National 2011 · SM · session rattrapage

Partie I-1 — Réaction d'estérification

L'ester résulte de la réaction d'un acide carboxylique avec un alcool. La formule semi-développée d'un ester est R−CO−O−R′, où le groupement R peut être une chaîne carbonée ou un atome d'hydrogène, tandis que le groupement R′ est forcément une chaîne carbonée. Pour étudier la réaction d'estérification, on réalise dans une fiole jaugée un mélange formé de 0,500 mol d'acide éthanoïque CH₃COOH et de 0,500 mol de butan-2-ol CH₃−CHOH−CH₂−CH₃, et de quelques gouttes d'acide sulfurique. Le volume total du mélange est V=100 mL. Après avoir agité le mélange, on le partage en quantités égales dans 10 tubes à essais numérotés de 1 à 10 ; on les scelle, puis on les met à t=0 dans un bain-marie de température constante 60 ^∘C. Données : densité de l'alcool utilisé d=0,79 ; masse volumique de l'eau ρ_e=1,0 g·cm⁻³ ; masse molaire de l'alcool M(al)=74,0 g·mol⁻¹ ; masse molaire de l'acide M(ac)=60,0 g·mol⁻¹ ; constante pK_A du couple CH₃COOH/CH₃COO⁻ à 25 ^∘C : pK_A=4,8 ; produit ionique de l'eau à 25 ^∘C : pK_e=14.

Partie I-2 — Dosage de l'acide restant

Pour doser l'acide restant à un instant t, on verse le contenu du tube à essai numéro 1 dans un erlenmeyer jaugé, puis on le dilue en ajoutant de l'eau distillée froide jusqu'à obtenir un mélange (S) de volume 100 mL. On prend 10 mL du mélange (S), on les verse dans un bécher et on les dose avec une solution d'hydroxyde de sodium de concentration C_b=1,0 mol·L⁻¹ ; on ne tient pas compte, lors du dosage, des ions H₃O⁺ provenant de l'acide sulfurique. Le volume de solution d'hydroxyde de sodium nécessaire pour obtenir l'équivalence est V_b=4,0 mL.

Partie I-3 — Sens d'évolution du système chimique

Le dosage de l'acide restant dans les tubes précédents à différents instants a permis de tracer la courbe x=f(t), où x est l'avancement de la réaction d'estérification à un instant t dans un tube à essai (figure 1). La figure 1 porte x en mmol en ordonnée, graduée 10,0 · 20,0 · 30,0, et le temps en heures en abscisse, gradué de 1 à 6. La courbe part de l'origine, monte vite puis s'infléchit, et tend vers une asymptote horizontale un peu au-dessus de la graduation 30,0, atteinte vers t=5 h : l'avancement à l'équilibre y vaut environ 33 mmol. Cette planche est TRONQUÉE par la mise en page de l'édition française — elle déborde du bas de la page et sa partie inférieure manque ; elle est ici décrite d'après l'édition arabe officielle du même examen (code RS30), où elle est imprimée en entier.

Partie II — Préparation du zinc par électrolyse

La préparation de certains métaux se fait par l'électrolyse de solutions aqueuses qui contiennent les cations de ces métaux. Plus de 50% de la production mondiale du zinc est obtenue par électrolyse de la solution de sulfate de zinc acidifiée par l'acide sulfurique. Données : masse molaire du zinc M(Zn)=65,4 g·mol⁻¹ ; constante de Faraday F=9,65×10⁴ C·mol⁻¹ ; volume molaire dans les conditions de l'expérience V_m=24,0 L·mol⁻¹. La cellule de l'électrolyseur est constituée de deux électrodes et d'une solution de sulfate de zinc acidifiée. Un générateur électrique appliquant entre les deux électrodes une tension constante permet d'obtenir un courant d'intensité I=8,0×10⁴ A. L'équation de la réaction de l'électrolyse est Zn²⁺_(aq) + H₂O_(l)→12O_2(g) + 2 H⁺_(aq) + Zn_(s).

Détermination de la longueur d'onde d'un rayon lumineux. Le milieu de propagation des ondes lumineuses est caractérisé, pour une fréquence donnée, par l'indice de réfraction n=cv, où c est la vitesse de propagation de la lumière dans le vide ou dans l'air et v la vitesse de propagation de la lumière monochromatique dans ce milieu. L'objectif de cet exercice est d'étudier la propagation de deux rayons lumineux monochromatiques de fréquences différentes dans un milieu dispersif.

Partie 1 — Longueur d'onde d'une lumière monochromatique dans l'air

On réalise l'expérience de diffraction en utilisant une lumière monochromatique de longueur d'onde λ dans l'air. On place à quelques centimètres de la source lumineuse une plaque opaque dans laquelle se trouve une fente HORIZONTALE de largeur a=1,00 mm (figure 1). On observe sur un écran vertical placé à D=1,00 m de la fente des taches lumineuses ; la largeur de la tache centrale est L=1,40 mm. La figure 1 montre le rayon incident arrivant de la gauche sur la plaque, la fente de largeur a pratiquée dans cette plaque, la distance D entre la plaque et l'écran, et sur l'écran deux axes tracés en croix : un axe vertical y′y et un axe horizontal x′x. On rappelle que l'écart angulaire est θ (rad) =λa.

Partie 2 — Longueur d'onde dans un verre transparent dispersif

Détermination de la longueur d'onde d'une lumière monochromatique dans le verre transparent. Un rayon lumineux (R₁) monochromatique de fréquence ν₁=3,80×10¹⁴ Hz arrive sur la face plane d'un demi-cylindre en verre transparent au point d'incidence I, sous un angle d'incidence i=60^∘. Le rayon (R₁) se réfracte au point I et arrive à l'écran vertical au point A (figure 2). La figure 2 montre, de gauche à droite : le rayon incident montant vers le point I situé sur la face plane verticale du demi-cylindre, l'angle d'incidence i mesuré depuis la normale horizontale en pointillé, le demi-cylindre dont la face bombée est tournée vers la droite, et, à droite, l'écran vertical que la normale rencontre au point H. On fait maintenant arriver un rayon lumineux monochromatique (R₂) de fréquence ν₂=7,50×10¹⁴ Hz sur la face plane du demi-cylindre, sous le même angle d'incidence i=60^∘. On constate que le rayon (R₂) se réfracte aussi au point I, mais qu'il arrive à l'écran vertical en un autre point B, de telle sorte que l'angle entre les deux rayons réfractés est α=0,563^∘. Données : l'indice de réfraction du verre pour le rayon lumineux de fréquence ν₁ est n₁=1,626 ; l'indice de réfraction de l'air est 1,00 ; c=3,00×10⁸ m·s⁻¹.

Les oscillateurs électriques. La réception des ondes électromagnétiques se fait par une antenne qui transforme l'onde électromagnétique en un signal électrique de fréquence égale à celle de l'onde captée. On peut sélectionner une station émettrice en accordant la fréquence propre du dipôle LC lié à l'antenne à celle de l'onde émise par cette station. L'objectif de cet exercice est d'étudier les oscillations électriques libres et forcées dans un circuit RLC et leur application dans le circuit d'accord. On réalise le montage électrique représenté sur la figure 1, qui comprend un générateur de force électromotrice E=6,0 V et de résistance interne négligeable ; un condensateur (C) de capacité C réglable ; une bobine (B) d'inductance L réglable et de résistance négligeable ; un conducteur ohmique (D) de résistance R réglable ; et un interrupteur (K) à deux positions, la position (1) reliant le condensateur au générateur, la position (2) le reliant au conducteur ohmique et à la bobine montés en série.

Partie 1 — Oscillations libres amorties d'un circuit RLC

Expérience 1 : on règle la résistance sur R=20 Ω, l'inductance sur 1,0 H et la capacité du condensateur sur C=60 µF. Après avoir chargé complètement le condensateur (C), on bascule l'interrupteur (K) à l'instant t=0 à la position (2). Un dispositif approprié permet de visualiser l'évolution des tensions u_C aux bornes du condensateur, u_R aux bornes du conducteur ohmique (D) et u_L aux bornes de la bobine (B) ; on obtient les courbes (a), (b) et (c) représentées sur la figure 2.

Partie 2 — Étude énergétique des oscillations libres d'un circuit LC

On utilise le montage de la figure 1 et on règle la résistance sur R=0 Ω et la capacité du condensateur sur C=60 µF ; dans ce cas, l'expression de q(t) s'écrit q(t)=q_mcos(1√LC t).

Partie 3 — Oscillations forcées dans un dipôle RLC série

Expérience 2 : on monte en série le conducteur ohmique (D), la bobine (B) et le condensateur (C). On applique entre les bornes du dipôle obtenu une tension sinusoïdale u(t)=20√2cos(2πN t) en volts. On garde la tension efficace constante et on fait varier la fréquence N ; on mesure l'intensité efficace I du courant pour chaque valeur de N, et on visualise l'évolution de I en fonction de N. On obtient les deux courbes (a) et (b) de la figure 3, tracées pour deux valeurs R₁ et R₂ de la résistance R, avec R₂>R₁.

Partie 4 — Circuit d'accord d'un récepteur radio

On réalise un circuit d'accord pour l'utiliser dans le dispositif de réception des ondes électromagnétiques, en utilisant une bobine d'inductance L=8,7×10⁻² H et de résistance négligeable et le condensateur (C) précédent, comme l'indique la figure 4 : celle-ci montre une antenne verticale reliée à un condensateur de capacité C′ monté en parallèle avec une bobine d'inductance L réglable, l'ensemble étant relié à la masse. La station radio visée émet ses programmes sur la fréquence F=540 kHz.

Partie I — Mouvement d'un satellite artificiel géostationnaire

Le satellite HOTBIRD apparaît immobile pour un observateur fixe sur la surface de la Terre. Ce satellite est utilisé pour les télécommunications et les émissions radio et télévisées. Les paraboles fixées à la surface de la Terre et orientées vers le satellite HOTBIRD captent les ondes électromagnétiques provenant de ce dernier sans qu'elles soient munies d'un dispositif permettant de suivre le mouvement du satellite. La figure 1 montre la Terre, de centre O et de rayon R, traversée par son axe polaire vertical autour duquel une flèche indique la rotation propre ; une parabole est posée sur la surface, à la latitude repérée par l'angle λ mesuré depuis le plan équatorial ; le satellite HOTBIRD est figuré loin sur la droite, dans le plan équatorial, à la distance d de la parabole et à la distance h de la surface de la Terre, et une flèche indique qu'il décrit son orbite dans le même sens que la rotation de la Terre. Données : masse de la Terre M_T=5,98×10²⁴ kg ; rayon de la Terre R=6400 km ; constante d'attraction gravitationnelle G=6,67×10⁻¹¹ (SI) ; on suppose que la Terre est une sphère à répartition massique symétrique ; la Terre effectue un tour complet autour de son axe polaire en T=23 h 56 min 4 s ; la hauteur de l'orbite du satellite HOTBIRD par rapport à la surface de la Terre est h=36 000 km. 1 — La parabole et la réception des ondes électromagnétiques. Une parabole est fixée sur le toit d'une maison qui se trouve à la latitude λ=33,5^∘. 2 — Étude du mouvement du satellite HOTBIRD. On assimile le satellite HOTBIRD à un point matériel de masse m_s. La question 2.2 s'appuie sur la figure 2, qui présente côte à côte deux orbites hypothétiques d'un satellite en mouvement circulaire uniforme : à droite l'orbite (1), un cercle vu en perspective dont le plan contient l'axe polaire de la Terre — donc une orbite polaire ; à gauche l'orbite (2), un cercle vu en perspective dont le plan est perpendiculaire à l'axe polaire — donc une orbite équatoriale. Le satellite est figuré par un point sur chacune des deux.

Partie II — Étude énergétique d'un oscillateur pendule pesant et fil de torsion

Étude énergétique d'un oscillateur mécanique. Le pendule pesant est un système mécanique en mouvement de rotation oscillatoire autour d'un axe horizontal ; sa période dépend généralement de l'amplitude du mouvement. L'objectif de cet exercice est d'étudier un oscillateur formé d'un pendule pesant et d'un fil de torsion, et comment le transformer en un oscillateur de période indépendante de l'amplitude du mouvement. On fixe au milieu d'un fil tendu horizontalement, de constante de torsion C, une tige de longueur AB=2ℓ et de masse négligeable. À l'extrémité inférieure A de la tige est fixé un corps ponctuel (S₁) de masse m₁=m. La tige porte sur sa partie supérieure, en un point M situé à une distance d du point O, un solide ponctuel (S₂) de masse m₂=2m, dont la position sur la tige peut être réglée. Lorsque le fil de torsion n'est pas tordu, la tige prend une position verticale. On désigne par J_Δ le moment d'inertie du système constitué par la tige AB et les solides (S₁) et (S₂) par rapport à l'axe de rotation (Δ), confondu avec le fil de torsion. On écarte la tige AB de sa position d'équilibre verticale d'un angle θ_m dans le sens positif, puis on la libère sans vitesse initiale ; elle effectue alors des oscillations dans un plan vertical. On repère à chaque instant la position de la tige AB par l'angle θ qu'elle forme avec la verticale passant par O, comme l'indique la figure 1. On néglige tous les frottements. La figure 1 porte deux dessins côte à côte. À droite, la position d'équilibre : la tige est verticale, son extrémité haute B en haut et son extrémité basse A en bas, le fil de torsion horizontal DE la traversant au point O ; la demi-longueur ℓ est cotée de O à B et la distance d de O au point M où est fixé (S₂), (S₁) étant en A. À gauche, la tige est inclinée d'un angle θ par rapport à la verticale en pointillé, avec (S₂) au-dessus de O et (S₁) en A, en bas. L'expression de l'énergie potentielle de torsion dans le cas étudié est E_pt=2Cθ² + cte. On choisit comme état de référence de l'énergie potentielle de pesanteur le plan horizontal contenant le point O, et comme état de référence pour l'énergie potentielle de torsion la position dans laquelle le fil n'est pas tordu (θ=0).