Sujet national
National 2013 · SM · session rattrapage
RS25 · 4 heures · Mathématiques · SM
Exercice 1 — Structures algébriques
3.5 pt(s)
Partie I
Les parties I et II sont indépendantes. I — Pour tout x et y de l'intervalle G=]1,2[ on pose : x*y=2(x−1)(y−1)+(x−2)(y−2)(x−1)(y−1)+(x−2)(y−2).
Partie II
Les parties I et II sont indépendantes. II — On rappelle que (M3(ℝ),+,×) est un anneau unitaire dont le zéro est O=000000000 et l'unité est I=100010001, et que (M3(ℝ),+,·) est un espace vectoriel réel, et on pose : A=032001000.
1.Montrer que * est une loi de composition interne dans G.0.5
2. a)On rappelle que (ℝ*+,×) est un groupe commutatif. On considère l'application f de ℝ*+ vers G définie par : f(x)=x+2x+1. Montrer que f est un isomorphisme de (ℝ*+,×) dans (G,*).0.75
2. b)En déduire que (G,*) est un groupe commutatif dont on déterminera l'élément neutre.0.5
1. a)Vérifier que : A3=O et en déduire que A est un diviseur de zéro dans l'anneau (M3(ℝ),+,×).0.5
1. b)Vérifier que : (A2−A+I)(A+I)=I, en déduire que la matrice A+I admet un inverse dans (M3(ℝ),+,×) que l'on déterminera.0.5
2.Pour tout a et b de ℝ on pose : M(a,b)=aI+bA et l'on considère l'ensemble E={M(a,b) / (a,b)∈ℝ2}. Montrer que (E,+,·) est un espace vectoriel réel dont on déterminera une base.0.75
Exercice 2 — Calcul des probabilités
3 pt(s)
Partie I
Une urne contient 3 boules rouges et 4 boules noires indiscernables au toucher. I — On tire au hasard successivement et avec remise quatre boules de l'urne, et on considère la variable aléatoire X égale au nombre de boules noires tirées.
Partie II
Une urne contient 3 boules rouges et 4 boules noires indiscernables au toucher. II — On réalise l'expérience aléatoire suivante en trois étapes : Étape 1 : on tire une boule de l'urne, on marque sa couleur et on la remet dans l'urne. Étape 2 : on ajoute dans l'urne 5 boules de même couleur que la boule tirée à l'étape 1. Étape 3 : on tire successivement et sans remise 3 boules de l'urne qui contient alors 12 boules après l'étape 2. On considère les évènements suivants : N « la boule tirée à l'étape 1 est noire », R « la boule tirée à l'étape 1 est rouge », E « toutes les boules tirées à l'étape 3 sont noires ».
1.Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.1
2.Calculer E(X) l'espérance mathématique de la variable aléatoire X.0.5
1.Montrer que : p(E∩N)=1255.0.5
2.Calculer p(E).0.5
3.Calculer la probabilité de l'événement R sachant que E est realisé.0.5
Exercice 3 — Nombres complexes
3.5 pt(s)
Partie I
I — Soit a un nombre complexe différent de 1. On considère dans l'ensemble ℂ l'équation : (E) : 2z2−2(a−1)z+(a−1)2=0.
Partie II
II — Le plan complexe étant rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v). Le nombre a et les nombres z1 et z2 sont ceux de la première partie, avec a=eiθ et 0<θ<π. On admet que Re(a)<0 et on considère les points A(a), B(−i), C(i) et B′(1).
1.Montrer que : z1=(a−1)2(1+i) et z2=(a−1)2(1−i) sont les deux solutions de l'équation (E).0.5
2. a)On prend a=eiθ avec 0<θ<π. Montrer que : a−1=2sinθ2 ei(θ+π2).0.5
2. b)En déduire la forme trigonométrique de z1 et z2.1
1.Déterminer en fonction de a, les affixes des points J et K milieux respectifs de [AC] et [AB].0.5
2.Soit r1 la rotation de centre J et d'angle π2 et r2 la rotation de centre K et d'angle π2. On pose C′=r1(C) et A′=r2(A) et soient c′ l'affixe de C′ et a′ l'affixe de A′. Montrer que : a′=z1 et c′=z2.0.5
3.Calculer a′−c′a−1 et en déduire que la droite (AB′) est une hauteur du triangle A′B′C′.0.5
Exercice 4 — Analyse
8.25 pt(s)
Soit f la fonction numérique définie sur [0,+∞[ par : f(x)=1√1+x2ln2xf(0)=1 Soit F la fonction numérique définie sur [0,+∞[ par : F(x)=∫0xf(t) dt, et soit (CF) la courbe représentative de F dans un repère orthonormé (O ; i,j).
1. a)Montrer que f est continue à droite au point 0, puis calculer limx→+∞f(x).0.5
1. b)Étudier la dérivabilité de f à droite au point 0 (on pourra utiliser le résultat limx→0+xln2x=0).0.5
1. c)Montrer que f est dérivable sur ]0,+∞[ et que : (∀x>0) ; f′(x)=−xln x(1+ln x)(1+x2ln2x)32.0.5
1. d)Donner le tableau de variation de la fonction f.0.5
2. a)Déterminer une primitive de la fonction x↦1xln x sur l'intervalle [e,+∞[.0.25
2. b)Montrer que : (∀t≥e) ; tln t≤√1+t2ln2t≤√2 tln t.0.5
2. c)Montrer que : (∀x≥e) ; 1√2ln(ln x)≤∫ex1√1+t2ln2t dt≤ln(ln x).0.75
2. d)En déduire que : limx→+∞F(x)=+∞ et limx→+∞F(x)x=0.0.5
2. e)Montrer que (CF) admet deux points d'inflexions dont on déterminera les abscisses.0.5
2. f)Construire (CF) (on prend F(1)≃0,5 et F(1e)≃0,4).1
3. a)Pour tout x de [0,+∞[ on pose : φ(x)=x−F(x). Montrer que limx→+∞φ(x)=+∞ et étudier les variations de φ.0.75
3. b)Montrer que pour tout entier naturel n, l'équation φ(x)=n admet une seule solution αn dans l'intervalle [0,+∞[.0.5
3. c)Montrer que : (∀n∈ℕ) ; αn≥n puis calculer : limn→+∞αn.0.5
4. a)Montrer que : (∀n≥1) ; 0≤F(αn)αn≤F(n)n+f(n) (on pourra utiliser le théorème des accroissements finis).0.5
4. b)Calculer : limn→+∞αnn.0.5
Exercice 5 — Analyse
1.75 pt(s)
Pour tout entier naturel non nul n on pose : un=(arctan(n)arctan(n+1))n2 et vn=ln(un).
1.Vérifier que : (∀n≥1) ; vn=n2(ln(arctan(n))−ln(arctan(n+1))).0.25
2.En utilisant le théorème des accroissements finies, montrer que : (∀n≥1) (∃c∈]n,n+1[) ; vn=−n2(1+c2)arctan(c).0.5
3.Montrer que : (∀n≥1) ; −n2(1+n2)arctan(n)<vn<−n2(1+(n+1)2)arctan(n+1).0.5
4.Calculer : limn→+∞un.0.5