National 2011 · SM · session normale

Les deux parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie I-1 — Identification de deux solutions acides par dosage

Identification de deux solutions acides · synthèse d'un ester. Un technicien de laboratoire a préparé une solution (S₁) d'un acide carboxylique RCOOH et une solution (S₂) d'acide perchlorique HClO₄, et il a mis chacune d'elles dans un flacon, mais il a oublié de marquer leur nom sur les deux flacons. Donnée : le taux d'avancement final de la réaction de l'acide perchlorique avec l'eau est τ=1. Pour identifier les deux solutions et déterminer la concentration de chacune d'elles, le technicien a dosé ces deux solutions avec une solution (S_b) d'hydroxyde de sodium. Il a prélevé le même volume V=10 mL de (S₁) et de (S₂) et les a dosés avec la même solution (S_b) de concentration C_b=0,1 mol·L⁻¹. Le suivi du pH au cours du dosage a donné les deux courbes (A) et (B), qui représentent les variations du pH en fonction du volume V_b de solution d'hydroxyde de sodium ajouté. Δ_A et Δ′_A sont deux parallèles tangentes à la courbe (A), Δ_B et Δ′_B deux parallèles tangentes à la courbe (B).

Partie I-2 — Synthèse d'un ester

Pour réaliser la synthèse d'un ester à partir de l'acide carboxylique RCOOH, le technicien a chauffé un mélange constitué de 8,2×10⁻³ mol de l'acide carboxylique et de 1,7×10⁻² mol d'éthanol C₂H₅OH ; il a obtenu un ester de formule semi-développée C₆H₅−CO−O−CH₂−CH₃. À la fin de la réaction, il a refroidi le mélange réactionnel puis dosé l'acide carboxylique RCOOH restant, et il a trouvé n_r=2,4×10⁻³ mol.

Partie II — Pile de concentration cuivre-cuivre

Les piles électriques sont des dispositifs électrochimiques qui transforment l'énergie de la réaction chimique en énergie électrique ; on cite parmi elles les piles de concentration, dont l'énergie provient de la différence des concentrations des ions de deux solutions. Ce type de pile est utilisé essentiellement dans l'industrie, au niveau de la galvanisation et de l'étude de la corrosion. L'objectif de cet exercice est l'étude d'une pile de concentration cuivre-cuivre. La pile représentée sur la figure 2 est constituée d'un bécher ① contenant un volume V₁=50 mL de solution (S₁) de sulfate de cuivre (II) Cu²⁺ + SO₄²⁻ de concentration C₁, dans laquelle plonge une partie d'une lame de cuivre (L₁) ; d'un bécher ② contenant un volume V₂=V₁ de solution (S₂) de sulfate de cuivre (II) de concentration C₂, dans laquelle plonge une partie d'une lame de cuivre (L₂) ; et d'un pont ionique qui relie les deux solutions. Les deux lames sont reliées par un conducteur ohmique de résistance R, un ampèremètre et un interrupteur K montés en série. On représente par Cu²⁺₍₁₎ les ions Cu²⁺_(aq) du bécher ① et par Cu²⁺₍₂₎ ceux du bécher ②. Lorsqu'on ferme l'interrupteur K, il se produit dans la pile une réaction d'oxydoréduction d'équation Cu²⁺_(aq)(1) + Cu_(s)(2)⇌Cu_(s)(1) + Cu²⁺_(aq)(2). On réalise deux expériences (a) et (b) et on mesure l'intensité I du courant qui traverse le conducteur ohmique à la fermeture de l'interrupteur. Le tableau du sujet donne, pour l'expérience (a), C₁=0,010 mol·L⁻¹, C₂=0,10 mol·L⁻¹ et I₁=140 mA ; pour l'expérience (b), C₁=0,10 mol·L⁻¹, C₂=0,10 mol·L⁻¹ et I₂=0. Donnée : constante de Faraday F=9,65×10⁴ C·mol⁻¹.

Datation par le carbone 14. Toutes les plantes absorbent le carbone C qui se trouve dans l'atmosphère (¹²C et ¹⁴C) à travers le dioxyde de carbone, de telle sorte que le rapport du nombre N(¹⁴C)₀ des noyaux de carbone 14 à celui des noyaux de carbone N(C)₀ dans les plantes reste constant durant leur vie : N(¹⁴C)₀N(C)₀=1,2×10⁻¹². À partir de l'instant où la plante meurt, ce rapport commence à diminuer à cause de la désintégration du carbone 14, qui est un isotope radioactif. Données : demi-vie du carbone 14 t_1/2=5730 ans ; masse molaire du carbone M(C)=12,0 g·mol⁻¹ ; constante d'Avogadro N_A=6,02×10²³ mol⁻¹ ; 1 an =3,15×10⁷ s ; le noyau de carbone 14 est radioactif β⁻, et sa désintégration donne un noyau ^A_ZY.

Partie 1 — Équations de désintégration et diagramme (N, Z)

La figure 1 donne une partie du diagramme de Segré (Z, N) : c'est un quadrillage portant Z en abscisse, gradué de 1 à 7, et N en ordonnée, gradué de 1 à 8. Six cases y sont remplies : ¹⁴C en Z=6 et N=8 ; ¹²B en Z=5 et N=7 ; l'azote N en Z=7 et N=7 ; ¹¹B en Z=5 et N=6 ; ¹²C en Z=6 et N=6 ; ¹¹C en Z=6 et N=5.

Partie 2 — Diagramme d'énergie du carbone 14

La figure 2 est un diagramme énergétique gradué en MeV, portant trois niveaux : 13146,2 pour « 6 protons + 8 neutrons », 13047,1 pour le « noyau de carbone 14 », et 13044,3 pour « noyau ^A_ZY + β⁻ ».

Partie 3 — Datation d'un morceau de bois

On veut déterminer l'âge d'un morceau de bois très ancien. On y prélève à un instant t un échantillon de masse m=0,295 g, et on trouve que cet échantillon donne 1,40 désintégration par minute ; on considère que ces désintégrations proviennent uniquement du carbone 14 contenu dans l'échantillon. On prélève d'un arbre vivant un morceau de même masse m=0,295 g, et on trouve que le pourcentage massique du carbone dans ce morceau est 51,2%.

Échange d'énergie entre une bobine et un condensateur. Le dipôle LC se comporte comme un oscillateur dans lequel s'effectue périodiquement un échange d'énergie entre le condensateur et la bobine ; mais, en réalité, l'énergie totale de ce dipôle ne reste pas constante au cours du temps à cause des pertes d'énergie par effet Joule. L'objectif de cet exercice est d'étudier l'échange énergétique entre le condensateur et la bobine, ainsi que la réponse d'une bobine à un échelon de tension électrique.

Partie 1 — Oscillations LC à résistance négligeable

Oscillations électriques dans le cas où la bobine a une résistance négligeable. On considère le montage de la figure 1, qui comprend un générateur idéal de tension délivrant la tension U₀, une bobine d'inductance L et de résistance négligeable, un condensateur de capacité C=8,0×10⁻⁹ F, et un interrupteur K à deux positions : en position (1) le générateur charge le condensateur, en position (2) le condensateur est fermé sur la bobine. On charge le condensateur sous la tension U₀ en plaçant K en position (1) ; lorsqu'il est complètement chargé, on bascule K en position (2) à l'instant t=0, et il passe alors dans le circuit un courant d'intensité i. À l'aide d'un dispositif approprié, on visualise la courbe des variations de l'intensité i en fonction du temps (figure 2) et celle des variations de l'énergie magnétique E_m emmagasinée dans la bobine en fonction du temps (figure 3).

Partie 2 — Réponse d'une bobine à un échelon de tension

Réponse d'une bobine de résistance négligeable à un échelon de tension. On monte la bobine précédente en série avec un conducteur ohmique de résistance R=100 Ω. On applique entre les bornes du dipôle obtenu un échelon de tension de valeur ascendante E, de valeur descendante nulle, et de période T. On visualise l'évolution de la tension u aux bornes du générateur, de la tension u_R aux bornes du conducteur ohmique et de la tension u_L aux bornes de la bobine ; on obtient les courbes (1), (2) et (3) de la figure 4.

Partie 3 — Oscillations amorties du circuit RLC

Oscillations électriques dans le cas où la bobine a une résistance non négligeable. On répète l'expérience en utilisant le montage de la figure 1, en remplaçant la bobine précédente par une autre bobine ayant la même inductance L mais dont la résistance r n'est pas négligeable. Après avoir chargé le condensateur, on bascule l'interrupteur en position (2). La figure 5 représente l'évolution de la charge q du condensateur en fonction du temps : c'est une oscillation sinusoïdale amortie, dont l'amplitude décroît d'une alternance à l'autre, tracée en fonction du temps en ms ; un segment de repère porté sur la planche indique que la pseudo-période vaut 0,01 ms par demi-alternance, soit un aller-retour tous les 2×10⁻² ms.

Les deux parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie I — Mouvement d'un skieur au-dessus d'un lac

Un skieur glisse sur une montagne recouverte de glace, au pied de laquelle se trouve un lac d'eau. La figure du sujet donne l'emplacement du lac par rapport au point O où le skieur sera obligé de quitter le sol de la montagne avec une vitesse v faisant un angle α avec l'horizontale : la pente de la montagne, hachurée, descend d'un point D situé à la hauteur h au-dessus du plan horizontal contenant O jusqu'à un creux, puis remonte jusqu'à O ; à partir de O, pris pour origine du repère (O,i,j) avec i horizontal et j vertical ascendant, la paroi tombe verticalement d'une hauteur H jusqu'au bord A du lac, le lac s'étendant horizontalement de A à B. La vitesse v du skieur lors de son passage au point O s'exprime par la relation v=√2 g h. Dans un essai, le skieur passe par le point O avec une certaine vitesse, et il tombe alors dans le lac d'eau. On veut déterminer la hauteur minimale h_m de la hauteur h du point D à partir duquel doit partir le skieur, sans vitesse initiale, pour qu'il ne tombe pas dans le lac. Données : masse du skieur et de ses accessoires m=60 kg ; accélération de la pesanteur g=10 m·s⁻² ; hauteur H=0,50 m ; angle α=30^∘ ; longueur du lac AB=d=10 m. Pour cet exercice, on assimile le skieur et ses accessoires à un point matériel G et on néglige tous les frottements et toutes les actions de l'air.

Partie II — Chute verticale d'une bille dans l'air puis dans un liquide visqueux

La chute verticale d'une bille métallique. L'objectif de cette partie est d'étudier le mouvement de chute verticale d'une bille métallique dans l'air puis dans un liquide visqueux. Données : masse volumique de la bille ρ₁=2,70×10³ kg·m⁻³ ; masse volumique du liquide visqueux ρ₂=1,26×10³ kg·m⁻³ ; volume de la bille V=4,20×10⁻⁶ m³ ; accélération de la pesanteur g=9,80 m·s⁻². À l'instant t=0 on libère la bille d'un point O confondu avec son centre d'inertie G. Le point O se trouve à une hauteur H de la surface libre du liquide visqueux, qui se trouve dans un tube transparent vertical (figure 1) ; la figure 1 montre la bille lâchée en O, l'axe (O,i) orienté vers le bas, la hauteur H entre O et la surface libre, et le tube contenant le liquide visqueux. La courbe de la figure 2 représente l'évolution de la vitesse v du centre d'inertie G de la bille au cours de sa chute dans l'air puis dans le liquide visqueux.