National 2016 · SM · session normale

Les parties I et II sont indépendantes. Les composés chimiques contenant l'élément azote sont utilisés dans divers domaines comme l'agriculture pour la fertilisation des sols par les engrais ou l'industrie pour la fabrication des médicaments etc… Cet exercice se propose d'étudier : une solution aqueuse d'ammoniac NH₃ et sa réaction avec une solution aqueuse de chlorure de méthylammonium CH₃NH⁺_3(aq) + Cl⁻_(aq) ; l'électrolyse d'une solution aqueuse de nitrate d'argent Ag⁺_(aq) + NO⁻_3(aq).

Partie I-1 — Étude d'une solution aqueuse d'ammoniac

Étude d'une solution aqueuse d'ammoniac et de sa réaction avec un acide. Données : toutes les mesures sont effectuées à 25 ^∘C ; le produit ionique de l'eau K_e=10⁻¹⁴ ; on note pK_A(NH⁺_4(aq)/NH_3(aq))=pK_A1 ; pK_A(CH₃NH⁺_3(aq)/CH₃NH_2(aq))=pK_A2=10,7. On prépare une solution aqueuse S₁ d'ammoniac de concentration molaire C₁=10⁻² mol·L⁻¹. La mesure du pH de la solution S₁ donne la valeur pH₁=10,6. On dilue ensuite la solution S₁ : on obtient alors une solution S₂, dont la mesure du pH donne pH₂=10,4. Les courbes de la figure qui accompagne cette question représentent le diagramme de distribution de la forme acide et de la forme basique du couple NH⁺_4(aq)/NH_3(aq). La planche porte le pourcentage en ordonnée, gradué 0 · 20 · 40 · 60 · 80 · 100, et le pH en abscisse, gradué de 1 à 14 de 1 en 1. Elle porte DEUX courbes en forme de S, désignées (1) et (2) par une étiquette reliée à la courbe par une flèche. La courbe (1) est DESCENDANTE : elle est plaquée contre 100 % jusque vers pH=7, s'infléchit, puis descend et rejoint 0 % vers pH=12. La courbe (2) est son symétrique, MONTANTE : plaquée contre 0 % jusque vers pH=7, elle monte et rejoint 100 % vers pH=12. Les deux courbes se coupent à 50 %, et ce point de croisement a pour abscisse pH=9,2. Quelques valeurs lisibles sur la planche, la première étant celle de la courbe (1) : à pH=8,2, 91 % et 9 % ; à pH=10,4, 6 % et 94 % ; à pH=11, 1,6 % et 98 %.

Partie I-2 — Effet de la dilution, lu sur le diagramme de distribution

Étude de la réaction de l'ammoniac avec l'ion méthylammonium. On mélange dans un bécher un volume V₁ de la solution aqueuse S₁ d'ammoniac de concentration molaire C₁ avec un volume V=V₁ d'une solution aqueuse S de chlorure de méthylammonium CH₃NH⁺_3(aq) + Cl⁻_(aq) de concentration molaire C=C₁.

Partie II — Électrolyse d'une solution aqueuse de nitrate d'argent

On effectue l'électrolyse d'une solution aqueuse de nitrate d'argent Ag⁺_(aq) + NO⁻_3(aq) acidifiée par une solution aqueuse d'acide nitrique H₃O⁺_(aq) + NO⁻_3(aq), en utilisant deux électrodes en graphite. Le volume du mélange dans l'électrolyseur est V=400 mL. Données : les deux couples Ox/red intervenant dans cette réaction sont O_2(g)/H₂O_(ℓ) et Ag⁺_(aq)/Ag_(s) ; le faraday 1F=9,65×10⁴ C·mol⁻¹. On mesure le pH du mélange avant la fermeture du circuit et on trouve pH₀=3, puis on ferme le circuit à un instant choisi comme origine des dates (t=0). Un courant électrique d'intensité constante I=2,66×10² mA circule alors dans le circuit. L'équation bilan de la réaction est 6H₂O_(ℓ) + 4Ag⁺_(aq)→O_2(g) + 4H₃O⁺_(aq) + 4Ag_(s).

Les transformations nucléaires — la radioactivité du polonium. Le noyau de polonium ²¹⁰₈₄Po se désintègre spontanément pour se transformer en un noyau de plomb ²⁰⁶_ZPb avec émission d'une particule α. Cet exercice se propose d'étudier le bilan énergétique de cette transformation ainsi que l'évolution de cette dernière au cours du temps. Données : énergie de liaison du noyau de polonium 210, E_ℓ(²¹⁰Po)=1,6449×10³ MeV ; énergie de liaison du noyau de plomb 206, E_ℓ(²⁰⁶Pb)=1,6220×10³ MeV ; énergie de liaison de la particule α, E_ℓ(α)=28,2989 MeV ; on désigne par t_1/2 la demi-vie du noyau de polonium 210. On désigne par N₀(Po) le nombre de noyaux de polonium dans un échantillon à l'instant de date t=0 et par N(Po) le nombre de noyaux restant dans le même échantillon à un instant de date t. La courbe qui accompagne la question 3-2 représente les variations de ln(N₀(Po)N(Po)) en fonction du temps. C'est une DROITE qui passe par l'ORIGINE. L'axe des abscisses porte le temps en jours et ne compte que deux graduations chiffrées, 34,5 et 69, qui tombent sur les deux premières lignes fortes du quadrillage ; l'axe des ordonnées ne porte qu'une seule graduation chiffrée, 14ln 2, sur la première ligne forte au-dessus de l'origine, une seconde ligne forte au-dessus étant marquée d'un trait sans chiffre. La droite passe donc par le point d'abscisse t=34,5 jours et d'ordonnée 14ln 2, puis par le point d'abscisse t=69 jours et d'ordonnée double.

Le condensateur, le conducteur ohmique et la bobine sont des dipôles utilisés dans les circuits de divers appareils électriques tels les amplificateurs, les postes radio et téléviseurs… Cet exercice a pour objectif l'étude de la réponse d'un dipôle RL à un échelon de tension, de la décharge d'un condensateur dans un dipôle RL, et des oscillations forcées dans un circuit RLC série.

Partie 1 — Réponse d'un dipôle RL à un échelon de tension

On réalise le montage électrique représenté sur la figure 1, qui contient un générateur de tension de force électromotrice E et de résistance interne négligeable, deux conducteurs ohmiques de résistance R₀=45 Ω et r, une bobine (b) d'inductance L₀ et de résistance r₀, et un interrupteur K. La figure 1 montre une maille unique : du point M, relié à la masse en bas à gauche, part le générateur E traversé par le courant i montant ; au-dessus de lui le conducteur ohmique r, puis l'interrupteur K en haut, et le point A en haut à droite, relié à l'entrée Y₁ de l'oscilloscope ; de A descend la bobine (b) (L₀, r₀) jusqu'au point B en bas à droite, relié à l'entrée Y₂ ; de B, le conducteur ohmique R₀, aux bornes duquel on relève u_R0(t), ramène au point M. On ferme l'interrupteur K à un instant choisi comme origine des dates (t=0). Un système de saisie informatique approprié permet de tracer la courbe (C1) représentant la tension u_AM(t) et la courbe (C2) représentant la tension u_BM(t) (figure 2). La droite (T) représente la tangente à la courbe (C2) à l'instant de date t=0. La figure 2 porte u en volts en ordonnée, graduée 2,5 puis 5 — le pas de la ligne forte vaut donc 2,5 V — et le temps en ms en abscisse, gradué 3 puis 6 — le pas vaut donc 3 ms. La courbe (C1) part de 12 V à t=0, DÉCROÎT en s'incurvant et rejoint une asymptote horizontale à 10 V. La courbe (C2) part de 0 à t=0, CROÎT en s'incurvant et rejoint une asymptote horizontale à 9 V. La tangente (T) à l'origine, tracée en pointillé, coupe l'asymptote de (C2) à t=3 ms.

Partie 2 — Décharge d'un condensateur dans un dipôle RL

On monte en série, à un instant de date t=0, un condensateur de capacité C=14,1 µF totalement chargé, avec la bobine précédente (b) et un conducteur ohmique de résistance R=20 Ω (figure 3). La figure 3 montre une maille fermée : à gauche le condensateur C, aux bornes duquel on relève u_C(t), le courant i descendant vers son armature supérieure ; à droite la bobine (b) (L₀, r₀) ; en bas le conducteur ohmique R, aux bornes duquel on relève u_R(t), la flèche de u_R étant orientée de la droite vers la gauche. Un système de saisie informatique approprié permet de tracer la courbe représentant la tension u_C(t) et la courbe représentant la tension u_R(t) (figure 4). La figure 4 réunit CES DEUX OSCILLOGRAMMES CÔTE À CÔTE et AUCUN DES DEUX NE PORTE DE GRADUATION CHIFFRÉE : chacun porte un CARTOUCHE de deux flèches croisées qui donne le pas de la ligne forte du quadrillage. Pour u_C(t), à gauche, ce pas vaut 4 V en ordonnée et 5 ms en abscisse ; la courbe part de +3 divisions, soit 12 V, à t=0, plonge jusqu'à un premier minimum d'environ −2 divisions (−8 V) vers t=5 ms, remonte à un premier maximum d'environ +1,5 division (6 V) vers t=10 ms, et poursuit ainsi en s'amortissant : c'est une oscillation qui CHANGE DE SIGNE et dont l'amplitude décroît, de pseudo-période voisine de 10 ms. Vers t=14 ms, u_C vaut environ −0,8 division, soit −3,2 V. Pour u_R(t), à droite, le pas vaut 0,5 V en ordonnée et 5 ms en abscisse ; la courbe part de 0 à t=0, plonge aussitôt jusqu'à un premier minimum voisin de −3,6 divisions (−1,8 V) vers t=2 ms, remonte à un premier maximum voisin de +2,5 divisions (1,3 V) vers t=7 ms, et s'amortit de même, avec la même pseudo-période de 10 ms. Vers t=14 ms, u_R vaut environ −1 division, soit −0,5 V.

Partie 3 — Oscillations forcées dans un circuit RLC série

Le circuit représenté sur la figure 5 contient un générateur GBF délivrant au circuit une tension sinusoïdale u_AB(t)=3√2cos(2πN t) exprimée en volts et de fréquence N réglable, un conducteur ohmique de résistance R₁, la bobine (b) précédente, un condensateur de capacité C₁ et un ampèremètre. La figure 5 montre une maille fermée entre les points B (en bas à gauche) et A (en bas à droite) : la branche du haut porte, de gauche à droite, le conducteur ohmique R₁, la bobine (b) (r₀, L₀) et le condensateur C₁, puis l'ampèremètre A encerclé descend vers le point A ; la branche du bas porte le GBF, encerclé, entre B et A. Le coefficient de qualité de ce circuit est Q=7 et la largeur de la bande passante à −3 dB est 14,3 Hz. À la résonance, l'ampèremètre indique la valeur I₀=1,85×10² mA.

Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I — Chute dans l'air de deux boules de masses volumiques différentes

Étude de la chute de deux boules dans l'air. Galilée, homme de sciences italien, s'intéressa à l'étude de la chute de divers corps. Selon la légende, il aurait effectué cette étude en lâchant ces corps du sommet de la tour de Pise. Pour vérifier certains résultats avancés par Galilée, on se propose d'étudier dans cette partie la chute dans l'air de deux boules ayant le même rayon et des masses volumiques différentes. L'étude du mouvement de chaque boule s'effectue dans un repère R(O,k) associé à un référentiel terrestre supposé galiléen. On repère, à chaque instant, la position du centre d'inertie de chacune des deux boules par la côte z sur l'axe vertical (O,k) ORIENTÉ VERS LE HAUT et dont l'origine est prise au niveau du sol (figure 1). La figure 1 montre l'axe z vertical, monté du sol vers le haut : en bas l'origine O posée sur le sol hachuré, avec le vecteur k dirigé vers le haut ; en haut, un disque noir figurant la boule, au niveau du point H marqué par un trait pointillé horizontal ; la hauteur h est cotée par une double flèche entre le sol et ce trait. Chaque boule est soumise, durant sa chute, à son poids P et à la force de frottement fluide f ; on néglige la poussée d'Archimède devant ces deux forces. On admet que l'intensité de la force f s'écrit f=0,22 ρ_air πR² v_z², où ρ_air est la masse volumique de l'air, R le rayon de la boule et v_z la valeur algébrique de la vitesse du centre d'inertie G de la boule à un instant t. Données : le volume d'une boule de rayon R est V=43πR³ ; l'intensité de la pesanteur g=9,8 m·s⁻² ; la masse volumique de l'air ρ_air=1,3 kg·m⁻³. Cette étude est effectuée avec deux boules (a) et (b) homogènes ayant le même rayon R=6 cm et des masses volumiques respectives ρ₁=1,14×10⁴ kg·m⁻³ et ρ₂=94 kg·m⁻³. Les deux boules sont lâchées au même instant t=0, sans vitesse initiale, du même plan horizontal auquel appartient le point H ; ce plan est situé à une hauteur h=69 m du sol (figure 1). Les courbes obtenues sur les figures 2 et 3 représentent l'évolution de la côte z(t) et de la vitesse v_z(t) du centre d'inertie G de chacune des deux boules, au cours de la chute. La figure 2 porte z en mètres en ordonnée, graduée 0 · 20 · 40 — le pas de la ligne forte vaut donc 20 m — et le temps en secondes en abscisse, gradué 1 puis 2. Ses deux courbes, (C′1) et (C′2), partent toutes deux de z=69 m à t=0 et se confondent jusque vers t=1,5 s ; ensuite (C′2) descend PLUS VITE et coupe l'axe des temps vers t=3,8 s, tandis que (C′1) vaut encore environ 26 m à cet instant et n'atteint le sol que vers t=5,4 s. La figure 3 porte v_z en m·s⁻¹ en ordonnée, graduée 0 · −8 · −16 — les valeurs sont NÉGATIVES, l'axe des côtes étant orienté vers le haut — et le temps en secondes en abscisse, gradué 1 puis 2, l'axe des temps étant tracé EN HAUT de la planche. Ses deux courbes, (C1) et (C2), partent toutes deux de v_z=0 à t=0 et se confondent jusque vers t=0,8 s ; ensuite (C1) s'incurve et rejoint une asymptote horizontale à −16 m·s⁻¹, tandis que (C2) est une DROITE qui poursuit sa descente sans s'infléchir, passant par −9,8 m·s⁻¹ à t=1 s et par −19,6 m·s⁻¹ à t=2 s, et sortant du cadre par le bas.

Partie II — Étude du mouvement d'un pendule de torsion

Cet exercice a pour objectif d'étudier le mouvement d'un pendule de torsion et de déterminer quelques grandeurs liées à ce mouvement. On dispose d'un pendule de torsion constitué d'un fil métallique, de constante de torsion C, et d'une tige MN homogène fixée en son centre d'inertie G à l'une des extrémités du fil ; l'autre extrémité du fil est fixée en un point P d'un support (figure 4). La figure 4 montre, en haut, le support hachuré d'où pend le point P ; le fil métallique descend verticalement le long de l'axe (Δ), désigné par une flèche portant la mention « fil métallique » ; en bas du fil, le point G, d'où part la tige MN tracée en trait épais et inclinée, N en bas à gauche et M en haut à droite ; l'angle θ est coté entre la tige et la position d'équilibre, figurée par un trait horizontal pointillé et désignée par une flèche portant la mention « position d'équilibre » ; une flèche courbe en haut à droite, marquée +, donne le sens positif. La tige peut effectuer un mouvement de rotation sans frottement autour de l'axe (Δ) confondu avec le fil métallique. Le moment d'inertie de la tige MN par rapport à cet axe est J_Δ=4×10⁻⁴ kg·m². On étudie le mouvement du pendule dans un repère lié à un référentiel terrestre supposé galiléen. On repère la position de la tige MN à chaque instant t par son abscisse angulaire θ par rapport à sa position d'équilibre stable (figure 4). On choisit la position d'équilibre stable comme référence de l'énergie potentielle de torsion (E_pt=0) et le plan horizontal passant par G comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur (E_pp=0). On prendra π²=10. Le pendule effectue des oscillations d'amplitude θ_m=π4 rad. L'étude expérimentale a permis d'obtenir la courbe de la figure 5, représentant les variations de la vitesse angulaire de l'oscillateur en fonction du temps. La figure 5 porte θ en rad·s⁻¹ en ordonnée et le temps en secondes en abscisse. ELLE NE PORTE QUE QUATRE REPÈRES CHIFFRÉS : en ordonnée, θ_m et −θ_m2, marqués par un trait sur l'axe, et le zéro ; en abscisse, 0,625 et 1,25. La courbe est une SINUSOÏDE d'amplitude constante — les frottements étant négligés — qui part, à t=0, de la valeur −θ_m2 EN DESCENDANT ; elle atteint son premier minimum −θ_m peu après l'origine, remonte en coupant l'axe des temps, atteint son premier maximum +θ_m, puis recommence : deux oscillations complètes tiennent dans la largeur de la planche, et l'écart entre deux minimums successifs vaut la graduation 1,25 s.