National 2012 · SM · session normale

Les deux parties sont indépendantes. 1ère partie — Réactivité des ions éthanoate. L'éthanoate de sodium est un composé chimique de formule CH₃COONa, soluble dans l'eau ; il est considéré comme une source des ions éthanoate CH₃COO⁻. L'objectif de cette partie est l'étude de la réaction des ions éthanoate avec l'eau d'une part, et avec l'acide méthanoïque d'autre part. Données : masse molaire de l'éthanoate de sodium M(CH₃COONa)=82 g·mol⁻¹ ; produit ionique de l'eau à 25 ^∘C : K_e=1,0×10⁻¹⁴ ; constante d'acidité du couple CH₃COOH/CH₃COO⁻ à 25 ^∘C : K_A1=1,6×10⁻⁵ ; toutes les mesures sont faites à la température 25 ^∘C. 1 — Étude de la réaction des ions éthanoate avec l'eau. On dissout dans l'eau distillée des cristaux d'éthanoate de sodium de masse m=410 mg pour obtenir une solution S₁ non saturée, de volume V=500 mL et de concentration C₁. On mesure le pH de la solution S₁ : on trouve pH=8,4. 2 — Étude de la réaction des ions éthanoate avec l'acide méthanoïque. On mélange un volume V₁=90,0 mL d'une solution aqueuse d'éthanoate de sodium de concentration C=1,00×10⁻² mol·L⁻¹ et un volume V₂=10,0 mL d'une solution aqueuse d'acide méthanoïque HCOOH de même concentration C. On modélise la transformation qui a eu lieu par une réaction chimique d'équation CH₃COO⁻_(aq) + HCOOH_(aq)⇌CH₃COOH_(aq) + HCOO⁻_(aq). On exprime la conductivité σ du mélange réactionnel à un instant t en fonction de l'avancement x de la réaction par la relation σ=81,9 + 1,37×10⁴ x, avec σ en mS·m⁻¹ et x en mol. On mesure la conductivité du mélange réactionnel à l'équilibre et on trouve σ_eq=83,254 mS·m⁻¹. 2ème partie — Étude de la pile cuivre-aluminium. On avait découvert la pile qui met en œuvre les couples de type « ion métal / métal » à une époque où l'évolution du télégraphe nécessitait un besoin de sources de courant électrique continu. L'objectif de cette partie est l'étude de la pile cuivre-aluminium. Données : constante de Faraday F=96 500 C·mol⁻¹ ; masse molaire atomique de l'élément aluminium M=27 g·mol⁻¹ ; la constante d'équilibre associée à l'équation de la réaction entre le métal cuivre et les ions aluminium 3 Cu_(s) + 2 Al³⁺_(aq)⇌3 Cu²⁺_(aq) + 2 Al_(s), le sens (1) étant le sens direct et le sens (2) le sens inverse, est K=10⁻²⁰. On réalise la pile cuivre-aluminium en reliant deux demi-piles par un pont salin de chlorure d'ammonium (NH₄⁺ + Cl⁻). La première demi-pile est constituée d'une lame de cuivre partiellement immergée dans une solution aqueuse de sulfate de cuivre II (Cu²⁺ + SO₄²⁻) de concentration C₀ et de volume V=50 mL. La deuxième demi-pile est constituée d'une lame d'aluminium partiellement immergée dans une solution aqueuse de chlorure d'aluminium (Al³⁺ + 3 Cl⁻) de même concentration C₀ et de même volume V. On branche entre les pôles de la pile un conducteur ohmique (D), un ampèremètre et un interrupteur K (figure 1) : la figure 1 montre, de gauche à droite, le bécher d'aluminium et le bécher de cuivre reliés par le pont salin, les deux lames sortant chacune de son bécher et remontant vers le circuit extérieur, où sont montés en série le conducteur ohmique (D), l'interrupteur K et l'ampèremètre A. À l'instant t=0 on ferme le circuit ; un courant électrique d'intensité constante I circule alors dans le circuit. La courbe de la figure 2 représente la variation de la concentration [Cu²⁺] des ions cuivre II existant dans la première demi-pile en fonction du temps : c'est une DROITE DÉCROISSANTE partant de l'axe des ordonnées et descendant régulièrement vers la droite. La figure ne porte pas de graduations chiffrées sur ses axes, mais un cartouche de deux flèches croisées donnant l'échelle du quadrillage : 1,0×10⁻² mol·L⁻¹ en ordonnée et 500 s en abscisse.

Les réactions nucléaires des isotopes d'hydrogène. L'énergie solaire provient de la réaction de fusion des noyaux d'hydrogène. Les physiciens s'intéressent à produire l'énergie nucléaire à partir de la réaction de fusion des isotopes d'hydrogène : le deutérium ²₁H et le tritium ³₁H. Données, les masses en unité u : m(³₁H)=3,01550 u ; m(²₁H)=2,01355 u ; m(⁴₂He)=4,00150 u ; m(¹₀n)=1,00866 u ; 1 u =1,66×10⁻²⁷ kg =931,5 MeV·c⁻².

Partie 1 — Radioactivité β⁻ du tritium

Le nucléide tritium ³₁H est radioactif β⁻ ; sa désintégration donne lieu à un isotope de l'élément hélium. On dispose d'un échantillon radioactif du nucléide tritium contenant N₀ nucléides à l'instant t=0 ; soit N le nombre de nucléides tritium dans l'échantillon à l'instant t. Le graphe de la figure 1 représente les variations de ln N en fonction du temps t : c'est une DROITE DÉCROISSANTE, dont l'axe des ordonnées porte les graduations 50 (son ordonnée à l'origine) et 48,75, et l'axe des dates, gradué en années, porte le repère 22 ; deux traits pointillés marquent que la droite passe par le point (22 ans ; 48,75).

Partie 2 — Fusion nucléaire des isotopes de l'hydrogène

La courbe de la figure 2 représente les variations de l'opposé de l'énergie de liaison par nucléon −E_ℓA, en MeV par nucléon, en fonction du nombre de nucléons A : l'axe des ordonnées est gradué 0 puis −4, et l'axe des abscisses 50 · 100 · 150 · 200 · 250. La courbe part de 0 pour les tout petits A, plonge en dents de scie jusqu'à un minimum large et plat voisin de −8,5 MeV par nucléon autour de A=60, puis remonte lentement jusqu'au bord droit du cadre. Deux traits verticaux en pointillé découpent l'axe des abscisses en trois intervalles numérotés : ① avant A≈20, ② de là jusqu'à A≈120, et ③ au-delà. L'équation de la réaction de fusion des noyaux de deutérium et de tritium s'écrit ²₁H + ³₁H→⁴₂He + ¹₀n. On peut extraire 33 mg de deutérium à partir de 1,0 L de l'eau de mer.

Détermination des caractéristiques d'une bobine utilisée pour la sélection d'une onde modulée. Les bobines sont utilisées dans des montages électriques pour sélectionner des signaux modulés. Cet exercice a pour but de déterminer, entre deux bobines (b) et (b′), celle que l'on doit utiliser pour la sélection d'un signal donné modulé en amplitude.

Partie 1 — Inductance et résistance d'une bobine par la réponse à un échelon

Détermination de l'inductance L et de la résistance r de la bobine (b). On réalise le montage expérimental de la figure 1, qui comprend une bobine (b) d'inductance L et de résistance r ; un conducteur ohmique (D) de résistance R ; un générateur de tension (G) de force électromotrice E ; un ampèremètre (A) de résistance négligeable ; et un interrupteur K. La figure 1 montre le générateur (G), aux bornes P et Q, en série avec l'interrupteur K, la bobine (b) et le conducteur ohmique (D) aux bornes duquel on relève u_R, l'ampèremètre A fermant la maille du côté de Q. À l'instant t=0 on ferme l'interrupteur K, et on visualise à l'aide d'un oscilloscope à mémoire les variations de la tension u_PQ(t) entre les pôles du générateur (G) et de la tension u_R(t) aux bornes du conducteur ohmique (D). On obtient les courbes ① et ② représentées sur la figure 2. La droite (T) représente la tangente à la courbe ② à l'instant t=0. Dans le régime permanent, l'ampèremètre (A) indique la valeur I=0,1 A. La figure 2 porte les tensions en volts en ordonnée, graduée 4 puis 8, et le temps en ms en abscisse, gradué 10 puis 20. La courbe ① est une DROITE HORIZONTALE au niveau 10 V, soit une graduation et demie au-dessus de 8 : c'est u_PQ, constante. La courbe ② part de zéro à t=0 et croît en s'incurvant vers une asymptote horizontale voisine de 7,6 V, atteinte peu après t=20 ms. La tangente (T) à l'origine coupe cette asymptote à t=5 ms.

Partie 2 — Inductance et résistance d'une seconde bobine par les oscillations libres

Détermination de l'inductance L′ et de la résistance r′ de la bobine (b′). On réalise le montage de la figure 3, qui comprend une bobine (b′) d'inductance L′ et de résistance r′, le générateur (G) de force électromotrice E, un condensateur de capacité C=20 µF, un conducteur ohmique de résistance R′=32 Ω et un interrupteur K à deux positions : la position 1 relie le condensateur au générateur, la position 2 le referme sur la bobine et le conducteur ohmique en série. Après avoir chargé totalement le condensateur, on bascule l'interrupteur K à la position 2 à l'instant t=0, et on visualise à l'aide d'un oscilloscope à mémoire les variations de la tension u_C aux bornes du condensateur en fonction du temps ; on obtient l'oscillogramme de la figure 4. La figure 4 montre une oscillation sinusoïdale amortie qui part de u_C=E=10 V à t=0, descend jusqu'à un premier minimum profond, puis oscille en s'atténuant sur quatre à cinq alternances autour de zéro. Elle ne porte pas de graduations chiffrées sur ses axes, mais un cartouche de deux flèches croisées donnant l'échelle du quadrillage : 2,5 V en ordonnée et 7,91 ms en abscisse — la pseudo-période, qui vaut deux fois cette dernière, est donc T=15,82 ms, et la valeur de u_C au bout d'une pseudo-période est 4,5 V.

Partie 3 — Émission et réception d'un signal modulé en amplitude

Pour transmettre un signal sinusoïdal s(t) on utilise un multiplieur. On applique à l'entrée E₁ du multiplieur un signal de tension u(t)=s(t) + V₀, avec V₀ la tension continue de décalage, et on applique à l'entrée E₂ une tension p(t) d'une onde porteuse (figure 5) : la figure 5 montre le multiplieur, un carré barré d'une croix, avec ses deux entrées E₁ et E₂ à gauche — p(t) sur E₂, s(t) + V₀ sur E₁ — et sa sortie S à droite, où l'on relève u_S. On obtient à la sortie S du multiplieur la tension modulée en amplitude u_S(t)=A[1 + 0,6cos(10⁴πt)]cos(2×10⁵πt). La démodulation d'amplitude est réalisée à l'aide du montage de la figure 6. La partie 1 du montage comprend la bobine (b′) et un condensateur de capacité C₀ réglable entre les deux valeurs 6×10⁻¹² F et 12×10⁻¹² F. Le conducteur ohmique utilisé dans la partie 2 du montage a une résistance R₁=30 kΩ. La figure 6 montre les trois parties en série, séparées par des traits pointillés verticaux : la partie 1, l'antenne suivie du circuit d'accord — la bobine (b′) en parallèle avec le condensateur variable C₀ ; la partie 2, une diode suivie du conducteur ohmique R₁ en parallèle avec un condensateur C₁ ; la partie 3, un condensateur C₂ en série suivi d'un conducteur ohmique R₂ en parallèle. On veut obtenir une bonne détection d'enveloppe en utilisant l'un des condensateurs de capacités 10 nF, 5 nF, 0,5 nF ou 0,1 nF.

Les deux parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie I — Chute d'un parachutiste après ouverture du parachute

Mouvement de chute d'un parachutiste. Après un court moment de son saut d'un avion, le parachutiste ouvre son parachute pour freiner son mouvement, ce qui lui permet d'arriver au sol en toute sécurité. L'objectif de cette partie est l'étude du mouvement vertical d'un parachutiste après l'ouverture de son parachute. Données : masse du parachutiste et de ses accessoires m=100 kg ; on considère que l'accélération de la pesanteur est constante, g=9,8 m·s⁻². Un parachutiste accompagné de ses accessoires saute avec une vitesse initiale négligeable d'un hélicoptère immobile se trouvant à une hauteur h du sol. Le parachutiste ouvre son parachute au moment où sa vitesse atteint 52 m·s⁻¹, à un instant considéré comme origine des dates. Le système (S) formé par le parachutiste et ses accessoires prend alors un mouvement de translation vertical. On étudie le mouvement du système (S) dans un repère galiléen (O,k) lié à la Terre, vertical et orienté vers le bas (figure 1) ; la figure 1 est un dessin du parachute ouvert et du parachutiste suspendu, avec l'origine O en haut et le vecteur k dirigé vers le bas. L'air exerce sur le système (S) une force que l'on modélise par une force de frottement d'intensité f=k v², avec k une constante et v la vitesse du parachutiste. On néglige la poussée d'Archimède exercée par l'air. La courbe de la figure 2 représente la variation de la vitesse v en fonction du temps après l'ouverture du parachute : l'axe des ordonnées porte v en m·s⁻¹, avec les graduations 52 et 5, et l'axe des abscisses porte le temps t sans graduation chiffrée. La courbe part de v=52 m·s⁻¹ à t=0, décroît rapidement en s'infléchissant, et rejoint une asymptote horizontale marquée en pointillé au niveau v=5 m·s⁻¹.

Partie II — Pendule pesant et effet de la pesanteur sur sa période

Le pendule pesant est un système mécanique qui peut effectuer un mouvement de rotation oscillatoire autour d'un axe fixe horizontal ne passant pas par son centre d'inertie ; sa période propre dépend de l'accélération de la pesanteur. L'objectif de cette partie est l'étude de l'effet de l'accélération de la pesanteur sur la période propre d'un pendule pesant dans le cas de faibles oscillations. Le pendule pesant représenté sur la figure 1 est constitué d'un disque de masse m₁ fixé à l'extrémité inférieure A d'une tige OA de masse m₂, avec m₁ + m₂=200 g. Il peut effectuer un mouvement de rotation oscillatoire autour d'un axe fixe (Δ) horizontal passant par l'extrémité O de la tige. Le centre d'inertie G du pendule est situé sur la tige à une distance OG=d=50 cm de O. Le moment d'inertie du pendule par rapport à l'axe (Δ) est J_Δ=9,8×10⁻² kg·m². On néglige tous les frottements. La figure 1 montre la tige suspendue en O à l'axe (Δ), écartée de la verticale en pointillé d'un angle θ, le centre d'inertie G marqué sur la tige et le disque en A à son extrémité basse, un arc en pointillé figurant la trajectoire du disque. On prend pour les petits angles cosθ≃1 − θ²2 et sinθ≃θ avec θ en radian, et on prend π²=10. 1 — Au niveau de la mer, où l'accélération de la pesanteur est g₀=9,8 m·s⁻², on écarte le pendule pesant de sa position d'équilibre stable d'un angle θ₀=π18 rad et on le libère sans vitesse initiale à l'instant t=0. On repère à chaque instant la position du pendule par l'abscisse angulaire θ mesurée à partir de sa position d'équilibre stable (figure 1). La figure 2 reprend le pendule dans sa position d'équilibre stable, verticale, et y porte la base de Frenet (G,u,n) : u horizontal, tangent à la trajectoire, et n vertical ascendant, dirigé de G vers l'axe (Δ). 2 — Dans une région montagneuse où l'accélération de la pesanteur est g=9,78 m·s⁻², la période propre du pendule pesant augmente de ΔT. Pour corriger le décalage temporel Δt, on utilise un ressort spiral équivalent à un fil de torsion dont la constante de torsion est C. On relie l'une des extrémités du ressort spiral à l'extrémité O de la tige et on fixe l'autre extrémité du ressort à un support fixe, de telle façon que le ressort spiral soit non déformé lorsque le pendule pesant est dans sa position d'équilibre stable (figure 3) : la figure 3 montre le ressort spiral en spirale autour de l'axe (Δ), la tige verticale, le centre d'inertie G₀ dans la position d'équilibre stable et l'axe O′z orienté vers le haut à partir de G₀. On choisit le niveau horizontal passant par G₀, centre d'inertie du pendule pesant dans sa position d'équilibre stable, comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur, et la position dans laquelle le ressort spiral est non déformé comme référence de l'énergie potentielle de torsion.