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Mathématiques

Structures algébriques

On n'étudie plus des objets mais ce que les opérations ont en commun : le chapitre le plus abstrait.

Mathématiques · Algèbre et géométrie · chapitre 10 sur 12

Ce chapitre s’ouvre avec un compte gratuit. Voici ce que l’arbre public en porte : l’intention de chaque partie, ses figures publiques, et ses savoir-faire.

Lois de composition interne

Avant de parler de structure, il faut une opération — et vérifier qu'elle ne sort pas de l'ensemble. Les quatre propriétés qui suivent forment la grille de lecture de tout le chapitre.

+ 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2 la ligne du 0 recopie l'en-tête : c'est le neutre
La table de (ℤ⁄4ℤ, +)
+ 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2 symétrique par rapport à la diagonale : la loi est commutative
Ce qu'on y lit, sans calculer

Les deux cases marquées portent 1 + 3 et 3 + 1 : la même valeur, 0, de part et d'autre de la diagonale. Et 0 dans la ligne du 1 dit que 3 est le symétrique de 1.

La table dit tout, et elle le dit par sa forme. La ligne du 0 recopie l'en-tête à l'identique : c'est la signature du NEUTRE, et il n'y a rien à calculer pour la voir. La table est symétrique par rapport à sa diagonale : la loi est COMMUTATIVE, et là encore c'est un coup d'œil. Enfin, le symétrique d'un élément se trouve en cherchant où le neutre apparaît dans sa ligne — 1 et 3 sont symétriques l'un de l'autre, 2 est son propre symétrique. Ce sont les trois lectures que le bac demande, et ce sont trois gestes sur un dessin.
  • Reconnaître une loi de composition interne et une partie stable
  • Étudier les propriétés d'une loi — associativité, commutativité, neutre, symétrique

1 piège(s) avec un compte gratuit · 7 question(s) avec un compte gratuit

Groupes et sous-groupes

La structure centrale du chapitre. Montrer qu'un ensemble est un groupe demande quatre vérifications, et cette partie donne deux façons d'en faire moins : pour un sous-groupe, deux suffisent ; et si l'ensemble est l'image d'un groupe déjà connu, il n'y en a plus aucune à faire.

+ 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2 2 + 3 = 1
(ℤ⁄4ℤ, +)
× 1 i −1 −i 1 1 i −1 −i i i −1 −i 1 −1 −1 −i 1 i −i −i 1 i −1 (−1) × (−i) = i — la même case
(U₄, ×), avec U₄ = {1, i, −1, −i}

Le dictionnaire est 0 ↦ 1, 1 ↦ i, 2 ↦ −1, 3 ↦ −i. Il transporte le neutre sur le neutre et chaque symétrique sur son symétrique : c'est un isomorphisme.

Les deux groupes n'ont rien en commun à première vue : l'un additionne des restes, l'autre multiplie des nombres complexes. Regardez pourtant les deux tables : c'est la MÊME, à un renommage près. Il suffit de remplacer 0 par 1, 1 par i, 2 par −1 et 3 par −i pour passer de l'une à l'autre, case par case. C'est ce que veut dire « isomorphes » : un dictionnaire entre les deux ensembles qui transporte la loi. Et il transporte tout — le neutre devient le neutre, le symétrique devient le symétrique, et tout ce qui est vrai dans l'un l'est dans l'autre.
  • Démontrer qu'un ensemble muni d'une loi est un groupe
  • Utiliser la propriété caractéristique d'un sous-groupe
  • Étudier un homomorphisme ou un isomorphisme de groupes
  • Comparer deux structures et transporter une structure par isomorphisme

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Anneaux, corps, matrices et ℤ⁄nℤ

Deux lois au lieu d'une, et une question nouvelle : peut-on encore diviser ? La réponse sépare les anneaux des corps, et elle dépend d'un seul nombre dans le cas de ℤ/nℤ.

× 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 2 0 2 4 0 2 4 3 0 3 0 3 0 3 4 0 4 2 0 4 2 5 0 5 4 3 2 1 2 × 3 = 0 sans que 2 ni 3 soit nul
(ℤ⁄6ℤ, ×) — six n'est pas premier
× 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 1 3 3 0 3 1 4 2 4 0 4 3 2 1 un 1 dans chaque ligne : tout est inversible
(ℤ⁄5ℤ, ×) — cinq est premier

Un diviseur de zéro interdit l'inverse : si 2 avait un inverse a, alors 2 × 3 = 0 donnerait 3 = a × 2 × 3 = a × 0 = 0, ce qui est faux.

Le critère « ℤ/nℤ est un corps si et seulement si n est premier » se lit sur les tables. À gauche, modulo 6 : la case 2 × 3 vaut 0, alors que ni 2 ni 3 n'est nul. Ce sont des diviseurs de zéro, et leur existence interdit l'inversibilité — si 2 avait un inverse a, on multiplierait 2 × 3 = 0 par a et on obtiendrait 3 = 0, ce qui est faux. À droite, modulo 5 : aucun zéro hors du bord, et chaque ligne non nulle contient un 1, c'est-à-dire que chaque élément non nul a un inverse. Six se factorise en 2 × 3, cinq ne se factorise pas : c'est exactement de là que vient la différence.
  • Démontrer qu'un ensemble muni de deux lois est un anneau, et étudier son intégrité
  • Démontrer qu'un anneau est un corps
  • Calculer dans l'ensemble des matrices carrées et en étudier la structure
  • Calculer dans ℤ/nℤ et en étudier la structure

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