National 2013 · SM · session rattrapage

Les deux parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie I — Cinétique de la dissociation du pentaoxyde de diazote

Les oxydes (NO₂, N₂O₃, NO, CNO₂…) sont considérés parmi les polluants principaux de l'atmosphère, à cause de leur participation dans la formation des pluies acides, nocives pour l'environnement d'une part, et de l'augmentation de l'effet de serre d'autre part. L'objectif de cet exercice est d'étudier la cinétique de la dissociation du pentaoxyde de diazote N₂O₅ en NO₂ et O₂. Données : on considère que tous les gaz sont parfaits ; la constante des gaz parfaits R=8,31 (SI) ; l'équation d'état des gaz parfaits p V=n R T. On met du pentaoxyde de diazote dans une enceinte initialement vide, de volume constant V=0,50 L, munie d'un baromètre pour mesurer la pression totale p à l'intérieur de l'enceinte, à une température constante T=318 K. On mesure au début de la dissociation (t=0) la pression totale à l'intérieur de l'enceinte ; on trouve alors p₀=4,638×10⁴ Pa. Le pentaoxyde de diazote se dissocie selon une réaction lente et totale modélisée par l'équation 2 N₂O_5(g)→4 NO_2(g) + O_2(g). On mesure la pression p à différents instants et on représente la variation de la grandeur pp₀ en fonction du temps ; on obtient le graphe de la figure 1. La droite (Δ) représente la tangente à la courbe pp₀=f(t) à l'instant t=0. La figure 1 porte pp₀ en ordonnée, graduée de 0,5 en 0,5 jusqu'à 2,5, et le temps en secondes en abscisse, gradué de 10 en 10 jusqu'à 100. La courbe part de pp₀=1 à t=0 et croît de moins en moins vite vers un palier. La tangente (Δ) à l'origine part du point (0 ; 1) et sort par le haut du cadre.

Partie II — Dosage d'une solution d'acide benzoïque

L'acide benzoïque est un composé organique de formule brute C₆H₅COOH. Il est utilisé dans la fabrication de plusieurs colorants organiques, et aussi comme matière conservatrice dans l'industrie des produits agroalimentaires. L'objectif de cet exercice est le dosage d'une solution d'acide benzoïque et la détermination de la valeur du pK_A du couple C₆H₅COOH/C₆H₅COO⁻. Données : toutes les mesures sont effectuées à 25 ^∘C ; les conductivités molaires ioniques, en mS·m²·mol⁻¹, sont λ₁=λ_Na⁺=5,0, λ₂=λ_C6H5COO⁻=3,2 et λ₃=λ_CH3COO⁻=4,1 ; on néglige la conductivité molaire ionique des ions H₃O⁺ et HO⁻ ; on rappelle que la conductivité σ d'une solution aqueuse ionique est σ=∑ λ_i [X_i]. 1 — Dosage d'une solution d'acide benzoïque. On dose une solution (S) d'acide benzoïque de volume V=15,2 mL et de concentration c avec une solution d'hydroxyde de sodium de concentration c_b=2,0×10⁻¹ mol·L⁻¹. On obtient au cours de ce dosage l'évolution du pH de la solution en fonction du volume V_b de la solution d'hydroxyde de sodium ajouté (figure 2). La figure 2 porte le pH en ordonnée, gradué de 1 à 13 de 1 en 1, et V_b en mL en abscisse, gradué de 2 en 2 jusqu'à 22. La courbe part de pH≈2,6 à V_b=0, monte jusqu'à un domaine peu incliné autour de pH=4,5 entre V_b=4 et V_b=10 mL, présente un SAUT VERTICAL à V_b=12 mL qui la porte de pH≈5,8 à pH≈11,5, puis rejoint un palier voisin de pH=12,4. Deux DROITES PARALLÈLES sont tracées de part et d'autre du saut : ce sont les deux tangentes de la méthode des tangentes parallèles, aucune graduation supplémentaire n'étant portée. Le sujet donne un tableau de deux indicateurs colorés avec leur zone de virage : hélianthine, 3,2 – 4,4 ; phénolphtaléine, 8,2 – 10,0. 2 — Détermination de la constante d'acidité pK_A du couple C₆H₅COOH/C₆H₅COO⁻. À l'aide des mesures du pH de solutions aqueuses d'acide benzoïque de concentrations différentes, on détermine le taux d'avancement final τ de chaque solution. La courbe de la figure 3 représente la fonction τ²1−τ en fonction de 1c : c'est une DROITE passant par l'origine. Son ordonnée porte les graduations 3,15×10⁻³, 6,30×10⁻³, 9,45×10⁻³ et 1,26×10⁻², et son abscisse, en mol⁻¹·L, les graduations 50 · 100 · 150 · 200 · 250 ; la droite passe par le point d'abscisse 150 et d'ordonnée 9,45×10⁻³. 3 — Réaction de l'acide benzoïque avec l'ion éthanoate. Dans un flacon contenant de l'eau, on introduit n₀=3×10⁻³ mol d'acide benzoïque et n₀=3×10⁻³ mol d'éthanoate de sodium CH₃COONa ; on obtient une solution aqueuse de volume V=100 mL. On modélise la transformation chimique qui s'effectue par l'équation C₆H₅COOH_(aq) + CH₃COO⁻_(aq)⇌C₆H₅COO⁻_(aq) + CH₃COOH_(aq). La mesure de la conductivité du milieu réactionnel à l'équilibre donne la valeur σ=255 mS·m⁻¹.

Un réacteur nucléaire fonctionne avec l'uranium enrichi, qui est constitué de p=3% de ²³⁵U fissible et de p′=97% de ²³⁸U non fissible. La production de l'énergie au sein de cette centrale nucléaire est basée sur la fission de l'uranium ²³⁵U bombardé par des neutrons. Données : m(¹⁴⁰Xe)=139,8920 u ; m(⁹⁴Sr)=93,8945 u ; m(²³⁵U)=234,9935 u ; m(¹₀n)=1,0087 u ; 1 MeV =1,6×10⁻¹³ J ; 1 u =1,66×10⁻²⁷ kg =931,5 MeV·c⁻². Le noyau ²³⁵U subit une fission selon l'équation ¹₀n + ²³⁵₉₂U→⁹⁴_zSr + ¹⁴⁰₅₄Xe + x ¹₀n. Pour produire une quantité d'énergie électrique W=3,73×10¹⁶ J, un réacteur nucléaire de rendement r=25% consomme une masse m de l'uranium enrichi. Dans ce réacteur nucléaire se trouve aussi une faible quantité du nucléide ²³⁴U, qui est radioactif α. La mesure de l'activité radioactive, à l'instant t=0, d'un échantillon de l'uranium ²³⁴₉₂U a donné la valeur a₀=5,4×10⁸ Bq.

Les deux parties sont indépendantes.

Partie I — Étude des dipôles RL et RLC

La bobine est utilisée dans plusieurs circuits électriques et électroniques pour contrôler le retard temporel lors de l'établissement ou de la rupture du courant dans ces circuits. L'objectif de cet exercice est l'étude de la réponse d'un dipôle RL à un échelon de tension ascendant, et l'évolution de la charge électrique lors de la décharge d'un condensateur dans une bobine. 1 — Étude du dipôle RL. On réalise le montage de la figure 1, constitué d'un générateur de force électromotrice E=6 V et de résistance négligeable, d'une bobine de coefficient d'inductance L=1,5 mH et de résistance négligeable, d'un conducteur ohmique de résistance R réglable et d'un interrupteur K. La figure 1 montre le générateur E à gauche, l'interrupteur K en haut, la bobine L à droite et le conducteur ohmique variable R en série sous elle, le montage étant relié à la masse. On règle la résistance R sur une valeur R₁ et on ferme l'interrupteur K à un instant t=0 que l'on considère comme origine du temps. 2 — Étude du dipôle RLC. On réalise le montage de la figure 2 : le générateur E à gauche, l'interrupteur K en haut à deux positions, le condensateur C au milieu — de charge q —, et à droite la bobine L en série avec le conducteur ohmique R. On bascule l'interrupteur K à la position 1 ; après la charge du condensateur, on bascule l'interrupteur à l'instant t=0 à la position 2. On visualise l'évolution de la charge du condensateur au cours du temps ; on obtient la courbe de la figure 3. La figure 3 porte q en µC en ordonnée, graduée de −6 à 6 de 2 en 2, et le temps en ms en abscisse, gradué de 0,1 en 0,1 jusqu'à 1. C'est une oscillation sinusoïdale FAIBLEMENT amortie qui part de son maximum q(0)≈5,8 µC à t=0 : les maximums successifs décroissent lentement — environ 5,3 ; 4,8 ; 4,3 ; 3,9 µC — et la pseudo-période vaut T=0,2 ms, quatre pseudo-périodes occupant 0,8 ms.

Partie II — Transmission des signaux sonores par modulation d'amplitude

Les ondes sonores audibles ont une faible fréquence ; leur transmission à de longues distances nécessite qu'elles soient modulantes d'une onde électromagnétique de haute fréquence. Cet exercice vise à étudier la modulation et la démodulation. 1 — Modulation. On considère le montage de la figure 4 : le générateur (GBF)₁ applique à l'entrée E₁ de la composante électronique X une tension sinusoïdale u₁(t)=P_mcos(2πtT_p) ; le générateur (GBF)₂ applique à l'entrée E₂ une tension sinusoïdale u₂(t)=U₀ + S(t), avec U₀ la composante continue et S(t)=S_mcos(2πtT_s) la tension correspondant à l'onde qu'on désire transmettre. La figure 4 montre le multiplieur, un rectangle marqué d'une croix, avec ses deux entrées E₁ et E₂ à gauche — u₁(t) et u₂(t) — et sa sortie S à droite, reliée à une antenne, où l'on relève u_S(t) ; le tout est référencé à la masse M. On visualise sur l'écran d'un oscilloscope la tension de sortie u_S(t)=k u₁(t) u₂(t), avec k constante positive caractérisant la composante X (figure 5). La figure 5 porte u_S en volts en ordonnée, graduée de −0,3 à 0,3 de 0,1 en 0,1, et le temps en abscisse, l'unité de graduation valant 5,4×10⁻³ s. C'est une porteuse de haute fréquence dont l'AMPLITUDE bat lentement : son ENVELOPPE est sinusoïdale, oscillant entre U_S,max=0,25 V et U_S,min=0,05 V, et l'on distingue trois ventres sur la largeur de la planche. 2 — Démodulation. La figure 6 représente le montage utilisé dans un dispositif de réception, constitué de trois parties séparées par des traits pointillés : la partie (1), l'antenne suivie du circuit d'accord — une bobine L en parallèle avec un condensateur C ; la partie (2), une diode suivie d'un conducteur ohmique R en parallèle avec un condensateur C ; la partie (3), un condensateur C₀ en série suivi d'un conducteur ohmique R₀ en parallèle, la sortie S étant prise à sa borne haute. Le tout est référencé à la masse M. Donnée : L=1,5 mH.

Les deux parties sont indépendantes.

Partie I — Étude d'un oscillateur harmonique solide-ressort vertical

L'oscillateur harmonique est un oscillateur idéal ; son évolution au cours du temps est décrite par une fonction sinusoïdale de fréquence ne dépendant que des caractéristiques du système mécanique. L'importance de ce modèle réside dans sa capacité de décrire l'évolution de tout système physique oscillant autour de sa position d'équilibre stable. 1 — Étude dynamique. On considère un ressort à spires non jointives, de constante de raideur K et de masse négligeable, suspendu à un support fixe. On suspend à l'extrémité libre du ressort un corps solide (S) de masse m. On représente l'allongement du ressort à l'équilibre de (S) par Δℓ₀, et on repère la position du centre d'inertie par un axe Oy orienté vers le haut, dont l'origine coïncide avec la position du centre d'inertie de (S) à l'équilibre. On écarte (S) verticalement de sa position d'équilibre vers le bas d'une distance d=2 cm et on le libère sans vitesse initiale à l'instant t=0, choisi comme origine du temps. Données : Δℓ₀=10,0 cm ; intensité de pesanteur g=9,81 N·kg⁻¹. 2 — Étude énergétique. On repère la position du centre du solide (S) à l'aide de deux repères. Repère 1 : l'origine O′ de l'axe coïncide avec l'extrémité libre du ressort À VIDE, et l'axe O′z est vertical et orienté vers le haut ; on prend comme état de référence pour l'énergie potentielle de pesanteur E_pp=0 au point O′. Repère 2 : l'origine O de l'axe coïncide avec la position du centre d'inertie du solide (S) À L'ÉQUILIBRE, et l'axe Oy est vertical et orienté vers le haut ; on prend E_pp=0 au point O. Pour les deux repères, on prend comme état de référence de l'énergie potentielle élastique E_pe=0 quand le ressort est à vide. La figure du sujet montre côte à côte les deux repères : à droite, le ressort À VIDE suspendu au support, avec l'origine O′ et le vecteur j à son extrémité basse et l'axe z orienté vers le haut ; à gauche, le même ressort ALLONGÉ par le solide (S) accroché à son extrémité, avec l'origine O à la position d'équilibre du centre d'inertie, le vecteur j et l'axe y orienté vers le haut. On écarte ensuite verticalement (S) de sa position d'équilibre vers le bas d'une distance d=2 cm et on le lance vers le haut avec une vitesse initiale v₀ ; le solide (S) effectue alors des oscillations verticales autour de sa position d'équilibre, d'amplitude D=7 cm. On sait que l'énergie mécanique de l'oscillateur se conserve.

Partie II — Échange énergétique matière-rayonnement

Le savant Planck a supposé que les échanges énergétiques entre la matière et un rayonnement monochromatique de fréquence ν ne peuvent se faire qu'en quantité déterminée. En 1905, Einstein a introduit la notion de photon en tant que particule de masse nulle et d'énergie E=hν. L'énergie de l'atome d'hydrogène est exprimée par la relation E_n=−13,6n² (eV), avec n le nombre principal indiquant la couche où se trouve l'électron. Données : constante de Planck h=6,63×10⁻³⁴ J·s ; célérité de la lumière dans le vide c=3,00×10⁸ m·s⁻¹ ; 1 eV =1,602×10⁻¹⁹ J. Le diagramme du sujet donne les transitions possibles de l'électron de l'atome d'hydrogène : c'est un diagramme de niveaux d'énergie, empilés du bas vers le haut, portant à gauche l'énergie en eV et à droite le nombre n — −13,6 eV pour n=1 ; −3,39 eV pour n=2 ; −1,51 eV pour n=3 ; −0,85 eV pour n=4 ; −0,54 eV pour n=5 ; −0,37 eV pour n=6 ; −0,28 eV pour n=7. Des flèches descendantes y figurent les trois séries d'émission : celles qui aboutissent au niveau n=1 forment la série de Lyman, celles qui aboutissent à n=2 la série de Balmer (imprimée « Palmer » sur la planche), celles qui aboutissent à n=3 la série de Paschen (imprimée « Pachen »). On expose les atomes d'hydrogène dans leur état fondamental à des photons d'énergies successives 1,51 eV et 12,09 eV.