National 2014 · SM · session normale

Partie I-1 — Préparation de la solution d'acide chlorhydrique

Étude d'une solution d'ammoniac et d'hydroxylamine. L'ammoniac NH₃ est un gaz soluble dans l'eau et donne une solution basique. Les solutions commerciales d'ammoniac sont concentrées et sont souvent utilisées dans les produits sanitaires après dilution. L'objectif de cet exercice est l'étude de quelques propriétés de l'ammoniac et de l'hydroxylamine NH₂OH dissous dans l'eau, et de déterminer la concentration de l'ammoniac dans un produit commercial à l'aide d'une solution d'acide chlorhydrique de concentration connue. Données : toutes les mesures sont effectuées à 25 ^∘C ; masse volumique de l'eau ρ=1,0 g·cm⁻³ ; masse molaire du chlorure d'hydrogène M(HCl)=36,5 g·mol⁻¹ ; produit ionique de l'eau K_e=10⁻¹⁴ ; la constante d'acidité du couple NH₄⁺/NH₃ est K_A1 ; celle du couple NH₃OH⁺/NH₂OH est K_A2. On prépare une solution S_A d'acide chlorhydrique de concentration C_A=0,015 mol·L⁻¹ en diluant une solution commerciale de concentration C₀ en cet acide, dont la densité par rapport à l'eau est d=1,15. Le pourcentage massique de l'acide dans cette solution commerciale est P=37%.

Partie I-2 — Propriétés d'une base dissoute dans l'eau

On considère une solution aqueuse d'une base B de concentration C ; on note K_A la constante d'acidité du couple BH⁺/B et τ l'avancement final de sa réaction avec l'eau. On mesure le pH₁ d'une solution S₁ d'ammoniac NH₃ de concentration C=1,0×10⁻² mol·L⁻¹ et le pH₂ d'une solution S₂ d'hydroxylamine NH₂OH ayant la même concentration C ; on trouve alors pH₁=10,6 et pH₂=9,0.

Partie I-3 — Dosage acide-base d'une solution diluée d'ammoniac

Pour déterminer la concentration C_B d'une solution commerciale concentrée d'ammoniac, on procède par dosage acido-basique. On prépare par dilution une solution S de concentration C′=C_B1000. On réalise le dosage pH-métrique d'un volume V=20 mL de la solution S à l'aide de la solution S_A d'acide chlorhydrique (H₃O⁺_(aq) + Cl⁻_(aq)) de concentration C_A=0,015 mol·L⁻¹. On mesure le pH du mélange après chaque addition d'un volume d'acide ; les résultats obtenus permettent de tracer la courbe de dosage pH=f(V_A) (figure 1). On atteint l'équivalence lorsqu'on ajoute le volume V_AE de la solution S_A. Le sujet donne un tableau de trois indicateurs colorés avec leur zone de virage : phénolphtaléine, 8,2 – 10 ; rouge de chlorophénol, 5,2 – 6,8 ; hélianthine, 3,1 – 4,4.

Partie II — Préparation du zinc par électrolyse

Certains métaux sont préparés par électrolyse d'une solution aqueuse contenant leurs cations ; plus de 50% de la production mondiale de zinc est obtenue par électrolyse d'une solution de sulfate de zinc acidifiée par l'acide sulfurique. On observe un dépôt métallique sur l'une des électrodes et le dégagement d'un gaz sur l'autre électrode. Données : 1F=96 500 C·mol⁻¹ ; M(Zn)=65,4 g·mol⁻¹ ; le volume molaire des gaz parfaits dans les conditions de l'expérience est V_M=24 L·mol⁻¹ ; les couples oxydant/réducteur Zn²⁺/Zn_(s), H⁺/H_2(g) et O_2(g)/H₂O_(l) ; les ions sulfate ne participent pas aux réactions chimiques. L'équation de la réaction d'électrolyse s'écrit sous la forme Zn²⁺_(aq) + H₂O_(l)→Zn_(s) + 12O_2(g) + 2 H⁺_(aq). L'électrolyse a lieu sous une tension de 3,5 V, avec un courant d'intensité constante I=80 kA. Après 48 h de fonctionnement, on obtient dans la cellule un dépôt de zinc de masse m ; à l'autre électrode on récupère un volume V de dioxygène, le rendement de la réaction qui produit le dioxygène étant r=80%.

La physique nucléaire dans le domaine médical. L'injection intraveineuse d'une solution contenant le phosphore 32 radioactif permet dans certains cas le traitement de la multiplication anormale des globules rouges au niveau des cellules de la moelle osseuse. Données, les masses en unité atomique u : m(³²₁₅P)=31,9840 u ; m(^A_ZY)=31,9822 u ; m(β⁻)=5,485×10⁻⁴ u ; 1 MeV =1,6×10⁻¹³ J ; 1 u =931,5 MeV·c⁻². La demi-vie du nucléide phosphore ³²₁₅P est t_1/2=14,3 jours ; 1 jour =86 400 s.

Partie 1 — Activité radioactive du phosphore 32

L'activité radioactive du nucléide radioactif ³²₁₅P. Le nucléide ³²₁₅P est radioactif β⁻ ; sa désintégration donne naissance au nucléide ^A_ZY.

Partie 2 — Injection intraveineuse au phosphore 32

À l'instant t=0, on prépare un échantillon du phosphore ³²₁₅P dont l'activité radioactive est a₀. À l'instant t₁, on injecte à un patient une quantité d'une solution de phosphore ³²₁₅P dont l'activité radioactive est a₁=2,5×10⁹ Bq. On note N₁ le nombre de nucléides du phosphore ³²₁₅P restant à l'instant t₁, et N₂ le nombre de nucléides restant à l'instant t₂ où l'activité radioactive de l'échantillon est a₂.

L'objectif de cet exercice est de suivre l'évolution de l'intensité du courant électrique au cours de la charge d'un condensateur, et au cours de sa décharge à travers une bobine. Pour l'étude de la charge et la décharge d'un condensateur de capacité C, on réalise le montage de la figure 1. La figure 1 montre le condensateur C au centre, aux bornes duquel on relève u_C ; en haut, la branche de charge, qui porte le générateur de force électromotrice E et le conducteur ohmique R en série et qui aboutit à la borne 1 de l'interrupteur K ; en bas, la branche de décharge, qui porte la bobine (L, r) et qui aboutit à la borne 2 de K. L'orientation du courant i est indiquée par une flèche sur la branche du haut.

Partie 1 — Charge du condensateur à travers un conducteur ohmique

Initialement le condensateur est non chargé. À un instant considéré comme origine du temps t=0, on bascule l'interrupteur K à la position 1 ; le condensateur se charge alors à travers un conducteur ohmique de résistance R=100 Ω, à l'aide d'un générateur électrique parfait de force électromotrice E=6 V. Un système informatique permet de tracer la courbe qui représente les variations de iI₀ en fonction du temps t (figure 2), I₀ étant l'intensité du courant à l'instant t=0.

Partie 2 — Décharge du condensateur dans une bobine

À un instant que l'on considère comme nouvelle origine des temps, on bascule l'interrupteur à la position 2 pour décharger le condensateur dans une bobine de coefficient d'inductance L=0,2 H et de résistance r. À l'aide du système informatique précédent, on visualise l'évolution de l'intensité i(t) dans le circuit en fonction du temps t ; on obtient l'oscillogramme de la figure 3. On désigne par E₀ l'énergie de l'oscillateur à l'instant t=0 et par T la pseudo-période des oscillations. On admet que l'énergie totale de l'oscillateur diminue au cours de chaque pseudo-période de p=27,5%.

Les deux parties sont indépendantes.

Partie I — Mouvement d'un skieur : glissage puis saut au-dessus d'un lac

Un skieur veut s'exercer sur une piste modélisée par la figure 1. Avant de faire un premier essai, le skieur étudie les forces qui s'exercent sur lui lors du glissage sur la piste ABC. La figure 1 montre le profil de la piste, de gauche à droite : le point de départ A, confondu avec l'origine O du repère (O,i′,j′) dont l'axe Ox′ descend le long de la pente et l'axe Oy′ lui est perpendiculaire ; le plan incliné AB, qui descend d'un angle α par rapport à un plan horizontal passant par B ; puis le creux BC, qui remonte jusqu'au point C d'où le skieur s'envole avec la vitesse v_C faisant l'angle α avec l'horizontale ; puis le lac, rectangle grisé dont le bord amont est CC′ et le bord aval DD′, sa surface allant de C′ à D′ ; enfin, à droite du lac, le point D, origine du repère (D,i,j) avec i horizontal et j vertical ascendant, et le plan horizontal d'arrivée. Données : intensité de pesanteur g=9,8 m·s⁻² ; AB est un plan incliné d'un angle α=20^∘ par rapport au plan horizontal passant par le point B ; la largeur du lac C′D′=L=15 m. On modélise le skieur et ses accessoires par un solide (S) de masse m=80 kg et de centre d'inertie G. On considère sur la partie AB que les frottements ne sont pas négligeables et on les modélise par une force constante. 1 — Étude des forces appliquées sur le skieur entre A et B. Le skieur part du point A d'abscisse x′_A=0 dans le repère (O,i′,j′) sans vitesse initiale à un instant considéré comme origine des temps t=0 s. Il glisse sur le plan incliné AB suivant la ligne de la plus grande pente avec une accélération constante a et passe par le point B avec une vitesse V_B=20 m·s⁻¹, à l'instant t_B=10 s. On note φ l'angle de frottement, défini par la normale à la trajectoire et la direction de la force appliquée par le plan incliné sur le skieur. 2 — L'étape du saut. À l'instant t=0 que l'on considère comme une nouvelle origine des temps, le skieur quitte la partie BC au point C avec une vitesse v_C dont le vecteur v_C forme l'angle α=20^∘ avec le plan horizontal. Lors du saut, les équations horaires du mouvement de (S) dans le repère (D,i,j) sont x(t)=v_Ccosα t − 15 et y(t)=−g2t² + v_Csinα t.

Partie II — Étude énergétique d'un pendule pesant

L'objectif de cette partie est la détermination de la position du centre d'inertie G d'un système oscillant et de son moment d'inertie J_Δ, à l'aide d'une étude énergétique et dynamique. Un pendule pesant de centre d'inertie G est constitué d'une barre AB de masse m₁=100 g et d'un corps (C) de masse m₂=300 g fixé à l'extrémité B de la barre. Le pendule pesant peut tourner autour d'un axe fixe horizontal (Δ) passant par l'extrémité A (figure 2). Le moment d'inertie du pendule par rapport à l'axe (Δ) est J_Δ, et AG=d est la distance entre le centre d'inertie et l'axe de rotation. La figure 2 montre la barre suspendue en A à l'axe (Δ) et écartée de la verticale en pointillé d'un angle θ ; le centre d'inertie G est marqué sur la barre, le corps (C) est accroché à son extrémité basse B, et la position G₀ de G à l'équilibre stable est repérée sur la verticale. On écarte le pendule de sa position d'équilibre stable d'un angle θ_m petit et on le libère sans vitesse initiale à un instant considéré comme origine des temps (t=0 s) ; le pendule effectue alors un mouvement oscillatoire autour de sa position d'équilibre. On considère que tous les frottements sont négligeables, et on choisit le plan horizontal passant par le point G₀, position de G à l'équilibre stable, comme état de référence de l'énergie potentielle de pesanteur (E_pp=0). On repère à chaque instant la position du pendule pesant par son abscisse angulaire θ formée par la barre et la ligne verticale passant par le point A, et on note dθdt la vitesse angulaire. La figure 3 représente la courbe de l'évolution de l'énergie cinétique E_c du pendule pesant en fonction du CARRÉ de l'abscisse angulaire θ². On prend cosθ≃1 − θ²2 et sinθ≃θ avec θ en radian ; l'intensité de la pesanteur est g=9,8 m·s⁻². La valeur de la fréquence propre est N₀=1 Hz.