National 2013 · SM · session normale

Les deux parties sont indépendantes.

Partie I-1 — Suivi temporel d'une transformation chimique

De la transformation chimique non totale à la transformation totale. Les transformations chimiques peuvent être totales ou non totales. Les chimistes utilisent plusieurs méthodes pour suivre quantitativement les transformations chimiques au cours du temps et les contrôler, pour augmenter leur rendement ou diminuer leur vitesse pour limiter leurs effets. Parfois le chimiste change l'un des réactifs pour obtenir le même produit avec plus d'efficacité. Données, sous forme de tableau — pour chaque composé organique, sa masse molaire en g·mol⁻¹ puis sa masse volumique en g·mL⁻¹ : l'acide (A), M(A)=88,0 et ρ(A)=0,956 ; l'alcool (B), M(B)=88,0 et ρ(B)=0,810 ; l'anhydride butanoïque (AN), M(AN)=158,0 et ρ(AN)=0,966. On mélange dans un erlenmeyer un volume V_A=11 mL de l'acide (A), de formule semi-développée CH₃−CH₂−CH₂−COOH, et 0,12 mol de l'alcool (B), de formule semi-développée CH₃−CH(CH₃)−CH₂−CH₂−OH. On ajoute au mélange quelques gouttes d'acide sulfurique concentré et quelques pierres ponces. Après chauffage, il se forme un composé (E) de masse molaire M(E)=158 g·mol⁻¹. Le graphe x=f(t) donne l'évolution de l'avancement x de la réaction en fonction du temps t (figure 1). La droite (Δ) représente la tangente à la courbe x=f(t) à l'instant t=0. La figure 1 porte x en mol en ordonnée, graduée de 0,01 en 0,01 jusqu'à 0,08, et le temps en minutes en abscisse, gradué de 10 en 10 jusqu'à 100. La courbe part de l'origine, monte vite puis s'infléchit, et tend vers un palier horizontal à x=0,08 mol, atteint vers t=90 min ; elle passe par x=0,04 mol à t=15 min. La tangente (Δ) à l'origine est une droite très raide qui coupe le palier x=0,08 mol à t=25 min.

Partie I-3 — Contrôle de l'évolution du système

On peut améliorer également le rendement de la réaction précédente en remplaçant l'acide (A) par l'anhydride butanoïque (AN). On mélange un volume V_B=13 mL de l'alcool (B) et un volume V_AN=14 mL de l'anhydride butanoïque ; on obtient une masse m(E) du composé (E).

Partie II-1 — La transformation spontanée

Des transformations spontanées aux transformations forcées. Au cours des transformations spontanées, le système chimique évolue vers l'état d'équilibre en produisant de l'énergie électrique, alors qu'au cours des transformations forcées le système chimique s'éloigne de l'état d'équilibre en consommant de l'énergie qu'il reçoit du milieu extérieur. Donnée : constante de Faraday F=96 500 C·mol⁻¹. Ahmed et Myriam ont réalisé la pile électrique de schéma conventionnel ⊖ Zn_(s) / Zn²⁺ // Cu²⁺ / Cu_(s)⊕ et l'ont montée dans le circuit représenté sur la figure 2, qui comprend un panneau solaire, deux ampèremètres et un interrupteur K. Le bécher 1 contient 150 mL d'une solution de sulfate de cuivre (Cu²⁺ + SO₄²⁻) de concentration en ions Cu²⁺ : [Cu²⁺]_i=1,0×10⁻² mol·L⁻¹. Le bécher 2 contient 150 mL d'une solution de sulfate de zinc (Zn²⁺ + SO₄²⁻) de concentration en ions Zn²⁺ : [Zn²⁺]_i=1,0×10⁻² mol·L⁻¹. La figure 2 montre les deux béchers reliés par un pont salin — à gauche le bécher 2, où plonge la plaque de zinc, à droite le bécher 1, où plonge la plaque de cuivre. Les deux plaques remontent vers un interrupteur K à deux positions : en position 1, la branche du haut, qui porte un ampèremètre A dont la borne COM est du côté du zinc et la borne + du côté du cuivre ; en position 2, la branche du milieu, qui porte le panneau solaire, figuré par une source barrée de deux flèches obliques. Un second ampèremètre A est monté du côté de la plaque de cuivre. À l'instant t=0, Myriam a basculé l'interrupteur K dans la position 1 ; l'ampèremètre indique alors le passage d'un courant d'intensité constante.

Partie II-2 — La transformation forcée

Lorsque la concentration des ions Cu²⁺ est devenue [Cu²⁺]=2,5×10⁻³ mol·L⁻¹, Ahmed a basculé à l'instant t=0 l'interrupteur K dans la position 2 pour recharger la pile ; il constate que le panneau solaire fait passer dans le circuit un courant électrique continu d'intensité constante I=15,0 mA.

De la dispersion de la lumière à la diffraction. La fréquence d'une radiation lumineuse ne dépend pas du milieu de propagation ; elle dépend uniquement de la fréquence de la source. La vitesse de propagation d'une onde lumineuse dans un milieu transparent est toujours plus petite que la vitesse de sa propagation dans le vide, et sa valeur dépend du milieu de propagation. On constate aussi que l'onde lumineuse se diffracte lorsqu'elle traverse une fente de largeur relativement faible. L'objectif de cet exercice est d'étudier le phénomène de dispersion et celui de la diffraction. Données : la vitesse de propagation d'une onde lumineuse dans l'air est approximativement égale à sa vitesse de propagation dans le vide, c=3,00×10⁸ m·s⁻¹. Le sujet donne en outre un tableau à deux colonnes, pour la radiation rouge (R) et la radiation violette (V) : longueur d'onde dans l'air, 0,768 µm pour le rouge et 0,434 µm pour le violet ; indice de réfraction du verre, 1,51 pour le rouge et 1,52 pour le violet.

Partie 1 — Dispersion de la lumière

Un faisceau parallèle de lumière blanche arrive au point I de la surface d'un demi-disque en verre ; on observe sur l'écran (figure 1) les sept couleurs du spectre, allant du rouge (R) au violet (V). La figure 1 montre le rayon incident descendant de la gauche vers le point I, situé sur la face plane HORIZONTALE et supérieure du demi-disque de verre, la normale au point I étant la verticale en pointillé ; l'angle d'incidence i y est marqué. Le milieu au-dessus est l'air, le demi-disque de verre est en dessous, sa face bombée tournée vers le bas. Le faisceau réfracté part de I vers le bas et vers la droite, étalé en éventail, et vient frapper l'écran incliné en bas à droite, où le rouge R est le plus proche de la normale et le violet V le plus écarté. L'indice de réfraction n d'un milieu transparent pour une radiation monochromatique de longueur d'onde λ₀ dans l'air est modélisé par la relation n=A + Bλ₀², où A et B sont des constantes qui dépendent du milieu.

Partie 2 — Diffraction de la lumière

On réalise l'expérience de la diffraction d'une lumière monochromatique de longueur d'onde λ dans l'air, émise par un dispositif laser, en utilisant une fente de largeur a, comme l'indique la figure 2. On mesure la largeur d de la tache centrale pour différentes valeurs de la largeur a de la fente et on représente graphiquement d=f(1a) ; on obtient alors la courbe de la figure 3. La figure 2 montre le laser à gauche, la fente verticale de largeur a à quelques centimètres, le faisceau diffracté s'ouvrant en éventail d'un demi-angle θ, et l'écran à la distance D=1,5 m, sur lequel la tache centrale a la largeur d. La figure 3 porte d en 10⁻³ m en ordonnée, graduée 2 · 4 · 6, et 1a en 10³ m⁻¹ en abscisse, graduée 0 · 1 · 2 · 3 · 4. Le tracé est une DROITE passant par l'origine et par le point d'abscisse 3,0×10³ m⁻¹ et d'ordonnée 6,0×10⁻³ m.

De l'énergie solaire à l'énergie électrique. On peut transformer l'énergie solaire en énergie électrique, la stocker dans des batteries d'accumulateurs ou dans des condensateurs, et l'utiliser au besoin. L'objectif de cet exercice est l'étude de la charge d'un condensateur au moyen d'un panneau solaire, puis au moyen d'un échelon de tension ascendant. Pour comparer l'évolution de la tension aux bornes du condensateur au cours de sa charge à l'aide d'un panneau solaire et à l'aide d'un échelon de tension ascendant, Ahmed et Myriam ont réalisé les deux expériences suivantes.

Partie 1 — Charge d'un condensateur par un panneau solaire

Le panneau solaire se comporte, lorsqu'il est exposé au soleil, comme un générateur donnant un courant d'intensité constante i=I₀, tant que la tension entre ses bornes est inférieure à une tension maximale u_max=2,25 V. Myriam a réalisé le montage représenté sur la figure 1, comportant un panneau solaire, un condensateur de capacité C=0,10 F, un conducteur ohmique de résistance R=10 Ω et un interrupteur K à TROIS positions : la figure 1 montre le condensateur C, aux bornes duquel on relève u_C et où entre le courant i ; à gauche, en série, le conducteur ohmique R et le panneau solaire ; et l'interrupteur K dont la position 1 referme le condensateur sur R, la position 2 laisse le circuit OUVERT, et la position 3 relie le condensateur au panneau solaire. À l'aide d'un dispositif d'acquisition, Myriam a visualisé la tension u_C aux bornes du condensateur en basculant l'interrupteur trois fois successives ; elle obtient le graphe de la figure 2, qui comprend trois parties (a), (b) et (c) selon la position de l'interrupteur. La figure 2 porte u_C en volts en ordonnée, graduée de 0,5 en 0,5 jusqu'à 2,5, le niveau U_max étant marqué en pointillé un peu au-dessous de 2,5, et le temps en secondes en abscisse, gradué de 1 à 7. La partie (a) est un segment de DROITE partant de l'origine et montant régulièrement jusqu'à u_C=2,25 V, atteints à t=1,5 s. La partie (b) est un PALIER horizontal à 2,25 V, de t=1,5 s à t=3 s. La partie (c) part de 2,25 V à t=3 s et décroît en exponentielle vers zéro, pratiquement atteint à t=7 s. L'expression de la tension u_C au cours de la décharge s'exprime par la fonction u_C=U_max e^−(t−3τ), avec τ la constante de temps du circuit utilisé.

Partie 2 — Charge par un échelon de tension ascendant

Charge d'un condensateur au moyen d'un échelon de tension ascendant. Ahmed a réalisé le montage de la figure 3. Pour charger le condensateur précédent de capacité C, il a utilisé un générateur donnant une tension constante U₀=2,25 V. À l'instant t=0 il ferme le circuit ; le condensateur se charge alors à travers la résistance R₀=50 Ω. La figure 3 montre le générateur U₀ à gauche, l'interrupteur K en haut, le condensateur C au milieu — aux bornes duquel on relève u_C et où entre le courant i — et le conducteur ohmique R₀ en bas, le montage étant relié à la masse. À l'aide d'un dispositif d'acquisition, il visualise l'évolution de la tension u_C aux bornes du condensateur ; il obtient la courbe de la figure 4. Celle-ci porte u_C en volts en ordonnée, graduée de 0,5 en 0,5 jusqu'à 3,0, et le temps en secondes en abscisse, gradué de 4 en 4 jusqu'à 24. La courbe part de u_C=0 à t=0 et croît en s'incurvant vers une asymptote horizontale, marquée en pointillé, au niveau u_C=2,25 V.

Partie 3 — Oscillations dans un circuit RLC

Ahmed a ajouté au montage de la figure 3 un conducteur ohmique de résistance R réglable et une bobine d'inductance L et de résistance négligeable ; il obtient le montage de la figure 5, où l'interrupteur K met le condensateur soit en position 1 sur le générateur U₀ et R₀, soit en position 2 sur la bobine L et le conducteur ohmique variable R en série. À la fin de la charge du condensateur, Ahmed règle la résistance R sur la valeur R₁=0. À l'instant t=0, il bascule l'interrupteur K à la position 2 ; il obtient alors la courbe de la figure 6. Celle-ci porte u_C en volts en ordonnée, graduée de −3 à 3 de 1 en 1, et le temps en secondes en abscisse, gradué 1 · 2 · 3. C'est une sinusoïde NON amortie, d'amplitude 2,25 V, qui part de son maximum à t=0 et accomplit trois périodes entre t=0 et t=3 s : sa période propre vaut donc T₀=1,0 s. Ahmed règle ensuite la résistance R sur la valeur R₂≠0 ; il obtient un régime pseudopériodique.

Les deux parties sont indépendantes.

Partie I-1 — Mouvement de la bille dans l'air

De l'étude de la chute libre à la chute avec frottement. Newton a supposé que tous les corps ont le même mouvement de chute, quelle que soit leur masse. Pour vérifier cette hypothèse, Newton a réalisé l'expérience de chute dans un tube vide en utilisant des corps de masses et de formes différentes, et en a déduit que ce sont les forces de frottement fluides qui sont responsables de la différence des vitesses de chute des corps vers la Terre. Ahmed et Myriam ont décidé de vérifier expérimentalement la déduction de Newton ; pour cela ils ont utilisé deux billes en verre (a) et (b) ayant le même volume V et la même masse m. Ils abandonnent les deux billes au même instant t=0 et sans vitesse initiale d'une même hauteur h du sol (figure 1) : Ahmed a lâché la bille (a) dans l'air ; Myriam a lâché la bille (b) dans un tube transparent contenant de l'eau, de hauteur h. La figure 1 montre les deux billes lâchées côte à côte depuis le même niveau horizontal en pointillé, à l'origine O : la bille (a) à gauche, dans l'air ; la bille (b) à droite, en haut d'un tube vertical grisé rempli d'eau. La hauteur h est cotée depuis ce niveau jusqu'au sol, tracé en trait plein en bas, et l'axe vertical (O,j) est orienté vers le BAS, l'axe étant noté y. À l'aide d'un dispositif convenable, Ahmed et Myriam ont obtenu les résultats suivants : la bille (a) atteint le sol à l'instant t_a=0,41 s ; la bille (b) atteint le sol à l'instant t_b=1,1 s. Données : accélération de la pesanteur g=9,80 m·s⁻² ; m=6,0×10⁻³ kg ; V=2,57×10⁻⁶ m³ ; masse volumique de l'eau ρ=1000 kg·m⁻³. On suppose que la bille (a) n'est soumise au cours de sa chute dans l'air qu'à son poids. La bille (b) est soumise au cours de sa chute dans l'eau à son poids d'intensité P=m g, à la poussée d'Archimède d'intensité F_A=ρ g V, et à la force de frottement fluide d'intensité f=K v², avec K une constante positive et v la vitesse du centre d'inertie de la bille. Myriam a enregistré l'évolution de la vitesse de la bille (b) au cours du temps ; elle a obtenu le graphe de la figure 2. Celui-ci porte v en m·s⁻¹ en ordonnée, graduée 0,2 · 0,4 · 0,6 · 0,85 · 1, et le temps en secondes en abscisse, gradué de 0,2 en 0,2 jusqu'à 1,2. La courbe part de l'origine, croît vite puis s'infléchit, et rejoint dès t≈0,5 s une asymptote horizontale marquée en pointillé au niveau de la vitesse limite v_ℓ=0,85 m·s⁻¹. 3 — Ahmed et Myriam ont répété leur expérience dans les conditions précédentes, mais cette fois la hauteur d'eau dans le tube est H=2h ; ils ont libéré les deux billes (a) et (b) sans vitesse initiale au même instant t=0 et de la même hauteur H=2h.

Partie II — De l'orbite circulaire basse à l'orbite circulaire haute

Johannes Kepler a posé les trois lois qui permettent de décrire le mouvement des planètes et celui des satellites naturels. Le mouvement des satellites artificiels autour de la Terre, hors de l'atmosphère, est régi par les lois de Kepler. Le transfert d'un satellite artificiel terrestre (S) sur une orbite circulaire basse de rayon r₁ vers une orbite circulaire haute de rayon r₂ se fait en passant par une orbite elliptique tangente aux deux orbites circulaires, comme l'indique la figure 3. Le centre O de la Terre constitue l'un des foyers de la trajectoire elliptique. La figure 3 montre, en pointillé, trois trajectoires concentriques au voisinage de la Terre : un petit cercle de rayon r₁ centré sur la Terre, un grand cercle de rayon r₂, et entre eux une ELLIPSE tangente au petit cercle en son périgée P, à droite, et au grand cercle en son apogée A, à gauche. Le point E est marqué sur le PETIT AXE de l'ellipse, en haut, et le vecteur unitaire u part du centre O de la Terre vers E. Données : r₁=6700 km ; r₂=42 200 km ; constante de gravitation universelle G=6,67×10⁻¹¹ (SI) ; masse de la Terre M_T=6,0×10²⁴ kg. On rappelle la propriété de l'ellipse de foyers O et O′ et de demi-grand axe a : OM + O′M=2a, avec M un point appartenant à l'ellipse. On suppose que le satellite artificiel (S) est ponctuel et n'est soumis qu'à l'attraction de la Terre, et que la Terre effectue un tour complet autour de son axe de rotation en 24 h. On étudie le mouvement de (S) dans le repère géocentrique.