Exercice 1 — Analyse
10 pt(s)
Partie II
Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie sur [0,+∞[ par ∀x∈]0,+∞[ ; f(x)=xex−e−x et f(0)=12. Soit (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O,i,j).
Partie III
On considère la fonction F définie sur [0,+∞[ par F(x)=∫x2xf(t) dt.
1. a)Montrer que : ∀x∈ℝ, 1+x≤ex.0.25
1. b)En déduire que : ∀x∈[0,+∞[, x22+1+x≤ex.0.25
2. a)Pour tout x∈[0,+∞[, on pose I(x)=∫0xte−t dt. Montrer que : ∀x∈[0,+∞[, I(x)≤x22.0.25
2. b)Montrer que : ∀x∈[0,+∞[, I(x)=−xe−x−e−x+1.0.5
3. a)Soit g la fonction numérique de la variable réelle x définie sur ]0,+∞[ par g(x)=ex−x−1x2. En utilisant les résultats des questions 1-b) et 2-b) de la partie I, montrer que : ∀x∈]0,+∞[, 12≤g(x)≤ex2.0.5
3. b)En déduire que : limx→0+g(x)=12.0.25
1.Calculer limx→+∞f(x) puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.0.5
2.Montrer que f est continue à droite en 0.0.25
3. a)Montrer que : ∀x∈]0,+∞[, f(x)−f(0)x=−e−xf(x)(e2x−2xex−12x2).0.25
3. b)Montrer que : ∀x∈]0,+∞[, e2x−2xex−12x2=2g(2x)−ex−1x.0.25
3. c)En déduire que f est dérivable à droite en 0 et que f′d(0)=0.0.25
4. a)Pour tout x∈[0,+∞[, on pose J(x)=∫0xtet dt. Montrer que pour tout x∈[0,+∞[, 0≤I(x)≤J(x).0.5
4. b)Montrer que pour tout x∈[0,+∞[, J(x)=(x−1)ex+1.0.25
4. c)Montrer que pour tout x∈]0,+∞[, on a : f′(x)=I(x)−J(x)(ex−e−x)2.0.5
4. d)En déduire le sens de variation de la fonction f sur [0,+∞[.0.25
5.Montrer que la fonction f réalise une bijection de [0,+∞[ vers un intervalle à déterminer. On note f−1 la bijection réciproque de la fonction f.0.25
6. a)Montrer que l'équation f(x)=x admet une unique solution α à déterminer dans [0,+∞[.0.5
6. b)Représenter graphiquement la courbe (C) et la courbe (C′) de la fonction f−1 dans le repère orthonormé (O,i,j). (On prendra ‖i‖=‖j‖=2 cm.) (On admet que le point P(x0,f(x0)) est un point d'inflexion pour la courbe (C) avec x0≃1,6 et f(x0)≃0,3.)0.5
7. a)On considère la suite numérique (un)n≥0 définie par u0=0 et (∀n∈ℕ), un+1=f(un). Montrer que : (∀n∈ℕ), 0≤un≤12.0.25
7. b)Montrer que : (∀n∈ℕ), |un+1−α|≤12|un−α|. (On admet que ∀x∈]0,+∞[, −12<f′(x)<0.)0.5
7. c)Montrer par récurrence que : (∀n∈ℕ), |un−α|≤(12)n.0.5
7. d)En déduire que la suite (un)n∈ℕ converge vers α.0.25
1. a)Montrer que : ∀x∈[0,+∞[, 0≤F(x)≤xf(x).0.5
1. b)En déduire limx→+∞F(x).0.25
1. c)Interpréter graphiquement le résultat obtenu.0.25
2. a)Montrer que F est dérivable sur [0,+∞[.0.25
2. b)Montrer que : ∀x∈[0,+∞[, F′(x)=−f(x)e2x+1(e2x−4ex+1).0.5
2. c)Montrer que F(ln(2+√3)) est un extremum de la fonction F sur [0,+∞[.0.5
Exercice 2 — Nombres complexes
3.5 pt(s)
Soit le nombre complexe m=√2eiθ où θ∈ℝ−{kπ / k∈ℤ}.
Partie I
On considère dans l'ensemble des nombres complexes ℂ l'équation (Em) d'inconnue z : (Em) : mz2−2z+m=0.
Partie II
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (O,u,v), on considère les points A, B, M, M1 et M2 d'affixes respectives a=1, b=−1, m, z1 et z2. Soit R la rotation de centre O et d'angle π2.
1.Étant donné que le nombre complexe z1=m(1−i)2 est une solution de l'équation (Em), déduire que sa deuxième solution est z2=m(1+i)2.0.25
2.Écrire z1 sous forme exponentielle.0.25
1.Montrer que : R(M1)=M2.0.25
2. a)Montrer que (MM1)⊥(OM1) et (MM2)⊥(OM2).0.5
2. b)Vérifier que : OM1=OM2=1.0.25
2. c)Déterminer la nature du quadrilatère OM1MM2.0.25
3. a)Soit H le point d'affixe h=−i√2sin(θ)ei(2θ). Pour tout nombre complexe z, on désigne par Re(z) la partie réelle de z. Montrer que Re(m−h)=0 et que Re(1−hm)=0.0.5
3. b)Montrer que : Re(a−hm+1)=0.0.25
3. c)En déduire que (MH)⊥(AB) et que (AH)⊥(MB).0.5
4. a)Montrer que : h−z1z2−z1=12(1−cotan(θ)).0.25
4. b)En déduire que les points H, M1 et M2 sont alignés.0.25
Exercice 3 — Arithmétique
3 pt(s)
Partie I
A. On considère dans ℤ2 l'équation (F) : 5u−9v=1. B. On considère dans ℤ l'équation (E) : x2026≡5 [19].
Partie II
On considère une urne contenant 100 boules numérotées de 1 à 100, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard de cette urne. On considère l'événement V : « le numéro de la boule tirée est solution de l'équation (E) ».
A.1Donner une solution particulière (u0,v0) dans ℕ2 de (F).0.25
A.2Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation (F).0.25
A.3Vérifier que : 5u0≡6 [19].0.25
B. 1. a)Soit x une solution de l'équation (E). Montrer que x et 19 sont premiers entre eux et que x18≡1 [19].0.5
B. 1. b)Montrer que : x10≡5 [19].0.25
B. 1. c)En déduire que : x2≡6 [19]. (On pourra utiliser les résultats de la partie A.)0.25
B. 1. d)Montrer que x≡5 [19] ou x≡−5 [19].0.25
B.2Montrer que si x≡5 [19] ou x≡−5 [19] alors x est solution de l'équation (E).0.5
1.Montrer que la probabilité de l'événement V est p=0,11.0.25
2.Soit n∈ℕ*. On effectue n tirages successifs avec remise de la boule dans l'urne. Déterminer la valeur minimale de n pour que la probabilité de « réalisation de l'événement V au moins une fois » soit strictement supérieure à 0,95.0.25
Exercice 4 — Structures algébriques
3.5 pt(s)
On rappelle que (M3(ℝ),+,×) est un anneau unitaire et non commutatif de zéro la matrice O=000000000 et d'unité la matrice I=100010001. On considère l'ensemble E={M(x)=100x21−xxx2+2x−xx+1 / x∈ℝ}.
1.Montrer que ∀(x,y)∈ℝ2 ; M(x)×M(y)=M(x+y).0.5
2. a)On considère l'application φ définie de ℝ vers M3(ℝ) par (∀x∈ℝ) ; φ(x)=M(x). Montrer que φ est un homomorphisme de (ℝ,+) vers (M3(ℝ),×) et que φ(ℝ)=E.0.5
2. b)En déduire que (E,×) est un groupe commutatif.0.25
3. a)On munit E de la loi de composition interne T définie par ∀(x,y)∈ℝ2 ; M(x) T M(y)=M(2xy). Montrer que (E−{I},T) est un groupe commutatif.0.75
3. b)Montrer que (E,×,T) est un corps commutatif.0.5
4. a)Soit x∈ℝ. On pose (M(x))n=M(x)×⋯×M(x)n fois avec n∈ℕ*. Montrer que : (∀n∈ℕ*), (M(x))n=M(nx).0.5
4. b)Résoudre dans E l'équation : X3−X2=00051−131−1.0.5