National 2012 · SM · session rattrapage

Les deux parties sont indépendantes.

Partie I-1 — Dosage de l'acide produit par l'hydrolyse

Étude de l'hydrolyse d'un ester. Les fruits contiennent des espèces chimiques organiques ayant un arôme caractéristique des esters. On peut préparer un ester de formule brute C_nH_2nO₂ à partir d'un acide carboxylique C_xH_2xO₂ et d'un alcool C_yH_(2y+2)O ; dans des conditions précises on peut regénérer ces deux composés par l'hydrolyse de l'ester. L'objectif de cette partie est la détermination de la formule semi-développée d'un ester E à partir de l'étude de l'hydrolyse de l'ester. Données : produit ionique de l'eau à 25 ^∘C : K_e=1,0×10⁻¹⁴ ; masse molaire de l'eau M(H₂O)=18 g·mol⁻¹ ; densité de l'ester E par rapport à l'eau d=0,9 ; masse volumique de l'eau ρ_e=1 g·mL⁻¹ ; masses molaires atomiques M(H)=1 g·mol⁻¹, M(C)=12 g·mol⁻¹, M(O)=16 g·mol⁻¹. Pour étudier l'hydrolyse d'un ester E à l'état liquide, de formule brute C₄H₈O₂, on réalise l'expérience suivante : on répartit à égalité la quantité de matière n₁=0,05 mol de l'ester E dans dix tubes à essai et on ajoute dans chaque tube une quantité d'eau froide et une goutte d'acide sulfurique concentré, de telle façon que chaque tube à essai contienne V₁=5 mL du mélange ; on met dans un bécher n₂=n₁=0,05 mol de l'ester E et une quantité d'eau froide et quelques gouttes d'acide sulfurique concentré pour avoir dans le bécher le volume V₂=50 mL du mélange ; à l'instant t=0, on place les tubes à essai et le bécher dans un bain-marie maintenu à une température constante θ=80 ^∘C. On modélise la transformation de l'hydrolyse de l'ester E par une réaction chimique d'équation C₄H₈O₂ + H₂O⇌C_xH_2xO₂ + C_yH_2y+2O. On fait sortir un des tubes à essai à une date t et on le met dans de l'eau glacée, puis on dose l'acide formé dans le tube à l'aide d'une solution S d'hydroxyde de sodium de concentration molaire C_B=5,0×10⁻¹ mol·L⁻¹, en présence d'un indicateur coloré convenable. La constante d'équilibre associée à l'équation de la réaction du dosage de l'acide produit par l'hydrolyse de l'ester E vaut K=1,6×10⁹ à 25 ^∘C. Le sujet donne un tableau de trois indicateurs colorés avec leur zone de virage : hélianthine, 3,1 – 4,4 ; rouge de méthyle, 4,4 – 6,2 ; phénolphtaléine, 8,2 – 10.

Partie I-2 — Constante d'équilibre et rendement de l'hydrolyse

Les résultats obtenus à l'aide du dosage permettent de tracer la courbe traduisant la variation de la quantité de matière n_E de l'ester restant dans un tube à essai en fonction du temps. La droite (T) représente la tangente à la courbe à l'instant t=50 min. Cette courbe porte n_E en mmol en ordonnée, graduée 0 · 0,7 · 2,1 · 3,5 — le pas du quadrillage vaut donc 0,7 mmol —, et le temps en minutes en abscisse, gradué 50 · 150 · 250. Elle part de n_E=5 mmol à t=0, décroît vite puis s'infléchit, et rejoint une asymptote horizontale voisine de 0,5 mmol au-delà de t=250 min. La tangente (T) au point d'abscisse t=50 min est tracée et coupe l'axe des temps vers t=110 min. 3 et 4 — À la fin de la réaction de l'hydrolyse de l'ester E, et après avoir refroidi le mélange obtenu dans le bécher, on extrait l'alcool formé, dont la masse est m=2,139 g.

Partie II — Nickelage d'une lame de fer par électrolyse

On fait déposer une couche métallique sur des métaux tels que le fer, le cuivre, l'acier, pour les protéger contre les corrosions, les rendre plus résistants ou améliorer leur aspect. L'objectif de cette partie consiste à étudier le recouvrement d'une lame de fer par une couche de nickel à l'aide de l'électrolyse. Données : masse volumique du nickel μ=8,9×10³ kg·m⁻³ ; masses molaires M(Ni)=58,7 g·mol⁻¹, M(O)=16 g·mol⁻¹, M(S)=32 g·mol⁻¹ ; le faraday 1F=96 500 C·mol⁻¹. On réalise une électrolyse pour recouvrir une lame rectangulaire mince de fer, d'épaisseur négligeable, de longueur L=10 cm et de largeur ℓ=5 cm, par une couche de nickel d'épaisseur e sur chacune des deux faces de la lame. Pour cela, on immerge totalement la lame de fer et une tige en platine dans un récipient contenant une solution de sulfate de nickel II (Ni²⁺ + SO₄²⁻) de concentration massique C_m=11 g·L⁻¹ et de volume V=1,0 L. On relie le pôle négatif d'un générateur à la lame de fer et son pôle positif à la tige de platine ; un courant électrique d'intensité constante I=8,0 A passe alors dans le circuit. Cette électrolyse dure 25 min.

Détermination de la vitesse d'écoulement d'un liquide. Les ondes ultrasonores sont des ondes mécaniques qui peuvent se propager dans les liquides avec une vitesse qui dépend de la nature du liquide et de la vitesse de son écoulement. L'objectif de cet exercice est de déterminer la vitesse d'écoulement de l'eau dans une conduite.

Partie 1 — Propagation d'une onde ultrasonore

Une onde ultrasonore de fréquence N=50 kHz se propage dans une eau calme avec une vitesse v₀=1500 m·s⁻¹.

Partie 2 — Mesure de la vitesse d'écoulement de l'eau dans une conduite

Une onde ultrasonore se propage à la vitesse v dans une eau qui coule à la vitesse v_e dans une conduite, telle que v=v₀ + v_e, avec v₀ le vecteur vitesse de propagation de cette onde dans une eau calme. Pour déterminer la vitesse v_e d'écoulement de l'eau dans une conduite horizontale, on y place un émetteur E et un récepteur R d'ondes ultrasonores. L'émetteur E et le récepteur R sont situés sur la même droite horizontale et parallèle à la direction du mouvement de l'eau, et sont séparés d'une distance d=1,0 m. L'émetteur E émet une onde ultrasonore de faible durée, qui est reçue par le récepteur R ; un dispositif adéquat permet d'enregistrer le signal u(t) reçu par le récepteur R. On enregistre le signal u(t) dans les deux cas suivants. 1er cas : l'émetteur E est à la position A et le récepteur R à la position B (figure 1). 2e cas : l'émetteur E est à la position B et le récepteur R à la position A (figure 2). On considère, pour chaque cas, l'instant de l'émission de l'onde ultrasonore par l'émetteur E comme origine des dates. Les figures 1 et 2 montrent la même conduite horizontale hachurée, avec une flèche « sens d'écoulement de l'eau » dirigée de la gauche vers la droite, le point A à gauche et le point B à droite, la distance d cotée entre eux. Sur la figure 1, l'émetteur E est en A et le récepteur R en B, et les arcs de l'onde partent de E vers la droite — l'onde va donc dans le SENS de l'écoulement. Sur la figure 2, le récepteur R est en A et l'émetteur E en B, et les arcs de l'onde partent de E vers la gauche — l'onde va donc à CONTRE-COURANT. La figure 3 représente les deux enregistrements obtenus (a) et (b), l'un au-dessus de l'autre, portant tous deux u en ordonnée et le temps t en abscisse, sans graduation chiffrée. Sur l'enregistrement (a), une salve étroite est reçue à la date repérée t₁, PRÈS de l'origine des dates. Sur l'enregistrement (b), la date t₁ est marquée au même endroit mais aucune salve n'y arrive : la salve est reçue PLUS TARD, à la date repérée t₁ + τ. τ représente la différence des deux durées de propagation de l'onde ultrasonore de l'émetteur E au récepteur R dans les deux cas, et vaut τ=2,0 µs.

Effet d'une bobine dans un circuit électrique. Les bobines sont des dipôles électriques qui se caractérisent par leur inductance, qui rend leur comportement dans les circuits électriques différent de celui des conducteurs ohmiques. Le but de cet exercice est d'étudier la réponse d'une bobine dans un circuit électrique libre puis forcé. On réalise le montage électrique de la figure 1, constitué d'un générateur idéal de tension continue de force électromotrice E=12 V, d'un condensateur de capacité C non chargé, d'une bobine d'inductance L et de résistance négligeable, de deux conducteurs ohmiques (D₁) et (D₂) de résistances respectives R₁ et R₂=30 Ω, et d'un interrupteur K à deux positions. La figure 1 montre l'interrupteur K en haut, entre les positions 1 et 2 : en position 1 le générateur E alimente le condensateur C à travers le conducteur ohmique (D₁) ; en position 2 le condensateur est refermé sur la bobine L et le conducteur ohmique (D₂). On y relève u_C aux bornes du condensateur, u_L aux bornes de la bobine et u_R2 aux bornes de (D₂).

Partie 1 — Réponse du dipôle RC à un échelon ascendant

À la date t=0, on met l'interrupteur à la position 1 ; un courant électrique passe alors dans le circuit, et son intensité i varie au cours du temps comme le montre la figure 2. La figure 2 porte i en mA en ordonnée et le temps en ms en abscisse ; elle ne porte pas de graduations chiffrées sur ses axes, mais un cartouche de deux flèches croisées donnant l'échelle du quadrillage : 0,5 mA en ordonnée et 38 ms en abscisse. La courbe part de i(0)=2,0 mA — quatre graduations — et décroît en exponentielle vers zéro, qu'elle atteint pratiquement au bord droit du cadre.

Partie 2 — Oscillations libres amorties du circuit RLC

Étude des oscillations électriques libres amorties. Après avoir chargé complètement le condensateur, on bascule l'interrupteur K à l'instant t=0 à la position 2 (figure 1). On visualise sur l'écran d'un oscilloscope à mémoire la variation de la tension u_R2 entre les bornes du conducteur ohmique (D₂) en fonction du temps ; on obtient la courbe de la figure 3. La droite (T) représentée sur le graphe est la tangente à la courbe u_R2(t) à la date t=0. La figure 3 porte u_R2 en volts en ordonnée et le temps en ms en abscisse ; elle ne porte pas de graduations chiffrées, mais un cartouche de deux flèches croisées donnant l'échelle du quadrillage : 1,5 V en ordonnée et 1,5 ms en abscisse. La courbe part de zéro à t=0, plonge aussitôt vers un minimum négatif profond, puis oscille en s'amortissant sur quatre à cinq alternances avant de s'éteindre. La tangente (T) à l'origine est une droite très raide, descendante.

Partie 3 — Oscillations forcées et résonance d'intensité

On monte en série, avec le condensateur précédent et la bobine précédente, un conducteur ohmique (D) de résistance R réglable et un générateur de basse fréquence GBF. Le générateur applique une tension alternative sinusoïdale de valeur efficace U variable et de fréquence N variable également (figure 4) : la figure 4 montre la maille fermée portant, dans le sens des aiguilles d'une montre, le condensateur C en haut, la bobine L à droite, le GBF en bas et le conducteur ohmique variable (D) de résistance R à gauche. La courbe (a) de la figure 5 représente la variation de l'intensité efficace I du courant parcourant le circuit en fonction de la fréquence N quand la tension efficace du générateur est réglée sur la valeur U₁=10 V ; la courbe (b) représente les variations de I en fonction de N quand on change la valeur de l'une des deux grandeurs R ou U. La figure 5 porte I en ampères en ordonnée et N en hertz en abscisse ; elle ne porte pas de graduations chiffrées, mais un cartouche de deux flèches croisées donnant l'échelle du quadrillage : 0,1 A en ordonnée et 95,25 Hz en abscisse. Les deux courbes sont des courbes de résonance qui culminent à la MÊME abscisse, à quatre graduations de l'origine, soit N₀≈381 Hz : la courbe (a), plus haute et plus étroite, à I₀=0,50 A (cinq graduations) ; la courbe (b), plus basse et plus large, à environ 0,29 A.

Les deux parties sont indépendantes.

Partie I — Séparation de deux isotopes du chlore par champs électrique et magnétique

Séparation des ions ³⁵Cl⁻ et ³⁷Cl⁻. Pour séparer des ions différents, on peut utiliser le dispositif schématisé sur la figure, qui comprend une chambre d'ionisation dans laquelle les ions sont produits ; une chambre accélératrice dans laquelle les ions sont accélérés ; et une chambre de déviation où les ions sont déviés. Le but de cette partie est de séparer les ions ³⁵Cl⁻ et ³⁷Cl⁻ par action simultanée d'un champ électrique et d'un champ magnétique. La figure montre, de gauche à droite : la chambre d'ionisation, d'où les ions sortent au point S ; la chambre accélératrice, limitée par deux plaques métalliques VERTICALES (Q) à gauche et (P) à droite, distantes de d₀, entre lesquelles est appliquée la tension U₀, et percée en T₁ du trou par lequel les ions entrent dans la chambre suivante ; puis la chambre de déviation, limitée par deux plaques métalliques HORIZONTALES, (N) en haut et (M) en bas, entre lesquelles est appliquée la tension U et où règne le champ magnétique B, figuré par un petit cercle — il est donc perpendiculaire au plan de la figure. Le trajet des ions est l'axe horizontal en pointillé qui part de S, traverse T₁ et sort de la chambre de déviation par le trou T₂, percé à droite. Données : on considère que les ions se déplacent dans le vide et que leur poids est négligeable devant les autres forces ; masse d'un ion ³⁵Cl⁻ : m₁=5,81×10⁻²⁶ kg ; masse d'un ion ³⁷Cl⁻ : m₂=6,15×10⁻²⁶ kg ; charge élémentaire e=1,6×10⁻¹⁹ C. 1 — Les ions ³⁵Cl⁻ et ³⁷Cl⁻ quittent la chambre d'ionisation au point S avec une vitesse initiale négligeable et sont accélérés par une tension électrique U₀=V_P − V_Q=100 V appliquée entre les deux plaques (P) et (Q), séparées par une distance d₀. 2 — Après la sortie des ions par le trou T₁ avec les vitesses respectives v₁ et v₂, ils entrent dans la chambre de déviation, dans laquelle règne un champ magnétique uniforme B perpendiculaire aux deux vitesses initiales, et un champ électrique E uniforme créé par l'application d'une tension électrique U=V_M − V_N=200 V entre les deux plaques métalliques horizontales (M) et (N), séparées d'une distance d=5 cm — ce qui donne aux ions ³⁵Cl⁻ un mouvement rectiligne uniforme, si bien qu'ils sortent du trou T₂.

Partie II — Pendule de torsion à fil partagé en deux tronçons

Le système mécanique oscillatoire est un système qui effectue un mouvement périodique autour de sa position d'équilibre stable ; parmi ces oscillateurs on cite le pendule de torsion. L'objectif de cette partie est l'étude du mouvement d'un pendule de torsion. Le pendule de torsion représenté sur la figure 1 est constitué d'un fil de torsion de constante de torsion C₀ et de longueur ℓ, et d'une tige homogène AB. On fixe la tige AB par son milieu au fil de torsion en un point O, qui divise le fil en deux parties : une partie OM de longueur z et de constante de torsion C₁, et une partie ON de longueur ℓ− z et de constante de torsion C₂. La figure 1 montre le fil de torsion vertical, confondu avec l'axe (Δ) : il est encastré en haut au point M dans un support hachuré, descend jusqu'au point O où la tige horizontale AB le traverse en son milieu — A à gauche, B à droite —, puis continue jusqu'au point N où il est encastré dans un second support hachuré, en bas. Les longueurs z de M à O et ℓ− z de O à N y sont cotées. Lorsque le fil est tordu d'un angle θ, la partie OM exerce sur la tige un couple de torsion de moment M₁=−C₁θ, et la partie ON un couple de moment M₂=−C₂θ. On exprime la constante de torsion C d'un fil de torsion de longueur L par la relation C=kL, avec k une constante qui dépend du matériau constituant le fil de torsion et de son diamètre. J_Δ représente le moment d'inertie de la tige par rapport à l'axe de rotation (Δ), confondu avec le fil de torsion. Au début, le fil de torsion est non tordu et la tige AB est horizontale. On fait tourner la tige AB autour de l'axe (Δ) d'un angle θ_m de sa position d'équilibre stable et on l'abandonne sans vitesse initiale ; elle effectue alors des oscillations dans le plan horizontal. On repère la position de la tige AB à une date t par l'abscisse angulaire θ que fait la tige à cet instant avec la droite horizontale confondue avec la position d'équilibre de la tige. On néglige tous les frottements. La courbe de la figure 2 représente la variation de l'accélération angulaire θ de la tige, en rad·s⁻², en fonction de l'abscisse angulaire θ, en radians, dans le cas où z=ℓ2 : c'est une DROITE DÉCROISSANTE passant par l'origine, tracée entre deux butées hachurées ; l'axe des ordonnées porte la graduation 16 et l'axe des abscisses la graduation π8, la droite reliant le point (−π4 ; +32) au point (+π4 ; −32). On prend π²=10.