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Sujet national
National 2011 · SM · session rattrapage
Exercice 1 — Structures algébriques
3.5 pt(s)Pour tout x et y de l'intervalle I=]0,1[ on pose : x*y=xyxy+(1−x)(1−y).
1. a)Montrer que * est une loi de composition interne dans I.0.5
1. b)Montrer que la loi * est commutative et associative.0.5
1. c)Montrer que (I,*) admet un élément neutre que l'on déterminera.0.5
2.Montrer que (I,*) est un groupe commutatif.0.5
3. a)On considère les deux ensembles H={2n / n∈ℤ} et K={11+2n / n∈ℤ}. Montrer que H est un sous-groupe de (ℝ*+,×).0.5
3. b)On considère l'application φ de H vers I qui à x associe 11+x. Montrer que φ est un homomorphisme de (H,×) vers (I,*).0.5
3. c)En déduire que K est un sous-groupe de (I,*).0.5
Exercice 2 — Arithmétique
2.5 pt(s)Soit x un nombre entier naturel tel que : 10x≡2 [19].
1. a)Vérifier que : 10x+1≡1 [19].0.25
1. b)Montrer que : 1018≡1 [19].0.5
2. a)Soit d le plus grand diviseur commun des deux nombres 18 et x+1. Montrer que : 10d≡1 [19].0.75
2. b)Montrer que : d=18.0.5
2. c)En déduire que : x≡17 [18].0.5
Exercice 3 — Nombres complexes
4 pt(s)Partie I
Première partie. On considère dans l'ensemble ℂ l'équation : (E) z3−(1+2i)z2+3(1+i)z−10(1+i)=0.
Partie II
Deuxième partie. Le plan complexe étant rapporté à un repère orthonormé direct. On considère les points A, B et C d'affixes respectifs a=−1+3i, b=−2i et c=2+i.
1.Vérifier que −2i est une solution de l'équation (E).0.5
2.Déterminer les deux nombres complexes α et β tels que : (∀z∈ℂ) z3−(1+2i)z2+3(1+i)z−10(1+i)=(z+2i)(z2+αz+β).0.5
3. a)Déterminer les deux racines carrées du nombre 5−12i.0.5
3. b)Résoudre dans ℂ l'équation (E).0.5
1.Montrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle en C.0.5
2. a)On considère la rotation R1 de centre B et dont une mesure de l'angle est π3 et la rotation R2 de centre A et dont une mesure de l'angle est (−2π3). Soit M un point du plan complexe d'affixe z et M1 son image par la rotation R1 et M2 son image par la rotation R2. Vérifier que l'expression complexe de la rotation R1 est : z′=(1+i√32)z−√3−i.0.5
2. b)Déterminer z2 l'affixe de M2 en fonction de z.0.5
2. c)En déduire que I, le milieu du segment [M1M2], est un point fixe.0.5
Exercice 4 — Analyse
6 pt(s)Soit f la fonction numérique définie sur ]0,+∞[ par f(x)=x+ln x, et (C) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé (O ; i,j) (on prendra ‖i‖=‖j‖=1 cm).
1.Calculer les limites suivantes : limx→+∞f(x) ; limx→0+f(x) ; limx→+∞f(x)x et limx→+∞(f(x)−x).1
2. a)Dresser le tableau de variations de la fonction f.0.25
2. b)Montrer que f est une bijection de l'intervalle ]0,+∞[ vers un intervalle J que l'on déterminera puis dresser le tableau de variation de la bijection réciproque f−1.0.75
3.Calculer f(1) et f(e) puis construire (C) et (C′) la courbe représentative de f−1 dans le même repère (O ; i,j).0.75
4. a)Calculer l'intégrale ∫1e+1f−1(x) dx (on posera : t=f−1(x)).0.5
4. b)En déduire l'aire du domaine plan limité par (C′) et les droites d'équations : x=1 ; x=e+1 et y=x.0.5
5. a)Pour tout entier naturel non nul n, on considère l'équation : (En) x+ln x=n. Montrer que l'équation (En) admet une solution unique xn.0.25
5. b)Déterminer la valeur de x1 puis montrer que : limn→+∞xn=+∞.0.5
6. a)Montrer que : (∀n∈ℕ*) f(xn)≤f(n) ; en déduire que : (∀n∈ℕ*) xn≤n.0.5
6. b)Montrer que : (∀n∈ℕ*) n−ln(n)≤xn.0.5
6. c)Calculer limn→+∞xn−nn et limn→+∞xnn−ln(n).0.5
Exercice 5 — Analyse
4 pt(s)Soit n un entier naturel non nul et fn la fonction numérique définie sur ℝ par : fn(x)=−1+x+x22+……+xnn.
1.Montrer que pour n≥2 il existe un réel unique αn de l'intervalle ]0,1[ tel que : fn(αn)=0.0.5
2.Montrer que la suite (αn)n≥2 est strictement décroissante, en déduire qu'elle est convergente (on pose : ℓ=limn→+∞αn).0.75
3. a)Vérifier que pour t≠1 on a : 1+t+t2……+tn−1=11−t−tn1−t.0.5
3. b)En déduire que : αn+αn22+……+αnnn=−ln(1−αn)−∫0αntn1−t dt.0.5
4. a)Montrer que : (∀n≥2) 1+ln(1−αn)=−∫0αntn1−t dt.0.5
4. b)Montrer que : (∀n≥2) 0≤∫0αntn1−t dt≤1(n+1)(1−αn).0.5
4. c)En déduire que : ℓ=1−e−1.0.75
Le corrigé entier, question par question, avec le barème.
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