Sujet national
National 2022 · SM · session normale
NS 24F · 4 heures · Mathématiques · SM
Exercice 1 — Analyse
10 pt(s)
Partie B
On considère la fonction f définie sur I=[0,+∞[ par f(0)=12 et pour tout x de ]0,+∞[ ; f(x)=x−ln(1+x)x2, et soit (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ; i,j).
Partie C
On reprend la fonction f définie sur I=[0,+∞[ par :f(x)=x−ln(1+x)x2si x>012si x=0.
Partie D
On reprend la fonction f définie sur I=[0,+∞[ par :f(x)=x−ln(1+x)x2si x>012si x=0,et (C) sa courbe représentative dans le repère orthonormé (O ; i,j). Pour tout x∈I, on pose : F(x)=∫x1f(t) dt.
Partie E
On reprend la fonction f définie sur I=[0,+∞[ par :f(x)=x−ln(1+x)x2si x>012si x=0.On pose : pour tout k de ℕ, Dk=f(k)−∫kk+1f(t) dt, et pour tout n de ℕ*, Sn=k=n−1∑k=0Dk.
A.1Vérifier que : (∀x∈ℝ+) ; 0≤1−x+x2−1x+1≤x3.0.25
A.2En déduire que : (∀x∈ℝ+) ; 0≤x−x22+x33−ln(1+x)≤x44.0.25
B. 1. a)Montrer que f est continue à droite en 0.0.5
B. 1. b)Montrer que f est dérivable à droite en 0.0.5
B. 1. c)Calculer limx→+∞f(x), puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.0.5
B. 2. a)Montrer que : (∀x∈]0,+∞[) ; f′(x)=−g(x)x3 où g(x)=x+xx+1−2ln(1+x).0.5
B. 2. b)Montrer que : (∀x∈I) ; 0≤g′(x)≤x2.0.5
B. 2. c)En déduire que : (∀x∈I) ; 0≤g(x)≤x33.0.25
B. 2. d)Déterminer le sens de variation de f sur I.0.25
B. 3. a)Dresser le tableau de variation de f.0.25
B. 3. b)Représenter graphiquement la courbe (C) dans le repère (O ; i,j). (On prendra ‖i‖=2 cm et ‖j‖=2 cm.)0.5
C.1Montrer qu'il existe un unique réel a∈]0 ; 1[ tel que f(a)=a.0.5
C. 2. a)On considère la suite (un)n∈ℕ définie par u0=13 et (∀n∈ℕ) ; un+1=f(un). Montrer que : (∀n∈ℕ) ; un∈[0 ; 1].0.5
C. 2. b)Montrer que : (∀n∈ℕ) ; |un+1−a|≤13|un−a|.0.5
C. 2. c)Montrer par récurrence que : (∀n∈ℕ) ; |un−a|≤(13)n.0.5
C. 2. d)En déduire que la suite (un)n∈ℕ converge vers a.0.25
D.1Montrer que la fonction F est dérivable sur I et calculer F′(x) pour tout x∈I.0.5
D. 2. a)En utilisant la méthode d'intégration par parties, montrer que : (∀x∈]0,+∞[) ; F(x)=2ln 2−(1+1x)ln(1+x).0.5
D. 2. b)Calculer limx→0+F(x), puis en déduire que : ∫01f(t) dt=2ln 2−1.0.5
D. 2. c)Calculer en cm2, l'aire du domaine plan limité par la courbe (C), l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x=1.0.5
E. 1. a)Vérifier que : (∀k∈ℕ) ; 0≤Dk≤f(k)−f(k+1).0.25
E. 1. b)En déduire que : (∀n∈ℕ*) ; 0≤Sn≤12.0.5
E. 2. a)Montrer que la suite (Sn)n∈ℕ* est monotone.0.25
E. 2. b)En déduire que la suite (Sn)n∈ℕ* est convergente.0.25
E. 2. c)Montrer que la limite ℓ de la suite (Sn)n∈ℕ* vérifie : 32−2ln 2≤ℓ≤12.0.25
Exercice 2 — Nombres complexes
3.5 pt(s)
Partie I
Soit m un nombre complexe non nul donné et j=−12+√32i=ei2π3. On considère dans l'ensemble ℂ l'équation d'inconnue z : (Em) : z2+mj2z+m2j=0.
Partie II
Soit m un nombre complexe non nul donné et j=−12+√32i=ei2π3. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O,u,v). Soit φ la transformation du plan complexe qui à tout point M(z) fait correspondre le point M′(z′) tel que : z′=(1+j)z. On considère les points A, B et C d'affixes respectives m, mj et mj2 et on note A′(a′), B′(b′) et C′(c′) les images respectives des points A, B et C par l'application φ et soient P(p), Q(q) et R(r) les milieux respectifs des segments [BA′], [CB′] et [AC′].
1.Vérifier que : j3=1 et 1+j+j2=0.0.5
2. a)Montrer que le discriminant de l'équation (Em) est : Δ=(m(1−j))2.0.25
2. b)Déterminer z1 et z2 les deux solutions de l'équation (Em).0.5
3.Dans cette question, on suppose que : m=1+i. Montrer que (z1+z2)2022 est un imaginaire pur.0.5
1.Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l'application φ.0.25
2. a)Montrer que : a′=−mj2, b′=−m et c′=−mj.0.75
2. b)Montrer que : p+qj+rj2=0.0.25
2. c)En déduire que le triangle PQR est équilatéral.0.5
Exercice 3 — Arithmétique
3 pt(s)
Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1. On considère dans ℕ2 l'équation (En) : (x+1)n−xn=ny. Soit (x,y) une solution de l'équation (En) dans ℕ2 et soit p le plus petit diviseur premier de n.
1. a)Montrer que : (x+1)n≡xn [p].0.25
1. b)Montrer que p est premier avec x et avec (x+1).0.25
1. c)En déduire que : (x+1)p−1≡xp−1 [p].0.25
2.Montrer que si n est pair, alors l'équation (En) n'admet pas de solution dans ℤ2.0.5
3. a)On suppose que n est impair. Montrer qu'il existe un couple (u,v) de ℤ2 tel que : nu+(p−1)v=1. (On rappelle que p est le plus petit diviseur premier de n.)0.5
3. b)Soient q et r respectivement le quotient et le reste dans la division euclidienne de u par (p−1). Vérifier que : nr=1−(p−1)(v+nq).0.25
3. c)On pose : v′=−(v+nq). Montrer que : v′≥0.0.5
3. d)Montrer que l'équation (En) n'admet pas de solution dans ℤ2.0.5
Exercice 4 — Structures algébriques
3.5 pt(s)
On rappelle que (M2(ℝ),+,×) est un anneau unitaire non commutatif d'unité I=1001 et que (ℤ,+,×) est un anneau commutatif unitaire et intègre. Soit E={M(a,b)=a3bba / (a,b)∈ℤ2}.
1. a)Montrer que E est un sous-groupe de (M2(ℝ),+).0.25
1. b)Vérifier que pour tout a,b,c et d de ℤ, on a : M(a,b)×M(c,d)=M(ac+3bd, ad+bc).0.25
1. c)Montrer que (E,+,×) est un anneau commutatif et unitaire.0.5
2.Soit φ l'application définie de E vers ℤ par : ∀(a,b)∈ℤ2 ; φ(M(a,b))=|a2−3b2|. Montrer que φ est un homomorphisme de (E,×) vers (ℤ,×).0.5
3. a)Soit M(a,b)∈E. Montrer que M(a,b)×M(a,−b)=(a2−3b2).I.0.25
3. b)Montrer que si M(a,b) est inversible dans (E,×) alors φ(M(a,b))=1.0.5
3. c)On suppose que φ(M(a,b))=1. Montrer que M(a,b) est inversible dans (E,×) et préciser son inverse.0.5
4. a)Montrer que : ∀(a,b)∈ℤ2 ; φ(M(a,b))=0⟺a=b=0.0.25
4. b)En déduire que l'anneau (E,+,×) est intègre.0.25
4. c)Est-ce que (E,+,×) est un corps ? Justifier votre réponse.0.25