National 2014 · SM · session rattrapage

Les deux parties sont indépendantes.

Partie I-1 — Réaction de l'acide benzoïque avec l'eau

Le benzoate de méthyle est un composé organique ayant l'odeur du girofle, utilisé dans l'industrie des parfums ; il est obtenu par la réaction d'un alcool avec l'acide benzoïque C₆H₅COOH. L'acide benzoïque se trouve sous forme de poudre blanche, utilisée dans l'industrie alimentaire en tant qu'élément conservateur. Données : masse molaire de l'acide benzoïque M=122 g·mol⁻¹ ; conductivités molaires ioniques à 25 ^∘C : λ₁=λ(H₃O⁺)=35 mS·m²·mol⁻¹ et λ₂=λ(C₆H₅COO⁻)=3,25 mS·m²·mol⁻¹. On dissout une masse m d'acide benzoïque dans l'eau distillée ; on obtient une solution S de volume V=200 mL et de concentration C=1,0×10⁻² mol·L⁻¹. Lorsqu'on mesure la conductivité de la solution S, on trouve σ=29,0 mS·m⁻¹.

Partie I-2 — Dosage en retour et degré de pureté de la poudre

Dosage acide-base. Pour déterminer le degré de pureté de la poudre d'acide benzoïque, on réalise l'expérience suivante. On dissout une masse m′=1,00 g d'une poudre d'acide benzoïque dans un volume V_B=20,0 mL d'une solution d'hydroxyde de sodium (Na⁺ + HO⁻) de concentration C_B=1,00 mol·L⁻¹, de façon à ce que les ions hydroxyde soient majoritaires par rapport aux molécules C₆H₅COOH ; on note n₀ la quantité de matière initiale d'acide benzoïque. On dose ensuite l'excès des ions HO⁻ avec une solution d'acide chlorhydrique (H₃O⁺ + Cl⁻) de concentration C_A=1,00 mol·L⁻¹ ; on atteint l'équivalence lorsqu'on verse un volume V_AE=12,0 mL de la solution d'acide chlorhydrique. On note x_E l'avancement de la réaction du dosage à l'équivalence.

Partie II — Étude de la réaction de saponification de l'oléine

L'oléine est un corps gras constituant majoritairement l'huile d'olive ; c'est un triglycéride qui peut être obtenu par la réaction du glycérol avec l'acide oléique. Pour préparer le savon, on chauffe à reflux une fiole contenant une masse m=10,0 g d'huile d'olive (oléine), un volume V=20 mL d'une solution d'hydroxyde de sodium de concentration C=7,5 mol·L⁻¹, un volume V′=10 mL d'éthanol et des pierres ponces. On chauffe le mélange réactionnel pendant 30 min, puis on le verse dans une solution saturée de chlorure de sodium ; après agitation et refroidissement du mélange, on sèche le solide obtenu et on mesure sa masse : on trouve alors m′=8,0 g. Données : glycérol CH₂OH−CHOH−CH₂OH ; acide oléique C₁₇H₃₃−COOH ; masses molaires en g·mol⁻¹, données par un tableau à deux colonnes : oléine M(O)=884 et savon M(S)=304.

Ondes ultrasonores. On place dans un récipient contenant de l'eau une plaque de plexiglas d'épaisseur e ; on plonge dans l'eau une sonde constituée d'un émetteur et d'un récepteur d'onde ultrasonore (figure 1). On visualise à l'aide d'un dispositif approprié chacun des signaux émis et reçu par la sonde. La durée du signal ultrasonore est très petite ; on le représente par une raie verticale. La figure 1 montre le récipient d'eau vu de côté : à gauche, la sonde d'onde ultrason, plongée dans l'eau ; au milieu, la plaque de plexiglas, dont la face amont est notée (a) et la face aval (b), séparées par l'épaisseur e ; à droite, la surface réfléchissante (P), verticale. La distance d est cotée de la sonde à la face (a), l'épaisseur e entre (a) et (b), et la distance D de la sonde à la surface (P).

Partie 1 — Écho sur la surface réfléchissante, sans plaque

En l'absence de la plaque de plexiglas, on obtient l'oscillogramme de la figure 2, où t_R est l'instant auquel a été capté le signal réfléchi par la surface réfléchissante (P). La figure 2 est un écran d'oscilloscope à 10 divisions horizontales, de balayage 20 µs·div⁻¹, portant DEUX raies verticales : celle de l'émission, repérée t=0, et celle de l'écho, repérée t_R, distantes de 7 divisions — soit t_R=140 µs.

Partie 2 — Épaisseur d'une plaque de plexiglas par échographie

En présence de la plaque de plexiglas, on obtient l'oscillogramme de la figure 3. On représente par t_A et t_B les instants auxquels sont captés les signaux réfléchis successivement par la première surface (a) et par la deuxième surface (b) de la plaque de plexiglas, et par t′_R l'instant auquel a été captée l'onde réfléchie sur la surface réfléchissante (P). On représente la vitesse de propagation de l'onde ultrasonore dans le plexiglas par v′. La figure 3 est le même écran, de même balayage 20 µs·div⁻¹, portant QUATRE raies : celle de l'émission à t=0 ; puis deux raies rapprochées, t_A à 3 divisions de l'origine — soit 60 µs — et t_B un peu après, à environ 3,4 divisions — soit 68 µs ; puis, plus loin, la raie t′_R, à environ 5,8 divisions de l'origine — soit 116 µs, donc AVANT le t_R=140 µs mesuré sans la plaque. La vitesse de propagation des ondes ultrasonores dans l'eau est v=1,42×10³ m·s⁻¹.

Les deux parties sont indépendantes.

Partie I — Circuit oscillant LC à deux condensateurs en série

Étude d'un circuit oscillant LC. On réalise le montage électrique de la figure 1, formé d'un générateur G idéal de tension de force électromotrice E=12 V, de deux condensateurs (C₁) et (C₂) de capacités respectives C₁=3 µF et C₂=0,5 C₁, et d'une bobine d'inductance L et de résistance négligeable. La figure 1 montre les deux condensateurs (C₁) et (C₂) montés EN SÉRIE sur la branche du milieu, avec les tensions u₁ et u₂ à leurs bornes ; au-dessus, la branche (1) qui porte le générateur G ; en dessous, la branche (2) qui porte la bobine L ; et à droite l'interrupteur K, qui bascule entre la position (1) et la position (2). 1 — On place l'interrupteur K dans la position (1) ; les deux condensateurs se chargent alors instantanément. Soit U₁ la tension aux bornes du condensateur (C₁) et U₂ celle aux bornes du condensateur (C₂). 2 — On bascule à l'instant t=0 l'interrupteur K dans la position (2) ; les deux condensateurs se déchargent alors à travers la bobine. La figure 2 représente l'évolution temporelle de l'énergie magnétique E_m emmagasinée dans la bobine. La figure 2 porte E_m en µJ en ordonnée, graduée 18 · 36 · 54 · 72, et le temps en ms en abscisse, gradué de 0 à 6 de 1 en 1. C'est une suite d'ARCHES qui touchent zéro : E_m part de 0 à t=0, atteint son maximum 72 µJ à t=1 ms, revient à zéro à t=2 ms, et ainsi de suite — trois arches entre t=0 et t=6 ms. La période de E_m vaut donc 2 ms, et celle des oscillations électriques le double, T₀=4 ms. On prend π²=10.

Partie II — Dipôle RLC en oscillations forcées, bande passante et puissance

On obtient un dipôle AB en montant en série une bobine d'inductance L=0,32 H de résistance négligeable, un condensateur de capacité C=5,0 µF et un conducteur ohmique de résistance R. On applique entre les bornes du dipôle AB une tension alternative sinusoïdale de fréquence N réglable, u(t)=30√2cos(2πN t + φ) ; il passe alors dans le circuit un courant d'intensité i(t)=I√2cos(2πN t), avec u(t) en volts et i(t) en ampères. Pour une valeur N₀ de la fréquence N, l'intensité efficace du courant prend une valeur maximale I₀=0,3 A, et la puissance électrique moyenne consommée par le dipôle AB prend la valeur P₀. Pour une valeur N₁ de la fréquence N, avec N₁>N₀, l'intensité efficace du courant prend la valeur I=I₀√2 et la phase prend la valeur φ=π4. On note P la puissance électrique moyenne consommée par le dipôle AB aux limites de la bande passante, et P_ext celle consommée à l'extérieur de la bande passante.

Partie I — Mouvement d'une bille dans un fluide visqueux

On étudie le mouvement d'une bille en acier dans un fluide visqueux contenu dans une éprouvette graduée (figure 1). La figure 1 donne une idée du montage utilisé sans tenir compte de l'échelle : elle montre l'éprouvette verticale, la bille lâchée au point G₀ situé en haut, en face de l'origine O marquée par un trait horizontal en pointillé, l'axe vertical Ox orienté VERS LE BAS de vecteur unitaire i, et deux positions successives de la bille plus bas dans le liquide. On libère la bille sans vitesse initiale à un instant t=0, et au même instant commence la saisie des images par une webcam reliée à un ordinateur. La position instantanée du centre d'inertie G est repérée sur l'axe Ox ; à t=0, le centre d'inertie G est au point G₀ d'abscisse x=0. On représente à chaque instant le vecteur vitesse du centre d'inertie de la bille par v=v i. L'analyse de la vidéo permet de calculer à chaque instant t la vitesse v du centre d'inertie de la bille ; la courbe de la figure 2 représente l'évolution de v au cours du temps. Celle-ci porte v en m·s⁻¹ en ordonnée, graduée de 0,1 en 0,1 jusqu'à 0,6, et le temps en secondes en abscisse, gradué de 0,05 en 0,05 jusqu'à 0,5. La courbe part de l'origine, croît vite puis s'infléchit — elle passe par v≈0,47 m·s⁻¹ à t=0,1 s — et rejoint dès t≈0,3 s une asymptote horizontale de vitesse limite voisine de 0,59 m·s⁻¹. On représente par V et m respectivement le volume et la masse de la bille, par ρ_a et ρ_s respectivement la masse volumique de la bille et celle du liquide visqueux, et par g l'intensité de pesanteur. Au cours de sa chute, la bille est soumise à la force de frottement fluide f=−h v i, où h est le coefficient de frottement visqueux ; à la poussée d'Archimède F=−ρ_s V g ; et à son poids m g=−ρ_a V g. On donne : m=5,0 g ; g=9,81 m·s⁻² ; h=7,60×10⁻² kg·s⁻¹ ; α=0,92.

Partie II — Étude énergétique d'un oscillateur élastique vertical libre amorti

L'objectif de cet exercice est l'étude d'un oscillateur mécanique constitué d'un ressort à spires non jointives, de masse négligeable et de constante de raideur k=20 N·m⁻¹, et d'un solide de masse m=200 g. On néglige les frottements et on prend g=9,81 N·kg⁻¹. 1 — Oscillations libres non amorties. On repère la position du solide par l'abscisse x sur l'axe vertical (O,i) orienté VERS LE BAS (figure 1) ; l'origine de l'axe est confondue avec G₀, position du centre d'inertie G à l'équilibre. La figure 1 montre le support horizontal en haut, le ressort suspendu qui pend, le solide accroché à son extrémité, l'origine O marquée à la hauteur du centre d'inertie du solide à l'équilibre, le vecteur i dirigé vers le bas et l'axe x descendant. À l'instant t=0, on lance le solide avec une vitesse initiale vers le bas v₀=v₀ i de norme v₀=0,50 m·s⁻¹. 2 — Énergie de l'oscillateur. États de référence de l'énergie : énergie potentielle de pesanteur E_pp=0 dans le plan horizontal contenant G₀ ; énergie potentielle élastique E_pe=0 quand le ressort n'est pas déformé. 3 — Oscillations libres amorties. L'enregistrement du mouvement de l'oscillateur (figure 2) montre que l'amplitude des oscillations varie au cours du temps. La figure 2 porte x en mètres en ordonnée, graduée de −0,05 à 0,05 de 0,01 en 0,01, et le temps en secondes en abscisse, gradué de 0,2 en 0,2 jusqu'à 2,4. C'est une oscillation sinusoïdale AMORTIE qui part de x=0 à t=0 en MONTANT ; ses extremums successifs valent environ +0,048 ; −0,045 ; +0,040 ; −0,038 ; +0,034 ; −0,032 ; +0,029 ; −0,027 m, et l'on compte QUATRE pseudo-périodes entre t=0 et t≈2,56 s : la pseudo-période vaut donc T=0,64 s.