Exercice 1 — Analyse
8 pt(s)
Partie I
On considère la fonction f définie sur l'intervalle I=]−∞,1[ par : f(x)=ln(1−x). Soit (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i,j).
Partie II
Pour tout réel x et pour tout entier naturel n≥2, on pose : Pn(x)=x+x22+…+xnn.
1. a)Montrer que la fonction f est continue sur I.0.25
1. b)Montrer que la fonction f est strictement décroissante sur I.0.25
1. c)Calculer limx→1−f(x), limx→−∞f(x) et limx→−∞f(x)x.0.75
1. d)Interpréter graphiquement les résultats obtenus.0.5
1. e)Donner le tableau de variations de f.0.25
2. a)Montrer que la courbe (C) est concave.0.25
2. b)Représenter graphiquement la courbe (C) dans le repère (O,i,j).0.25
3. a)Montrer que f est une bijection de I vers ℝ. On note f−1 sa bijection réciproque.0.25
3. b)Déterminer f−1(x) pour x∈ℝ.0.25
3. c)Vérifier que : f−1(−1)=1−e−1.0.25
1.Montrer que pour tout entier n≥2, il existe un unique réel xn∈]0,1[ tel que : Pn(xn)=1.0.5
2.Déterminer le réel α=x2 et vérifier que : 0<α<1.0.5
3. a)Montrer que : pour tout entier n≥2, on a : Pn+1(xn)>1.0.5
3. b)En déduire que la suite (xn)n≥2 ainsi définie est strictement décroissante.0.5
3. c)Montrer que pour tout entier n≥2, on a : xn∈]0,α].0.25
3. d)Montrer que la suite (xn)n≥2 est convergente.0.25
4. a)Pour tout réel x∈I et pour tout entier n≥2, on pose : fn(x)=f(x)+Pn(x). Montrer que : (∀x∈I) ; (∀n≥2) fn′(x)=−xn1−x.0.5
4. b)Montrer que : (∀x∈[0,α]) ; (∀n≥2) |fn′(x)|≤αn1−α.0.25
4. c)En déduire que : (∀x∈[0,α]) ; (∀n≥2) |fn(x)|≤αn1−α.0.5
4. d)Montrer que : (∀n≥2) |f(xn)+1|≤αn1−α.0.5
4. e)En déduire la valeur de limn→+∞xn.0.5
Exercice 2 — Analyse
4 pt(s)
On considère la fonction F définie sur ℝ par : F(x)=∫0xet−t22 dt.
1. a)Déterminer le signe de F(x) en fonction de x.0.5
1. b)Montrer que F est dérivable sur ℝ et calculer sa dérivée première F′(x).1
2. a)En utilisant la méthode d'intégration par partie, montrer que : ∫01F(x) dx=∫01(1−x)ex−x22 dx.0.5
2. b)Calculer ∫01F(x) dx.0.5
3. a)On considère la suite (un)n≥1 définie par : (∀n∈ℕ*) un=1nk=n−1∑k=0((n−k)∫knk+1nex−x22 dx). Vérifier que : (∀n∈ℕ*) un=1nk=n−1∑k=0(n−k)F(k+1n)−1nk=n−1∑k=0(n−k)F(kn).0.5
3. b)Montrer que : (∀n∈ℕ*) un=1nk=n∑k=1F(kn).0.5
3. c)En déduire que la suite (un)n≥1 est convergente et déterminer sa limite.0.5
Exercice 3 — Nombres complexes
4 pt(s)
m est un nombre complexe différent de 2 et de −i. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v). On considère dans l'ensemble ℂ l'équation d'inconnue z : (E) : z2−(m−i)z−im=0.
1. a)Vérifier que le discriminant de l'équation (E) est (m+i)2.0.5
1. b)Déterminer z1 et z2 les deux solutions de (E).0.5
1. c)Sachant que m=eiπ8 ; écrire le nombre z1+z2 sous forme exponentielle.0.75
2. a)On considère les points A, B et M d'affixes respectifs 2, −i et m et soit M′ le symétrique de M par rapport à l'axe imaginaire. Déterminer en fonction de m l'affixe de M′.0.5
2. b)Déterminer en fonction de m l'affixe du point N tel que le quadrilatère ANM′B soit un parallélogramme.0.75
2. c)Montrer que les deux droites (AM) et (BM′) sont perpendiculaires si et seulement si Re((2−i)m)=Re(m2).1
Exercice 4 — Arithmétique
4 pt(s)
Soit a un entier naturel supérieur ou égal à 2 et soit A=1+a+a2+a3+a4+a5+a6. Soit p un nombre premier impair tel que : p divise A.
1. a)Montrer que a7≡1 [p], en déduire que ∀n∈ℕ ; a7n≡1 [p].1
1. b)Montrer que a et p sont premiers entre eux, en déduire que : ∀m∈ℕ ; a(p−1)m≡1 [p].1
2. a)On suppose que 7 ne divise pas p−1. Montrer que : a≡1 [p].0.5
2. b)En déduire que : p=7.0.5
3.Montrer que si p un nombre premier impair tel que : p divise A alors : p=7 ou p≡1 [7].1