes cote la longueur ℓ. Le récepteur R₁ capte l'onde qui se propage dans l'air et le récepteur R₂ capte l'onde qui se propage dans l'eau de mer. Soient Δt le retard temporel de réception de l'onde qui se propage dans l'air par rapport à celle qui se propage dans l'eau de mer, et ℓ la distance entre l'émetteur et les deux récepteurs. En mesurant le retard Δt pour différentes distances ℓ entre l'émetteur et les deux récepteurs (figure 3), on obtient la courbe de la figure 4. Cette planche porte Δt en ms en ordonnée, graduée 1 puis 2, et ℓ en mètres en abscisse, graduée 0 · 0,2 · 0,4 — le pas de la ligne forte vaut donc 1 ms en ordonnée et 0,2 m en abscisse. Le tracé est une DROITE qui passe par l'ORIGINE et qui monte régulièrement : elle vaut Δt=0,9 ms à ℓ=0,4 m, 1,8 ms à ℓ=0,8 m et 2,7 ms à ℓ=1,2 m.

Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I-1 — Dipôle RC à deux condensateurs en série

Étude du dipôle RC et du circuit LC. Les circuits RC, RL et RLC sont utilisés dans les montages électroniques des appareils électriques. On se propose, dans cette partie, d'étudier le dipôle RC et le circuit LC. Le montage électrique schématisé sur la figure 1 comporte un générateur idéal de tension de f.é.m. E, deux condensateurs de capacité C₁ et C₂=2 μF, un conducteur ohmique de résistance R=3 kΩ, une bobine d'inductance L et de résistance négligeable, et un interrupteur K à double position. La figure 1 montre deux mailles partageant la branche du milieu : à gauche, le générateur E encerclé, le courant i sortant vers la droite par le haut ; en bas de cette maille, le condensateur C₁ aux bornes duquel on relève u₁(t), puis le conducteur ohmique R aux bornes duquel on relève u_R(t) ; en haut à droite, l'interrupteur K et ses deux positions, (1) à gauche et (2) à droite ; la branche du milieu porte le condensateur C₂, aux bornes duquel on relève u₂(t), la flèche de u₂ montant ; la branche de droite porte la bobine, aux bornes de laquelle on relève u_L(t), la flèche de u_L descendant. On place l'interrupteur K dans la position (1) à un instant pris comme origine des dates (t=0). Les courbes de la figure 2 représentent l'évolution des tensions u₂(t) et u_R(t) ; la droite (T) représente la tangente à la courbe représentant u₂(t) à l'instant t=0. La figure 2 porte u en volts en ordonnée, graduée 2 puis 4, et le temps en ms en abscisse, gradué 2 puis 4 — le pas de la ligne forte vaut donc 2 V en ordonnée et 2 ms en abscisse. La courbe u_R(t) part de 12 V à t=0 et DÉCROÎT en s'incurvant vers l'axe des temps, qu'elle rejoint sans le couper ; elle vaut environ 8,2 V à t=1,2 ms et 0,1 V à t=14 ms. La courbe u₂(t) part de 0 à t=0, CROÎT en s'incurvant et rejoint une asymptote horizontale à 8 V ; elle vaut environ 2,3 V à t=1,2 ms et 7,8 V à t=14 ms. La tangente (T) à l'origine, tracée en pointillé, coupe l'asymptote u₂=8 V à t=4 ms.

Partie I-2 — Oscillations électriques dans le circuit LC

Lorsque le régime permanent est établi, on bascule l'interrupteur K à la position (2) à un instant pris comme nouvelle origine des dates (t=0). La courbe de la figure 3 représente les variations de la tension u_L(t) en fonction du temps. CETTE PLANCHE N'A AUCUNE GRADUATION CHIFFRÉE : elle ne porte qu'un CARTOUCHE de deux flèches croisées, en bas à droite, qui donne le pas de la ligne forte du quadrillage — 4 V en ordonnée et 0,5 ms en abscisse. La courbe est une SINUSOÏDE non amortie, d'amplitude 8 V (deux lignes fortes) : elle part de u_L=−8 V à t=0, remonte en coupant l'axe des temps, atteint son premier maximum +8 V à t=1 ms, redescend à −8 V à t=2 ms, et ainsi de suite — l'écart entre deux maximums successifs vaut 2 ms, soit quatre lignes fortes. Elle vaut environ +4,6 V à t=2,7 ms.

Partie II — Qualité d'une modulation d'amplitude

La modulation d'amplitude est obtenue en utilisant un circuit intégré multiplieur. On applique à l'entrée E₁ du circuit intégré multiplieur une tension p(t) qui correspond au signal porteur, et à l'entrée E₂ la tension s(t) + U₀, avec s(t) la tension correspondant au signal modulant à transmettre et U₀ la composante continue (figure 4). La figure 4 montre le multiplieur, un carré barré d'une croix, avec les deux entrées E₂ (en haut) et E₁ (en dessous) sur son côté gauche, atteintes par deux flèches montantes marquées s(t) + U₀ et p(t) ; à droite, la sortie S, d'où descend le fil sur lequel on relève u(t) par rapport à la masse, figurée en bas au centre. On obtient à la sortie S du circuit la tension u(t) correspondant au signal modulé en amplitude. L'expression de cette tension est u(t)=k p(t)(s(t) + U₀), où s(t)=S_mcos(2πf_S t) et p(t)=P_mcos(2πf_p t), k étant une constante qui caractérise le circuit intégré multiplieur. Quand aucune tension n'est appliquée sur l'oscilloscope, les traces du spot sont confondues avec l'axe médian horizontal de l'écran. On visualise la tension u(t) et on obtient l'oscillogramme de la figure 5 ; la sensibilité horizontale est 20 μs·div⁻¹ et la sensibilité verticale 1 V·div⁻¹. LA FIGURE 5 NE PORTE AUCUN CHIFFRE : c'est un écran quadrillé de 12 divisions de large et 8 de haut, et les deux sensibilités ci-dessus en sont la seule échelle. On y voit une oscillation très rapide dont l'AMPLITUDE ENFLE ET DÉSENFLE régulièrement : là où l'enveloppe est la plus large, le signal occupe 6 divisions crête à crête, symétriquement autour de l'axe médian ; là où elle est la plus étroite, il n'en occupe plus que 2. Une période complète de cette enveloppe — d'un renflement au renflement suivant — occupe 5 divisions, et l'on y compte 16 oscillations de la porteuse.

Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I — Charge massique de l'électron par champs électrostatique et magnétique croisés

Étude de l'action d'un champ électrostatique uniforme et d'un champ magnétique uniforme sur un faisceau d'électrons. J. J. Thomson, physicien anglais, étudia l'action d'un champ électrostatique uniforme et l'action d'un champ magnétique uniforme sur un faisceau d'électrons homocinétiques de vitesse V₀, pour déterminer la charge massique em de l'électron, avec m la masse de l'électron et e la charge élémentaire. On se propose dans cette partie de déterminer ce rapport en se basant sur deux expériences. On considère que le mouvement de l'électron se fait dans le vide et que son poids n'a pas d'influence sur le mouvement. 1 — Expérience 1. Un faisceau d'électrons produit par un canon à électrons, arrivant en O avec la vitesse V₀=V₀ i, est alors soumis, au cours de son mouvement le long de la distance d, à l'action d'un champ électrostatique E uniforme créé par deux plaques planes (P) et (P′) orthogonales au plan (xOy) et distantes de ℓ (figure 1). On désigne par U=V_P − V_P′ la différence de potentiel entre (P) et (P′), et par D la distance du point I à l'écran fluorescent. Le mouvement de l'électron est étudié dans le repère orthonormé R(O,i,j,k) associé à un référentiel terrestre supposé galiléen. On prend l'instant où l'électron passe par O comme origine des dates (t=0). La figure 1 montre, à gauche, l'origine O avec les vecteurs i (horizontal, vers la droite), j (vertical, vers le haut) et k ; le vecteur V₀ est porté par l'axe (Ox) horizontal. Au-dessus, la plaque (P) est un trait horizontal chargé, portant une rangée de signes + ; au-dessous, la plaque (P′) porte une rangée de signes − ; une double flèche verticale, à gauche, cote la distance ℓ entre les deux plaques, et une double flèche horizontale, en bas, cote la distance d le long des plaques. La trajectoire part de O, longe d'abord l'axe (Ox) puis s'incurve VERS LE HAUT, vers la plaque positive, et quitte la zone du champ au point S, situé près de l'extrémité droite de (P). De S part la tangente (T), tracée en pointillé, qui monte en ligne droite jusqu'au point M marqué sur l'écran fluorescent, trait vertical à droite de la planche ; le point O′ est le pied de cet écran, sur l'axe (Ox), et le point I est le milieu de la zone du champ sur ce même axe. Une seconde double flèche horizontale cote D, de I jusqu'à l'écran. 2 — Expérience 2. Le faisceau d'électrons arrivant en O avec la vitesse V₀=V₀ i est soumis, en plus du champ électrostatique précédent, à un champ magnétique uniforme B orthogonal à E. On fixe l'intensité du champ magnétique sur la valeur B=1,01 mT ; le faisceau d'électrons heurte alors l'écran au point O′. Données pour l'application numérique : O′M=5,4 cm ; D=30 cm ; U=1200 V ; ℓ=2 cm ; d=6 cm. L'expérience 2 ne comporte pas de figure propre : elle reprend le dispositif de la figure 1.

Partie II — Mouvement d'un pendule élastique vertical, libre puis amorti

Un oscillateur mécanique vertical est constitué d'un corps solide S de masse m=200 g et d'un ressort à spires non jointives de masse négligeable et de raideur K. L'une des extrémités du ressort est fixée à un support fixe et l'autre extrémité est liée au solide S (figure 2). La figure 2 montre TROIS dessins côte à côte, tous suspendus au même support hachuré : à gauche, le ressort seul, non déformé ; au centre, le ressort allongé portant le solide S, un petit rectangle grisé dont le centre d'inertie G est marqué, à la position d'équilibre — l'origine O de l'axe est repérée à sa hauteur par un trait pointillé, le vecteur k étant dirigé VERS LE BAS ; à droite, le ressort plus allongé encore, le solide étant descendu à la côte z, repérée par un second trait pointillé. On se propose d'étudier le mouvement du centre d'inertie G du solide S dans un repère R(O,k) lié à un référentiel terrestre supposé galiléen. On repère la position de G à un instant t par la côte z sur l'axe (O,k) ; à l'équilibre, G est confondu avec l'origine O du repère. On prendra π²=10. 1 — Frottements négligeables. On écarte verticalement le solide S de sa position d'équilibre et on l'envoie à l'instant de date t=0 avec une vitesse initiale V₀=V_0z k. La courbe de la figure 3 représente l'évolution de la côte z(t) du centre d'inertie G. Cette planche porte z en cm en ordonnée, graduée 2 · 0 · −2 — le pas de la ligne forte vaut donc 2 cm — et le temps en secondes en abscisse, gradué 0,1 puis 0,2, le pas valant donc 0,1 s. La courbe est une SINUSOÏDE non amortie d'amplitude 4 cm : elle part de z=+2 cm à t=0 EN DESCENDANT, coupe l'axe des temps, atteint son premier minimum −4 cm vers t=0,14 s, remonte et atteint son premier maximum +4 cm vers t=0,33 s ; l'écart entre deux maximums successifs vaut 0,4 s. 2 — Frottements non négligeables. On réalise deux expériences en plongeant l'oscillateur dans deux liquides différents. Dans chaque expérience, on écarte verticalement le solide S de sa position d'équilibre d'une distance z₀ et on l'abandonne sans vitesse initiale à l'instant t=0 ; le solide S oscille alors à l'intérieur du liquide. Les courbes (1) et (2) de la figure 4 représentent l'évolution de la côte z du centre d'inertie G au cours du temps dans chaque liquide. CETTE PLANCHE NE PORTE AUCUNE GRADUATION CHIFFRÉE : elle ne compte qu'un CARTOUCHE de deux flèches croisées, en haut à droite, donnant le pas de la ligne forte du quadrillage — 1 cm en ordonnée et 0,2 s en abscisse. Les deux courbes, désignées (1) et (2) par une étiquette et une flèche, PARTENT DU MÊME POINT, z₀=3 cm à t=0. La courbe (2) décroît régulièrement, se rapproche de l'axe des temps SANS JAMAIS LE COUPER et s'y confond à partir de t≈0,5 s. La courbe (1), elle, FRANCHIT PLUSIEURS FOIS l'axe : elle descend jusqu'à un premier minimum d'environ −2,6 cm vers t=0,2 s, remonte à un premier maximum d'environ +2,2 cm vers t=0,4 s, redescend à un minimum d'environ −1,9 cm vers t=0,6 s, puis remonte à un maximum d'environ +1,7 cm vers t=0,8 s ; l'écart entre deux maximums successifs vaut 0,4 s et l'amplitude décroît d'un passage au suivant.