Sujet national
National 2025 · SM · session normale
NS-24F · 4 heures · Mathématiques · SM
Exercice 1 — Analyse
10 pt(s)
On considère la fonction numérique f définie sur ℝ par f(x)=exe2x+e, et soit (Γ) sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O ; i,j).
Partie II
On considère la suite (un)n∈ℕ définie par : u0∈]0 ; 12[ et (∀n∈ℕ) ; un+1=f(un).
Partie III
On considère la suite numérique (Sn)n∈ℕ définie par : (∀n∈ℕ*) ; Sn=1n(n+1)k=n∑k=1 kekn+en−kn.
1. a)Montrer que (∀x∈ℝ) ; f(1−x)=f(x).0.25
1. b)Interpréter graphiquement le résultat obtenu.0.25
1. c)Calculer limx→−∞f(x) puis en déduire limx→+∞f(x).0.5
1. d)Interpréter graphiquement les deux résultats obtenus.0.5
2. a)Montrer que (∀x∈ℝ) ; f′(x)=f(x)1−e2x−11+e2x−1.0.5
2. b)Donner les variations de f puis en déduire que (∀x∈ℝ) ; 0<f(x)<12.1
3.Représenter graphiquement la courbe (Γ). On prendra ‖i‖=1 cm, ‖j‖=2 cm, et 12√e≃0,30, 11+e≃0,27.0.5
4. a)Montrer que ∫012f(x) dx=∫121f(x) dx.0.5
4. b)En déduire que ∫01f(x) dx=2∫012f(x) dx.0.25
5. a)En effectuant le changement de variables t=ex, montrer que ∫012f(x) dx=∫1√edtt2+e.0.25
5. b)Montrer que ∫012f(x) dx=1√e(arctan(√e)−π4).0.5
5. c)En déduire l'aire, en cm2, du domaine plan délimité par (Γ) et les droites d'équations respectives x=0, x=1 et y=0.0.25
1.En utilisant le résultat de la question I.2-a), montrer que (∀x∈ℝ) ; |f′(x)|≤f(x).0.5
2. a)Montrer que (∀x∈[0 ; 12]) ; 0≤f′(x)<12.0.5
2. b)Montrer que la fonction g:x↦g(x)=f(x)−x est strictement décroissante sur ℝ.0.25
2. c)En déduire qu'il existe un unique réel α∈]0 ; 12[ tel que f(α)=α.0.5
3. a)Montrer que (∀n∈ℕ) ; 0<un<12.0.5
3. b)Montrer que (∀n∈ℕ) ; |un+1−α|≤12|un−α|.0.5
3. c)Montrer par récurrence que (∀n∈ℕ) ; |un−α|≤(12)n+1.0.5
3. d)En déduire que la suite (un)n∈ℕ converge vers α.0.25
1. a)Vérifier que (∀n∈ℕ*) ; Sn=1n+1k=n∑k=1knf(kn).0.25
1. b)Montrer que ∫01x f(x) dx=∫012f(x) dx. On pourra effectuer le changement de variables t=1−x.0.5
2.Montrer que la suite (Sn)n∈ℕ est convergente et déterminer sa limite.0.5
Exercice 2 — Nombres complexes
3.5 pt(s)
Soit α∈[0 ; 2π[. On considère dans l'ensemble des nombres complexes ℂ l'équation (Eα) d'inconnue z : z2−2αeiα(1+2i)z+i 22α+1ei2α=0.
Partie II
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; u,v). On note par M(z) le point d'affixe le nombre complexe z. On pose ba=λi avec λ=Im(ba).
1. a)Vérifier que le discriminant de l'équation (Eα) est Δα=(2αeiα(1−2i))2.0.25
1. b)En déduire les deux solutions a et b de l'équation (Eα), avec |a|<|b|.0.5
2.Vérifier que ba est un imaginaire pur.0.25
1. a)On considère les points A(a), B(b) et H(h) avec 1h=1a+1b. Montrer que hb−a=−(λλ2+1)i puis en déduire que les droites (OH) et (AB) sont perpendiculaires.0.5
1. b)Montrer que h−ab−a=1λ2+1 puis en déduire que les points H, A et B sont alignés.0.5
2. a)Soient I(m) le milieu du segment [OH] et J(n) le milieu du segment [HB]. Montrer que nm−a=−λi.0.5
2. b)En déduire que les droites (OJ) et (AI) sont perpendiculaires et que OJ=|λ| AI.0.5
2. c)Soit K le point d'intersection des droites (OJ) et (AI). Montrer que les points K, I, H et J sont cocycliques.0.25
2. d)Montrer que les droites (IJ) et (OA) sont perpendiculaires.0.25
Exercice 3 — Arithmétique
3 pt(s)
Soient p un nombre premier impair et a un entier premier avec p.
1.Montrer que ap−12≡1 [p] ou ap−12≡−1 [p].0.5
2. a)On considère dans ℤ l'équation ax2≡1 [p]. Soit x0 une solution de cette équation. Montrer que x0 p−1≡1 [p].0.5
2. b)En déduire que ap−12≡1 [p].0.25
3. a)Soit n un entier naturel non nul. Montrer que si p divise 22n+1−1 alors 2p−12≡1 [p].0.5
3. b)En déduire que l'équation (E) : 11x+(22n+1−1)y=1 admet au moins une solution dans ℤ2.0.5
4. a)On considère dans ℤ l'équation (F) : x2+5x+2≡0 [11]. Montrer que (F)⟺2(2x+5)2≡1 [11].0.25
4. b)En déduire que l'équation (F) n'admet pas de solution dans ℤ.0.5
Exercice 4 — Structures algébriques
3.5 pt(s)
On rappelle que (M3(ℝ),+,×) est un anneau unitaire et non commutatif, de zéro la matrice O et d'unité la matrice I, et que (M3(ℝ),+,·) est un espace vectoriel réel. Soient A=−1−10−1−10−11−2 et E={M(x)=I+xA / x∈ℝ}.
1. a)Vérifier que A2=−2A.0.25
1. b)En déduire que ∀(x,y)∈ℝ2 ; M(x)×M(y)=M(x+y−2xy).0.25
2. a)Calculer M(12)×000000001.0.25
2. b)En déduire que la matrice M(12) n'est pas inversible dans (M3(ℝ),×).0.25
3.Montrer que E−{M(12)} est stable pour la multiplication dans M3(ℝ). On pourra utiliser l'identité (x−12)(y−12)=−12(x+y−2xy−12).0.25
4.Montrer que (E−{M(12)},×) est un groupe commutatif.1
5. a)On munit E de la loi de composition interne T définie par ∀(x,y)∈ℝ2 ; M(x) T M(y)=M(x+y−12), et on considère l'application φ définie de ℝ vers E par ∀x∈ℝ ; φ(x)=M(1−x2). Montrer que φ est un homomorphisme de (ℝ,+) vers (E,T) et que φ(ℝ)=E.0.5
5. b)En déduire que (E,T) est un groupe commutatif.0.25
6.Montrer que (E,T,×) est un corps commutatif.0.5