National 2015 · SM · session normale

Les deux parties I et II sont indépendantes.

Partie I-1 — Dosage de l'acide éthanoïque

Dosage d'un acide et synthèse d'un ester. L'acide éthanoïque est utilisé dans la synthèse de plusieurs substances organiques, telle que l'huile de jasmin (l'éthanoate de benzyle), qui est utilisée dans la synthèse des parfums ; cet ester peut être préparé au laboratoire à partir de la réaction entre l'acide éthanoïque CH₃COOH et l'alcool benzylique C₆H₅−CH₂−OH. On se propose d'étudier dans cette première partie le dosage d'une solution aqueuse d'acide éthanoïque par une solution basique, et la réaction de cet acide avec l'alcool benzylique. Données : toutes les mesures sont effectuées à 25 ^∘C ; masses molaires en g·mol⁻¹, données par un tableau — l'acide éthanoïque 60, l'alcool benzylique 108, l'éthanoate de benzyle 150. On prépare une solution aqueuse (S_A) d'acide éthanoïque CH₃COOH de volume V=1 L et de concentration molaire C_A, en dissolvant une quantité de masse m de cet acide dans l'eau distillée. On dose un volume V_A=20 mL de la solution (S_A) en suivant les variations du pH en fonction du volume V_B versé d'une solution aqueuse d'hydroxyde de sodium Na⁺_(aq) + HO⁻_(aq) de concentration molaire C_B=2×10⁻² mol·L⁻¹. À partir des mesures obtenues, on a tracé la courbe (C₁) représentant pH=f(V_B) et la courbe (C₂) représentant dpHdV_B=g(V_B). La planche porte le pH en ordonnée et V_B en mL en abscisse. ELLE N'EST GRADUÉE QU'EN TROIS ENDROITS : en ordonnée, 0 et 2 ; en abscisse, 4. Ces repères donnent le PAS du quadrillage à gros carreaux : 2 unités de pH en ordonnée, 4 mL en abscisse — les gros carreaux de l'abscisse valent donc 4 · 8 · 12 · 16 · 20 · 24 · 28 · 32 mL. La courbe (C₁) part de pH≈3,3 à V_B=0 et monte lentement : elle vaut 3,8 à V_B=2 mL, 4,4 à 6 mL, 4,8 à 10 mL, 5,0 à 12 mL, 5,2 à 14 mL, 5,7 à 18 mL ; elle présente ensuite un SAUT VERTICAL à V_B=20 mL, qui la porte au-dessus de pH=10, puis elle continue lentement — 11,0 à 22 mL, 11,3 à 24 mL, 11,5 à 28 mL. La courbe (C₂) est un PIC très étroit, plaqué contre l'axe des abscisses partout ailleurs, dont le maximum est à la MÊME abscisse que le saut de (C₁), soit V_B=20 mL.

Partie I-2 — Synthèse d'un ester

On prépare un mélange constitué d'une quantité d'acide éthanoïque de masse m_ac=6 g et d'une quantité d'alcool benzylique C₆H₅−CH₂−OH de masse m_al=10,80 g. Après avoir ajouté quelques gouttes d'acide sulfurique concentré et quelques grains de pierre ponce, on chauffe à reflux le mélange. On obtient à la fin de la réaction une quantité d'éthanoate de benzyle de masse m=9,75 g. On refait l'expérience, dans les mêmes conditions expérimentales, en utilisant n_ac=0,10 mol d'acide éthanoïque et n_al=0,20 mol d'alcool benzylique.

Partie II — Étude de la pile nickel-cobalt

Le fonctionnement d'une pile chimique est basé sur la transformation d'une partie de l'énergie chimique, résultant des transformations chimiques, en énergie électrique. On étudie dans cette partie la pile nickel-cobalt. Données : masse molaire du nickel M(Ni)=58,7 g·mol⁻¹ ; constante de Faraday 1F=9,65×10⁴ C·mol⁻¹. La constante d'équilibre associée à l'équation de la réaction Ni²⁺_(aq) + Co_(s)⇌Ni_(s) + Co²⁺_(aq), le sens (1) étant le sens direct et le sens (2) le sens inverse, est K=10² à 25 ^∘C. On réalise une pile en plongeant une plaque de nickel dans un bécher contenant un volume V=100 mL d'une solution aqueuse de sulfate de nickel II Ni²⁺_(aq) + SO₄²⁻_(aq) de concentration molaire initiale C₁=[Ni²⁺_(aq)]_i=3×10⁻² mol·L⁻¹, et une plaque de cobalt dans un autre bécher contenant un volume V=100 mL d'une solution aqueuse de sulfate de cobalt II Co²⁺_(aq) + SO₄²⁻_(aq) de concentration molaire initiale C₂=[Co²⁺_(aq)]_i=0,3 mol·L⁻¹. Les deux solutions sont reliées par un pont salin. On monte en série avec cette pile un conducteur ohmique, un ampèremètre et un interrupteur. On ferme le circuit ainsi formé à un instant de date t=0 ; un courant d'intensité I, considérée constante, circule dans le circuit.

Les transformations nucléaires. Les réactions de fusion et de fission sont considérées parmi les réactions qui produisent une grande énergie qu'on peut exploiter dans divers domaines. Données : 1 MeV =1,6022×10⁻¹³ J ; m(¹₁H)=1,00728 u ; m(⁴₂He)=4,00151 u ; m(⁰₁e)=5,48579×10⁻⁴ u ; 1 u =931,494 MeV·c⁻² =1,66054×10⁻²⁷ kg ; on prend la masse du soleil m_S=2×10³⁰ kg ; on considère que la masse de l'hydrogène ¹₁H représente 10% de la masse du soleil. 1 — Le sujet donne dans un tableau les équations de quelques réactions nucléaires, repérées par une lettre : A : ²₁H + ³₁H→⁴₂He + ¹₀n ; B : ⁶⁰₂₇Co→⁶⁰₂₈Ni + ⁰₋₁e ; C : ²³⁸₉₂U→⁴₂He + ²³⁴₉₀Th ; D : ²³⁵₉₂U + ¹₀n→¹³⁹₅₄Xe + ⁹⁴₃₈Sr + 3 ¹₀n. Le diagramme d'énergie qui accompagne la question porte l'énergie en 10⁵ MeV en ordonnée et TROIS niveaux horizontaux, du plus haut au plus bas : 2,21625 pour « 144 n + 92 p » ; 2,19835 pour « ²³⁵₉₂U + ¹₀n » ; 2,19655 pour « ¹³⁹₅₄Xe + ⁹⁴₃₈Sr + 3 ¹₀n ». 2 — Il se produit dans le soleil des réactions nucléaires dues essentiellement à la transformation de l'hydrogène selon l'équation bilan 4 ¹₁H→⁴₂He + 2 ⁰₁e. L'énergie libérée chaque année par le soleil selon cette transformation est E_S=10³⁴ J.

Beaucoup d'appareils électriques contiennent des circuits qui se composent de condensateurs, de bobines, de conducteurs ohmiques… La fonction de ces composantes varie selon leurs domaines d'utilisation et la façon dont elles sont montées dans les circuits.

Partie 1 — Étude du dipôle RL

On réalise le montage de la figure 1, comportant un générateur de f.é.m. E=12 V et de résistance interne négligeable, un conducteur ohmique de résistance R₁=52 Ω, une bobine (b) d'inductance L et de résistance r, et un interrupteur K. La figure 1 montre la maille fermée portant, dans le sens des aiguilles d'une montre depuis le haut : l'interrupteur K, le générateur E, le conducteur ohmique R₁ aux bornes duquel on relève u_R1, et la bobine (b) à gauche. On ferme l'interrupteur K à l'instant de date t=0. Un système d'acquisition informatisé permet de tracer la courbe représentant la tension u_R1(t) (figure 2) ; la droite (T) représente la tangente à la courbe à t=0. La figure 2 porte u_R1 en volts en ordonnée, graduée 2 puis 4 — le pas du gros carreau vaut donc 2 V —, et le temps en ms en abscisse, gradué 10 puis 20 — le pas vaut donc 10 ms. La courbe part de zéro à t=0, croît en s'incurvant et rejoint une asymptote horizontale voisine de 10,4 V, atteinte vers t=50 ms. La tangente (T) à l'origine coupe cette asymptote à t=10 ms. 2 — Étude des dipôles RC et RLC. On réalise le montage de la figure 3, comportant un générateur idéal de COURANT, un microampèremètre, deux conducteurs ohmiques de résistances R₀ et R=40 Ω, un condensateur de capacité C non chargé initialement, la bobine (b) précédente, et deux interrupteurs K₁ et K₂. La figure 3 montre : à gauche, la branche du générateur de courant I₀ en série avec le microampèremètre μA et l'interrupteur K₁, entre les points B (en bas) et A (en haut) ; en haut, le conducteur ohmique R₀ suivi de l'interrupteur K₂ ; au centre, le condensateur C parcouru par le courant i ; à droite, la bobine (b) ; en bas à droite, le conducteur ohmique R aux bornes duquel on relève u_R.

Partie 2-1 — Étude du dipôle RC chargé à courant constant

On ferme l'interrupteur K₁ (K₂ ouvert) à l'instant de date t=0. L'intensité du courant indiquée par le microampèremètre est I₀=4 µA. Un système d'acquisition permet de tracer la courbe représentant la tension u_AB(t) (figure 4). La figure 4 porte u_AB en volts en ordonnée, graduée 2 puis 4, et le temps en secondes en abscisse, gradué 5 puis 10. Le tracé est une DROITE qui part du point (0 ; 2 V) et passe par le point (5 s ; 4 V), continuant jusqu'au coin supérieur droit du cadre.

Partie 2-2 — Étude du dipôle RLC

Lorsque la tension entre les bornes du condensateur prend la valeur u_C=U₀, on ouvre K₁ et on ferme K₂ à un instant pris comme nouvelle origine des dates (t=0). Un système d'acquisition permet de tracer la courbe représentant la tension u_R(t) (figure 5) ; la droite (T₁) représente la tangente à la courbe à t=0. La figure 5 porte u_R en volts en ordonnée et le temps en ms en abscisse ; elle ne porte pas de graduations chiffrées, mais un cartouche de deux flèches croisées donnant l'échelle du quadrillage : 0,5 V en ordonnée et 2,5 ms en abscisse. C'est une oscillation sinusoïdale amortie qui part de u_R=0 à t=0 en DESCENDANT, atteint un premier minimum profond, puis oscille en s'atténuant ; l'instant t₁, repéré par un trait pointillé, est le TROISIÈME minimum, atteint deux pseudo-périodes après le premier. La tangente (T₁) à l'origine est une droite très raide, descendante.

Partie 3 — Modulation d'amplitude d'un signal sinusoïdal

Afin d'obtenir un signal modulé en amplitude, on utilise un circuit intégré multiplieur X (figure 6). On applique à l'entrée E₁ la tension u₁(t)=s(t) + U₀, avec s(t)=S_mcos(2πf_S t) représentant le signal informatif et U₀ une composante continue de la tension ; on applique à l'entrée E₂ une tension sinusoïdale représentant la porteuse, u₂(t)=U_mcos(2πF_P t). La figure 6 montre le multiplieur, un rectangle marqué X, avec les entrées E₁ et E₂ à gauche et la sortie S à droite, où l'on relève u_s(t). La tension de sortie obtenue est u_s(t)=k u₁(t) u₂(t), k étant une constante qui dépend du circuit intégré X. On rappelle cos acos b=12[cos(a+b) + cos(a−b)]. La figure 7 représente le spectre de fréquences formé de TROIS RAIES de la tension modulée u_s(t) : l'ordonnée porte l'amplitude en volts, graduée 0,5 puis 1, et l'abscisse la fréquence en kHz, graduée 5 · 5,5 · 6. Les trois raies sont à 5,5 kHz, 6 kHz et 6,5 kHz ; les deux raies latérales montent à 0,5 V et la raie centrale, à 6 kHz, à 2 V. Pour une bonne réception du signal modulé, on utilise un circuit bouchon (circuit d'accord) formé d'une bobine d'inductance L₀=60 mH et de résistance négligeable et de deux condensateurs, montés en série, de capacités C=10 µF et C₀.

Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I — Chute verticale d'une bille avec frottement

On se propose, dans cette partie, d'étudier le mouvement du centre d'inertie G d'une bille homogène de masse m dans une éprouvette remplie d'un liquide visqueux. On repère la position de G à tout instant par la coordonnée z de l'axe vertical (O,k) dirigé VERS LE BAS ; l'origine de l'axe est confondue avec le point O₁ de la surface libre du liquide. À l'instant de date t₀, prise comme origine des dates (t₀=0), on lâche la bille sans vitesse initiale d'une position où G est confondu avec G₀, de coordonnée z₀=3 cm. La figure du sujet montre l'éprouvette verticale grisée, remplie de liquide sur la hauteur H cotée à droite ; en haut, le point O₁ de la surface libre, en face de l'origine O marquée à gauche par un trait pointillé, avec le vecteur k dirigé vers le bas ; un peu plus bas, la cote z₀ marquée par un second trait pointillé, en face du point G₀ ; et juste en dessous la bille, figurée par un disque noir. L'axe z descend le long de l'éprouvette. Au cours de sa chute dans le liquide, la bille est soumise, en plus de son poids, à la force de frottement fluide f=−λ v k, où λ est le coefficient de frottement fluide et v la vitesse de G à un instant t, et à la poussée d'Archimède F=−ρ_ℓ V_S g, où g est l'intensité de la pesanteur, V_S le volume de la bille et ρ_ℓ la masse volumique du liquide. On prend g=9,8 m·s⁻² ; λρ_S V_S=12,4 (SI) ; ρ_ℓρ_S=0,15 ; ρ_S est la masse volumique de la matière constituant la bille. On prend Δt=8×10⁻³ s pour le pas de calcul de la méthode d'Euler. La hauteur H du liquide dans l'éprouvette est H=79,6 cm, et la durée du mouvement de la bille dans le liquide à partir de G₀ jusqu'au fond de l'éprouvette est Δt_f=1,14 s ; on considère que le régime permanent est atteint à partir de t_ℓ et on néglige le rayon de la bille devant H.

Partie II — Étude énergétique d'un pendule élastique

Le pendule élastique est un système mécanique effectuant un mouvement oscillatoire autour de sa position d'équilibre stable. Le but de cette partie est de déterminer quelques grandeurs liées à cet oscillateur par une étude énergétique. Le pendule élastique étudié est constitué d'un solide (S), de centre d'inertie G et de masse m=100 g, attaché à l'extrémité d'un ressort à spires non jointives, de masse négligeable et de raideur K ; l'autre extrémité du ressort est fixée à un support fixe. Le solide (S) peut glisser sans frottement sur la ligne de plus grande pente d'un plan incliné d'un angle α=30^∘ par rapport au plan horizontal (figure 1). La figure 1 montre le plan incliné, monté vers la droite, l'angle α étant coté entre la pente et l'horizontale en pointillé ; le ressort est accroché en haut à droite à un support hachuré et descend le long de la pente jusqu'au solide (S), figuré par un petit rectangle grisé, dont le centre d'inertie G est marqué ; l'origine O du repère est à la position de G à l'équilibre, le vecteur i étant dirigé le long de la pente vers le BAS — l'axe x pointe vers le bas à gauche — et le vecteur j perpendiculaire à la pente. On étudie le mouvement du centre d'inertie G dans le repère orthonormé R(O,i,j) lié au référentiel terrestre considéré comme galiléen. On repère la position de G à un instant t par l'abscisse x sur l'axe (O,i) ; à l'équilibre, G est confondu avec l'origine O. On prendra π²=10. On écarte (S) de sa position d'équilibre d'une distance X₀ dans le sens positif et on l'envoie à l'instant de date t=0 avec une vitesse initiale V₀ telle que V₀=−V₀ i. La courbe de la figure 2 représente l'évolution de l'énergie potentielle E_p de l'oscillateur en fonction du temps. Elle porte E_p en mJ en ordonnée, graduée 2,5 puis 5, et le temps en secondes en abscisse, gradué 0,1 puis 0,2. C'est une suite d'ARCHES qui touchent zéro : E_p vaut environ 1,2 mJ à t=0, descend d'abord à zéro juste après l'origine, puis monte jusqu'à son maximum 5 mJ, redescend à zéro, et ainsi de suite — trois maximums identiques à 5 mJ sur la largeur de la planche, la période de E_p valant 0,2 s et donc la période propre de l'oscillateur T₀=0,4 s.