Sujet national
National 2017 · SM · session normale
NS 25 · 4 heures · Mathématiques · SM
Exercice 1 — Structures algébriques
3.5 pt(s)
On rappelle que (M3(ℝ),+,×) est un anneau unitaire de zéro la matrice nulle O=000000000 et d'unité la matrice I=100010001, et que (ℂ,+,×) est un corps commutatif. On pose A=100110111 et, pour tout (a,b) de ℝ2, M(a,b)=ab−b000b−aa. On considère l'ensemble E={M(a,b) / (a,b)∈ℝ2}.
1.Montrer que E est un sous-groupe du groupe (M3(ℝ),+).0.5
2.On définit dans M3(ℝ) la loi de composition interne T par : (∀(a,b,c,d)∈ℝ4) M(a,b) T M(c,d)=M(a,b)×A×M(c,d). Vérifier que E est stable dans (M3(ℝ),T).0.5
3. a)Soit φ l'application de ℂ* dans E qui à tout nombre complexe non nul a+ib (où (a,b)∈ℝ2) fait correspondre la matrice M(a,b) de E. Vérifier que φ est un homomorphisme de (ℂ*,×) vers (E,T) et que φ(ℂ*)=E* où E*=E∖{M(0,0)}.0.75
3. b)En déduire que (E*,T) est un groupe commutatif dont on déterminera l'élément neutre J.0.75
4. a)Montrer que la loi de composition interne « T » est distributive par rapport à la loi de composition interne « + » dans E.0.5
4. b)En déduire que (E,+,T) est un corps commutatif.0.5
Exercice 2 — Nombres complexes
3.5 pt(s)
Partie I
Soit m un nombre complexe non nul. On considère dans ℂ l'équation (E) : 2z2−2(m+1+i)z+m2+(1+i)m+i=0.
Partie II
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O,e1,e2). On suppose que m∈ℂ∖{0,1,i} et on pose z1=1+i2(m+1) et z2=1−i2(m+i). On considère les points A, B, M, M1 et M2 d'affixes respectifs 1, i, m, z1 et z2.
1.Vérifier que le discriminant de l'équation (E) est : Δ=(2im)2.0.5
2.Résoudre dans ℂ l'équation (E).0.5
1. a)Vérifier que : z1=iz2+1.0.25
1. b)Montrer que M1 est l'image de M2 par la rotation de centre le point Ω d'affixe ω=1+i2 et d'angle de mesure π2.0.5
2. a)Vérifier que : z2−mz1−m=i m−1m−i.0.5
2. b)Montrer que si les points M, M1 et M2 sont alignés alors M appartient au cercle (Γ) de diamètre [AB].0.5
2. c)Déterminer l'ensemble des points M pour que les points Ω, M, M1 et M2 soient cocycliques (remarquer que : z1−ωz2−ω=i).0.75
Exercice 3 — Arithmétique
3 pt(s)
On admet que 2017 est un nombre premier, et que 2016=25×32×7. Soit p un nombre premier supérieur ou égal à 5. Dans toute la question 1, (x,y) désigne un couple de ℕ*×ℕ* tel que px+yp−1=2017.
1. a)Vérifier que : p<2017.0.25
1. b)Montrer que : p ne divise pas y.0.5
1. c)Montrer que : yp−1≡1 [p] et en déduire que p divise 2016.0.75
1. d)Montrer que : p=7.0.5
2.Déterminer, suivant les valeurs de p, les couples (x,y) de ℕ*×ℕ* vérifiant : px+yp−1=2017.1
Exercice 4 — Analyse
10 pt(s)
Partie I
On considère la fonction numérique f définie sur [0,+∞[ par f(0)=0 et (∀x∈]0,+∞[) f(x)=(1+1x)e−1x. Soit (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O,i,j) (on prend ‖i‖=‖j‖=2 cm).
Partie II
On considère la fonction numérique F définie sur [0,+∞[ par F(x)=∫x1f(t) dt, où f est la fonction de la partie I, définie sur [0,+∞[ par :f(x)=(1+1x)e−1xsi x>00si x=0.
Partie III
La fonction f est celle de la partie I, définie sur [0,+∞[ par :f(x)=(1+1x)e−1xsi x>00si x=0.
1. a)Montrer que la fonction f est continue à droite en 0.0.25
1. b)Montrer que la fonction f est dérivable à droite en 0.0.5
1. c)Montrer que la fonction f est dérivable sur ]0,+∞[ puis calculer f′(x) pour tout x dans l'intervalle ]0,+∞[.0.5
2. a)Calculer limx→+∞f(x) puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.0.5
2. b)Donner le tableau de variation de la fonction f.0.25
3. a)Montrer que la courbe (C) admet un point d'inflexion I dont on déterminera les coordonnées.0.75
3. b)Tracer la courbe (C) (On prend : f(1)≃0,7 et 4e−3≃0,2).0.5
1.Montrer que la fonction F est continue sur l'intervalle [0,+∞[.0.25
2. a)En utilisant la méthode d'intégration par parties, montrer que : (∀x∈]0,+∞[) ∫x1e−1t dt=e−1−xe−1x−∫x11te−1t dt.0.5
2. b)Déterminer ∫x1(1+1t)e−1t dt pour tout x de ]0,+∞[.0.25
2. c)Montrer que : ∫01f(t) dt=e−1.0.5
3.Calculer en cm2, l'aire du domaine plan limité par la courbe (C) et les droites d'équations : x=0, x=2 et y=0.0.5
4. a)On considère la suite numérique (un)n≥0 définie par : un=F(n)−F(n+2). En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que pour tout entier naturel n, il existe un réel vn de l'intervalle ]n,n+2[ tel que : un=2(1+1vn)e−1vn.0.5
4. b)Montrer que : (∀n∈ℕ*) 2(1+1n)e−1n≤un≤2(1+1n+2)e−1n+2.0.25
4. c)En déduire limn→+∞un.0.25
1. a)Montrer que pour tout entier naturel non nul n, il existe un nombre réel strictement positif unique an tel que : f(an)=e−1n.0.5
1. b)Montrer que la suite numérique (an)n≥1 est croissante.0.25
1. c)Vérifier que : (∀n∈ℕ*) −1an+ln(1+1an)=−1n.0.25
2. a)Montrer que : (∀t∈[0,+∞[) 1−t≤11+t≤1−t+t2.0.25
2. b)Montrer que : (∀x∈[0,+∞[) −x22≤−x+ln(1+x)≤−x22+x33.0.5
3. a)Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 4. Vérifier que : a4≥1, en déduire que an≥1 (On admettra que : e34≥2).0.5
3. b)Montrer que : 1−23an≤2an2n≤1 (On pourra utiliser les questions 1-c) et 2-b) de la partie 3).0.5
3. c)Montrer que : √n6≤an (On pourra utiliser les questions 3-a) et 3-b)), en déduire limn→+∞an.0.5
3. d)Déterminer limn→+∞an√2n.0.5