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Sujet national

National 2025 · SM · session rattrapage

RS-24F · 4 heures · Mathématiques · SM

Exercice 1 — Analyse

7.75 pt(s)

On considère la fonction f définie sur l'intervalle I=[0 ; +∞[ par :f(x)=x²ln xx²+1si x∈]0 ; +∞[0si x=0.Et soit (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O,i,j).

1. a)Étudier la continuité de f à droite en 0.0.25

1. b)Étudier la dérivabilité de f à droite en 0 puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.0.5

1. c)Calculer lim_x→+∞f(x) et lim_x→+∞f(x)x puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.0.75

2. a)Soit φ la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par φ(x)=x²+1+2ln x. Dresser le tableau de variations de φ.0.5

2. b)Montrer que l'équation φ(x)=0 admet une solution unique β appartenant à l'intervalle ]12 ; 1√3[. On donne ln 2≃0,7 et ln 3≃1,1.0.5

2. c)Montrer que f(β)=−β²2.0.25

3. a)Montrer que f est dérivable sur ]0 ; +∞[ et que ∀x∈]0 ; +∞[, f′⁠(x)=x φ(x)(x²+1)².0.5

3. b)Donner le tableau de variations de f.0.5

3. c)Montrer que 1β est l'unique solution de l'équation f(x)=12 sur ]β ; +∞[.0.25

3. d)Montrer que la droite d'équation y=βx−12 est la tangente à la courbe (C) au point d'abscisse 1β.0.5

4.Représenter graphiquement la courbe (C) dans le repère (O,i,j). On admet que la courbe (C) possède deux points d'inflexion.0.5

1. a)On pose J=]√3 ; 2[ et α=1β. Soit g la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par g(x)=√e^1+1x². Étudier les variations de g.0.25

1. b)Montrer que (∀x∈J) ; √3<g(x)<2. On donne √3≃1,73, e²³≃1,95 et e⁵⁸≃1,87.0.25

2. a)En utilisant le résultat de la question I.3-c), montrer que g(α)=α.0.25

2. b)Montrer que (∀x∈J) ; |g′⁠(x)|≤23√3.0.5

2. c)En déduire que (∀x∈J) ; |g(x)−α|≤23√3|x−α|.0.5

3. a)On considère la suite (x_n)_n∈ℕ définie par x₀=74 et pour tout n∈ℕ, x_n+1=g(x_n). Montrer que (∀n∈ℕ) ; x_n∈J.0.25

3. b)Montrer par récurrence que (∀n∈ℕ) ; |x_n−α|≤(23√3)ⁿ|x₀−α|.0.5

3. c)En déduire que la suite (x_n)_n∈ℕ converge vers α.0.25

Exercice 2 — Analyse

2.25 pt(s)

On considère la suite numérique (u_n)_n≥2 définie par (∀n≥2) ; u_n=1nⁿ⁻¹∑_k=1ln(kn).

1. a)Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Montrer que pour tout entier k∈{1,2,…,n−1} et pour tout réel x∈[kn ; k+1n], on a ln(kn)≤ln(x)≤ln(k+1n).0.25

1. b)En déduire que ∀k∈{1,2,…,n−1} ; 1nln(kn)≤∫_kn^k+1nln(x) dx≤1nln(k+1n).0.25

2. a)Montrer que (∀n≥2) ; 1nⁿ⁻¹∑_k=1ln(kn)≤∫_1n¹ln(x) dx≤1nⁿ∑_k=2ln(kn).0.5

2. b)En déduire que (∀n≥2) ; u_n≤∫_1n¹ln(x) dx≤u_n−1nln(1n).0.5

2. c)Montrer que (∀n≥2) ; −1+1n≤u_n≤−1+1n−1nln(1n).0.5

2. d)Déterminer lim_n→+∞u_n.0.25

Exercice 3 — Nombres complexes

3.5 pt(s)

Soit θ∈[0 ; π[. On considère dans ℂ l'équation (E_θ) d'inconnue z : z²+(1−i)e^iθz−i e^i2θ=0.

1. a)Vérifier que (E_θ)⟺(2z+(1−i)e^iθ)²=((1+i)e^iθ)².0.25

1. b)En déduire les deux solutions z₁ et z₂ de l'équation (E_θ) avec Im(z₁)≤0.0.5

2. a)Montrer que z₁+1z₂+i=−tan(θ2).0.25

2. b)En déduire la forme exponentielle du nombre complexe z₁+iz₂z₂+i.0.25

1. a)Dans le plan complexe P muni d'un repère orthonormé direct (O,u,v), on considère les points A, B, C d'affixes respectives a=e^iθ, b=(1+i)e^iθ et c=b−a. Soient m un nombre réel de ]0 ; 1[, R la rotation de centre O et d'angle π2, et le point Q d'affixe q=me^iθ. Déterminer l'affixe p du point P image du point Q par la rotation R.0.25

1. b)Vérifier que R(A)=C.0.25

2. a)Soit H le point d'affixe h=mm−ie^iθ. Montrer que p−ah=m²+1mi et h−ap−a=1m²+1.0.5

2. b)En déduire que H est le projeté orthogonal du point O sur la droite (AP).0.25

2. c)Montrer que b−hq−h=1mi.0.5

2. d)En déduire que les droites (QH) et (HB) sont perpendiculaires.0.25

2. e)Montrer que les points A, Q, H et B sont cocycliques.0.25

Exercice 4 — Arithmétique

3 pt(s)

On considère dans ℤ×ℤ l'équation (E) : y=abx−cd, où a,b,c,d sont des entiers naturels non nuls vérifiant a∧b=c∧d=1.

1. a)On suppose que l'équation (E) admet une solution (x₀,y₀). Montrer que d divise bc.0.5

1. b)En déduire que d divise b.0.5

2. a)On suppose que d divise b et on pose b=nd où n est un entier naturel non nul. Montrer qu'il existe (u,v)∈ℕ×ℕ tel que dnu−av=1.0.5

2. b)En déduire que l'ensemble des solutions de l'équation (E) est S={(−vcn+bk ; −ucn+ak) / k∈ℤ}.0.75

3.Résoudre dans ℤ×ℤ l'équation (F) : y=32975x−2119. On donne 2975=119×25.0.75

Exercice 5 — Structures algébriques

3.5 pt(s)

On rappelle que (M₃(ℝ),+,×) est un anneau unitaire non commutatif de zéro la matrice O=000000000 et d'unité la matrice I=100010001. On munit l'ensemble E={x+yi / x∈ℤ et y∈ℤ} par la loi de composition interne * définie par ∀(x,y,x′,y′)∈ℤ⁴ ; (x+yi)*(x′+y′i)=(x+(−1)^yx′)+(y+y′)i.

1. a)Vérifier que (1−i)*(3+2i)=−2+i.0.25

1. b)Montrer que la loi * n'est pas commutative dans E.0.25

2.Montrer que la loi * est associative dans E.0.5

3.Montrer que 0 est l'élément neutre pour la loi * dans E.0.25

4. a)Vérifier que ∀(x,y)∈ℤ² ; (x+yi)*((−1)^(y+1)x−yi)=0.0.25

4. b)Montrer que (E,*) est un groupe non commutatif.0.25

1. a)Soient les deux ensembles F={x+2yi / x∈ℤ et y∈ℤ} et G={M(x,y)=1xy010001 / x∈ℤ et y∈ℤ}. Montrer que F est un sous-groupe de (E,*).0.5

1. b)Montrer que la loi * est commutative dans F.0.25

2. a)Soit φ l'application définie de F vers M₃(ℝ) par ∀(x,y)∈ℤ² ; φ(x+2yi)=M(x,y). Montrer que φ est un homomorphisme de (F,*) vers (M₃(ℝ),×).0.5

2. b)Montrer que φ(F)=G.0.25

2. c)En déduire que (G,×) est un groupe commutatif.0.25

Le corrigé entier, question par question, avec le barème.

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