Sujet national
National 2026 · SM · session rattrapage
RS 24F · 4 heures · Mathématiques · SM
Exercice 1 — Analyse
7.5 pt(s)
Partie I
On considère la fonction g définie sur l'intervalle ]0,+∞[ par : g(t)=ln(t)−(t−1). Soit x∈]0,+∞[ −{1}. On considère la fonction h de la variable réelle t définie sur l'intervalle ]0,+∞[ par : h(t)=g(x)(x−1)2(t−1)2−g(t).
Partie II
Soient f la fonction numérique définie sur l'intervalle ]0,+∞[ par f(1)=1 et ∀x∈]0,1[∪]1,+∞[ ; f(x)=(ln(x)x−1)2, et (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O ; i,j). La fonction g est celle de la partie I : g(t)=ln(t)−(t−1).
1.Montrer que la fonction h est dérivable sur ]0,+∞[ et que : ∀t∈]0,+∞[ ; h′(t)=(2g(x)(x−1)2+1t)(t−1)0.5
2.En appliquant le théorème de Rolle à la fonction h, montrer qu'il existe un réel θ compris entre x et 1 tel que : g(x)(x−1)2=−12θ0.5
3.Montrer que : x+1−|x−1|2<θ<x+1+|x−1|20.5
4.En déduire que : −1x+1−|x−1|<g(x)(x−1)2<−1|x−1|+x+10.25
1. a)Calculer limx→0 x>0f(x) et limx→+∞f(x), puis interpréter graphiquement les résultats obtenus.1
1. b)Montrer que f est continue au point 10.25
2. a)Montrer que : ∀x∈]0,1[∪]1,+∞[ ; f(x)−1x−1=(1+ln(x)x−1)(g(x)(x−1)2)0.25
2. b)En déduire que la fonction f est dérivable en 10.25
2. c)Déterminer l'équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d'abscisse 10.25
3. a)Montrer que la fonction f est dérivable sur l'intervalle ]0,+∞[, et que : ∀x∈]0,+∞[ −{1} ; f′(x)=2ln(x)x−1·g(1x)(x−1)20.75
3. b)Montrer que : ∀x∈]0,1[∪]1,+∞[ ; ln(x)x−1>00.25
3. c)Montrer que la fonction g est négative sur l'intervalle ]0,+∞[ puis en déduire le sens de variation de f sur l'intervalle ]0,+∞[0.5
4.Montrer que le réel 1 est la seule solution de l'équation f(x)=x sur l'intervalle ]0,+∞[0.25
5.Représenter la tangente (T) et la courbe (C) dans le repère (O ; i,j)0.75
6. a)Soit n∈ℕ*. Montrer que l'équation f(x)=n admet une solution unique xn sur l'intervalle ]0,1]0.25
6. b)Montrer que : limn→+∞xn=00.5
6. c)Vérifier que : ∀n∈ℕ* ; √n=ln(xn)xn−1 puis en déduire limn→+∞xn√n0.5
Exercice 2 — Analyse
2.5 pt(s)
Soit φ une fonction dérivable sur l'intervalle [0,1] telle que sa dérivée φ′ est continue sur cet intervalle.
1.Montrer que pour tout entier naturel non nul n, on a : ∫01xnφ(x) dx=φ(1)n+1+∫01xn(φ(x)−φ(1)) dx0.5
2.Montrer que : ∃M∈ℝ+ ∀x∈[0,1] ; |φ′(x)|≤M0.5
3.Montrer que : ∀x∈[0,1] ; |φ(x)−φ(1)|≤M(1−x)0.5
4.En déduire que : limn→+∞n∫01xnφ(x) dx=φ(1)0.5
5.On considère les deux suites (un) et (vn) définies respectivement, pour tout entier naturel n, par : un=∫01n tn1+2t dt et vn=2n+1n∫012xn Arctan(2x) dx. En utilisant le résultat de la question 4., calculer limn→+∞un et limn→+∞vn0.5
Exercice 3 — Nombres complexes
3.5 pt(s)
Partie I
Soit m∈ℂ*−{1,−i}. On considère dans l'ensemble ℂ des nombres complexes l'équation suivante d'inconnue z : (Em) : z3−(1+(1+i)m)z2+((1+i)m+i m2)z−i m2=0.
Partie II
On suppose que : m∈ℂ−{−i,i,−1,1} et |m|=1. B. Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (O ; u,v), on considère les points A, B, C, E et F d'affixes respectives a=m, b=1, c=im, e=12(1+i)(m−i) et f=12(1+i)(1+m).
1.Montrer que les nombres complexes 1 et m sont des solutions de l'équation (Em)0.25
2.En déduire l'ensemble de solutions de l'équation (Em)0.25
A.1Montrer que : (m+i1+i m)−(m+i1+i m)=0 et (m+1m−1)+(m+1m−1)=0 (Remarquer que : mm=1)0.5
A.2Montrer que : (1+i)(m−1m+i) est un imaginaire pur.0.25
B. 1. a)Montrer que : e−ce−b=−i·(m+1m−1)0.5
B. 1. b)En déduire que E∈(BC)0.25
B. 2. a)Montrer que : e−ac−b=12(1+i)·(m−1m+i)0.5
B. 2. b)En déduire que (AE)⊥(BC)0.25
B. 3. a)Montrer que : f−cf−a=−i·(m+i1+i m)0.25
B. 3. b)En déduire que les points A, E, C et F sont cocycliques.0.5
Exercice 4 — Arithmétique
3 pt(s)
Partie I
On considère dans ℤ×ℤ l'équation (E) : 5x−6y=2. Dans la question 2, (x,y) désigne une solution de l'équation (E) et d le plus grand diviseur commun des nombres x et y.
Partie II
Soient n∈ℕ, b∈ℕ*−{1} et p∈ℕ. On considère l'écriture de n dans le système de numération de base b : n=p∑i=0ai bi avec ∀i∈{0,…,p} (ai∈ℕ , 0≤ai<b) et ap≠0. On pose : Sb(n)=p∑i=0ai (la somme des chiffres représentant n dans le système de numération de base b). Dans les questions 2 et 3, (E) désigne l'équation 5x−6y=2 de la partie I.
Partie III
On considère une urne contenant 25 boules numérotées de 1 à 25 et indiscernables au toucher. On tire successivement et avec remise deux boules de cette urne et on note le couple (x,y) obtenu où x est le numéro de la première boule tirée et y est le numéro de la deuxième boule tirée. Soit V l'événement : « le couple (x,y) obtenu est une solution de l'équation (E) », où (E) est l'équation 5x−6y=2 de la partie I.
1.Montrer que l'ensemble des solutions de l'équation (E) est {(4+6k , 3+5k) / k∈ℤ}0.25
2. a)Quelles sont les valeurs possibles de d ?0.25
2. b)Déterminer les couples (x,y) pour lesquels d=10.25
1.Montrer que : Sb(n)≡n [b−1]0.5
2. a)Soit n∈ℕ tel que le couple (S5(n),S6(n)) est une solution de l'équation (E) avec S5(n) et S6(n) premiers entre eux. Montrer que n≡0 [4]n≡3 [5]0.25
2. b)En déduire que n≡8 [20]0.25
3. a)Calculer S5(28) et S6(28)0.5
3. b)Le couple (S5(28),S6(28)) est-il une solution de l'équation (E) ? Justifier votre réponse0.25
1.Montrer que la probabilité de l'événement V est : p=64.10−40.25
2.On répète cette expérience 10 fois successives en remettant les boules tirées dans l'urne après chaque tirage. Calculer la probabilité de la réalisation de l'événement V exactement deux fois. (Le développement des calculs n'est pas demandé)0.25
Exercice 5 — Structures algébriques
3.5 pt(s)
On rappelle que (M3(ℝ),+,×) est un anneau unitaire non commutatif de zéro la matrice O=000000000 et d'unité la matrice I=100010001. Soit a∈ℝ+*−{1}. Pour tout réel x, on pose M(x)=axax−1001000ax. On considère l'ensemble : E={M(x) / x∈ℝ}.
1.Montrer que E est stable dans (M3(ℝ),×)0.5
2. a)Soit φ l'application définie de ℝ vers M3(ℝ) par : (∀x∈ℝ) ; φ(x)=M(x). Montrer que φ est un isomorphisme de (ℝ,+) vers (E,×)0.5
2. b)En déduire que (E,×) est un groupe commutatif.0.25
3. a)On prend dans cette question a=5 et on pose : A=125−2425001000125 et B=252400100025. Vérifier que A∈E et B∈E0.5
3. b)Résoudre dans E l'équation : A5×X6=B20260.75
4. a)On munit E de la loi de composition interne T définie par : ∀(x,y)∈ℝ2 ; M(x) T M(y)=M(1√2xy). Montrer que (E−{I},T) est un groupe commutatif.0.5
4. b)Montrer que (E,×,T) est un corps commutatif.0.5