Sujet national
National 2012 · SM · session rattrapage
RS25 · 4 heures · Mathématiques · SM
Exercice 1 — Structures algébriques
3.5 pt(s)
Partie I
Les deux parties I et II sont indépendantes. I — Pour tout a et b de l'intervalle I=[1,+∞[ on pose : a⊥b=(√a+√b−1)2.
Partie II
Les deux parties I et II sont indépendantes. II — On rappelle que (M2(ℝ),+,×) est un anneau unitaire. On considère l'ensemble E={M(x)=x2(x−1)01 / x∈ℝ*}.
1.Montrer que ⊥ est une loi de composition interne dans I.0.5
2.Montrer que la loi ⊥ est commutative et associative.0.5
3.Montrer que (I,⊥) admet un élément neutre.0.25
1.Montrer que E est une partie stable de (M2(ℝ),×).0.5
2. a)On considère l'application φ de ℝ* vers E qui à x associe M(x). Montrer que φ est un isomorphisme de (ℝ*,×) vers (E,×).0.5
2. b)En déduire la structure de (E,×).0.5
2. c)Montrer que l'ensemble H={2n2n+1−201 / n∈ℤ} est un sous groupe de (E,×).0.75
Exercice 2 — Nombres complexes
3.5 pt(s)
Partie I
Les parties I et II sont indépendantes. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; u,v). I — On considère dans l'ensemble ℂ l'équation : (E) z2−4(1+23i)z+53+4i=0.
Partie II
Les parties I et II sont indépendantes. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; u,v). II — On considère trois points distincts deux à deux A, B et Ω, d'affixes respectifs les nombres complexes a, b et ω. Soit r la rotation de centre Ω et d'angle π3. On pose P=r(A) et B=r(Q), et soient p et q les affixes respectifs des points P et Q.
1. a)Vérifier que z1=1+23i est une solution de l'équation (E).0.5
1. b)Montrer que la deuxième solution de l'équation (E) est z2=3z1.0.25
2.Soit θ un argument du nombre complexe z1. Écrire en fonction de θ la forme trigonométrique du nombre complexe 53+4i.0.5
1. a)Montrer que : p=ω+eiπ3(a−ω) et q=ω+e−iπ3(b−ω).0.5
1. b)Montrer que : 1−eiπ31−e−iπ3=ei4π3.0.25
1. c)Montrer que : p−aq−b=ω−aω−bei4π3.0.5
2. a)On suppose que ω−aω−b=ei2π3. Montrer que APQB est un parallélogramme.0.25
2. b)Montrer que arg(b−ap−a)≡π2 [2π], en déduire que APQB est un rectangle.0.75
Exercice 3 — Arithmétique
3 pt(s)
1. a)Vérifier que le nombre 503 est premier.0.25
1. b)Montrer que 7502≡1 [503] ; en déduire que 72008≡1 [503].0.75
2.On considère dans ℤ2 l'équation (E) : 49x−6y=1. Sachant que (1,8) est une solution particulière de l'équation (E), résoudre dans ℤ2 l'équation (E) en précisant les étapes de la résolution.0.5
3. a)On pose N=1+7+72+…+72007. Montrer que le couple (72006,N) est solution de l'équation (E).0.25
3. b)Montrer que N≡0 [4] et N≡0 [503].1
3. c)En déduire que le nombre N est divisible par 2012.0.25
Exercice 4 — Analyse
7.5 pt(s)
Partie I
I — Soit g la fonction numérique définie sur [0,+∞[ par : g(x)=ln(1+x)−x1+x.
Partie II
II — Soit f la fonction numérique définie sur ℝ par : f(x)=exln(1+e−x). La fonction g est celle de la première partie : g(x)=ln(1+x)−x1+x sur [0,+∞[.
1.Étudier les variations de g sur [0,+∞[.0.5
2.En déduire le signe de g(x) sur l'intervalle [0,+∞[.0.5
1.Montrer que limx→+∞f(x)=1 et limx→−∞f(x)=0.1
2.Montrer que pour tout réel x on a : f′(x)=exg(e−x).0.5
3.Dresser le tableau de variations de f.0.5
4.Construire la courbe (C) représentative de la fonction f et la courbe (C′) représentative de la fonction (−f) dans le même repère (O ; i,j) (on admet que −0,7 est une valeur approchée de l'abscisse du seul point d'inflexion de la courbe (C)).1
5.Montrer que pour tout x de l'intervalle [−1,0] on a : 0<f′(x)≤g(e).0.75
6.Montrer que l'équation f(x)+x=0 admet un solution unique α dans ℝ et que −1<α<0.0.75
7. a)On considère la suite (un)n∈ℕ définie par : u0=0 et un+1=−f(un) pour tout n de ℕ. Montrer que : (∀n∈ℕ) ; −1≤un≤0.0.5
7. b)Montrer que : (∀n∈ℕ) ; |un+1−α|≤g(e)|un−α|.0.75
7. c)En déduire que : (∀n∈ℕ) ; |un−α|≤(g(e))n.0.5
7. d)Sachant que g(e)<0,6, calculer limn→+∞un.0.25
Exercice 5 — Analyse
2.5 pt(s)
On considère la fonction F définie sur ]0,+∞[ par : F(x)=∫1xxln t1+t2 dt.
1.Calculer F(1).0.25
2. a)Montrer que F est dérivable sur ]0,+∞[ et calculer F′(x).0.75
2. b)En déduire que pour tout x de l'intervalle ]0,+∞[ on a : F(x)=0.0.5
3.En utilisant une intégration par parties, montrer que : (∀x>0) ; F(x)=(arctan x+arctan1x)ln x−∫1xxarctan tt dt.0.5
4.Montrer que : (∀x>0) ; arctan1x=π2−arctan x.0.25
5.Déduire que : (∀x>0) ; ln x=2π∫1xxarctan tt dt.0.25