Sujet national
National 2013 · SM · session normale
NS25 · 4 heures · Mathématiques · SM
Exercice 1 — Structures algébriques
3.5 pt(s)
On rappelle que (ℤ,+,×) est un anneau commutatif, unitaire et intègre.
1. a)On munit ℤ de la loi de composition interne * définie par : (∀(x,y)∈ℤ2) ; x*y=x+y−2. Montrer que la loi * est commutative et associative.0.5
1. b)Montrer que (ℤ,*) admet un élément neutre que l'on déterminera.0.25
1. c)En déduire que (ℤ,*) est un groupe commutatif.0.5
2. a)On munit ℤ de la loi de composition interne T définie par : (∀(x,y)∈ℤ2) ; xTy=xy−2x−2y+6, et on considère l'application f de ℤ dans ℤ définie par : (∀x∈ℤ) ; f(x)=x+2. Montrer que l'application f est un isomorphisme de (ℤ,×) dans (ℤ,T).0.5
2. b)Montrer que : (∀(x,y,z)∈ℤ3) ; (x*y)Tz=(xTz)*(yTz).0.25
3.En déduire de tout ce qui précède que (ℤ,*,T) est un anneau commutatif et unitaire.0.75
4. a)Montrer que : xTy=2 si est seulement si (x=2 ou y=2).0.25
4. b)En déduire que l'anneau (ℤ,*,T) est intègre.0.25
4. c)(ℤ,*,T) est-il un corps ? (justifier votre réponse)0.25
Exercice 2 — Nombres complexes
3.5 pt(s)
Partie I
I — Soit a un nombre complexe non nul. Soit dans l'ensemble ℂ l'équation d'inconnue z : (E) : 2z2−(3+i√3)az+(1+i√3)a2=0.
Partie II
II — Le plan complexe étant muni d'un repère orthonormé direct (O,u,v). On considère les points A, B et M d'affixes respectifs a, b=aeiπ3 et z. Soit r la rotation de centre M et d'angle π3. On pose A1=r−1(A) et B1=r(B) (r−1 désigne la rotation réciproque de r) et soient a1 et b1 les affixes respectifs de A1 et B1.
1.Vérifier que le discriminant de l'équation (E) est : (−1+i√3)2a2.0.25
2.Résoudre dans ℂ l'équation (E).0.5
1.Vérifier que le triangle OAB est équilatéral.0.5
2. a)Montrer que : a1=(12−i√32)a+(12+i√32)z et b1=(−12+i√32)a+(12−i√32)z.0.5
2. b)Montrer que le quadrilatère OA1MB1 est un parallélogramme.0.5
3. a)On suppose que : M≠A et M≠B. Montrer que : z−b1z−a1=−z−bz−a×ab.0.5
3. b)Montrer que M, A1 et B1 sont alignés si et seulement si M, O, A et B sont cocycliques.0.75
Exercice 3 — Arithmétique
3 pt(s)
L'objectif de l'exercice est de chercher les entiers naturels n strictement supérieurs à 1 et qui vérifient la propriété suivante : (R) : 3n−2n≡0 [n].
1. a)On suppose que n vérifie la propriété (R) et soit p le plus petit diviseur premier positif de n. Montrer que : 3n−2n≡0 [p], en déduire que p≥5.0.75
1. b)Montrer que : 2p−1≡1 [p] et 3p−1≡1 [p].0.5
1. c)Montrer qu'il existe un couple (a,b) de ℤ2 tel que : an−b(p−1)=1.0.5
1. d)Soient r et q le reste et le quotient de la division euclidienne de a par p−1 (a=q(p−1)+r avec 0≤r<p−1 et q∈ℤ). Montrer qu'il existe un entier naturel k tel que : rn=1+k(p−1).0.5
2.En déduire de tout ce qui précède qu'il n'existe pas d'entier naturel n strictement supérieur à 1 vérifiant (R).0.75
Problème — Analyse
10 pt(s)
On considère la fonction numérique h définie sur l'intervalle [1,+∞[ par : h(1)=1 et (∀x>1) ; h(x)=x−1xln x.
Partie II
On considère la fonction numérique g définie sur l'intervalle [1,+∞[ par : g(1)=ln 2 et (∀x>1) ; g(x)=∫xx21√tln t dt. Soit (C) la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthonormé (O,i,j).
1. a)Montrer que la fonction h est continue à droite en 1.0.25
1. b)Montrer que : (∀x>1) ; ln x<x−1, en déduire que la fonction h est strictement décroissante sur l'intervalle ]1,+∞[.0.75
2. a)Calculer limx→+∞h(x) puis donner le tableau de variations de h.0.5
2. b)En déduire que : (∀x≥1) ; 0<h(x)≤1.0.25
1. a)Vérifier que : (∀x>1) ; ∫xx21tln t dt=ln 2.0.25
1. b)Vérifier que : (∀x>1) ; g(x)−ln 2=∫xx2√t−1tln t dt.0.25
1. c)Montrer que : (∀x>1) ; g(x)−ln 2=∫√xxt−1tln t dt.0.5
2. a)Montrer que : (∀x>1) ; (x−√x)h(x)≤g(x)−ln 2≤(x−√x)h(√x).0.5
2. b)En déduire que la fonction g est dérivable à droite au point 1.0.5
2. c)Montrer que : limx→+∞g(x)=+∞ et que limx→+∞g(x)x=0.0.75
3. a)Montrer que g est dérivable sur l'intervalle ]1,+∞[ et que : (∀x>1) ; g′(x)=12h(√x).0.75
3. b)En déduire que : (∀x≥1) ; 0<g′(x)≤12, puis donner le tableau de variations de g.0.5
3. c)Construire la courbe (C).0.5
1.I-1- Montrer que la fonction k : x↦g(x)−x+1 est une bijection de l'intervalle [1,+∞[ dans l'intervalle ]−∞,ln 2].0.5
2.En déduire qu'il existe un unique réel α de l'intervalle ]1,+∞[ qui vérifie : 1+g(α)=α.0.25
1. a)II- On considère la suite numérique (un)n≥0 définie par : 1≤u0<α et (∀n≥0) ; un+1=1+g(un). Montrer que : (∀n≥0) ; 1≤un<α.0.5
1. b)Montrer que la suite (un)n≥0 est strictement croissante.0.5
1. c)En déduire que la suite (un)n≥0 est convergente et que limn→+∞un=α.0.75
2. a)Montrer que : (∀n≥0) ; |un+1−α|≤12|un−α|.0.5
2. b)Montrer que : (∀n≥0) ; |un−α|≤(12)n|u0−α|.0.5
2. c)En déduire une deuxième fois, que : limn→+∞un=α.0.25