Sujet national
National 2011 · SM · session normale
NS25 · 4 heures · Mathématiques · SM
Exercice 1 — Structures algébriques
4 pt(s)
Partie I
Les deux parties sont indépendantes. Première partie : dans l'anneau (M3(ℝ),+,×) on considère les deux matrices suivantes : I=100010001 et A=√22√220√22−√220001. (On pose : A0=I et A1=A et A2=A×A et An+1=An×A pour tout n de ℕ.)
Partie II
Les deux parties sont indépendantes. Deuxième partie : soit a un nombre réel. Pour tout x et y de l'intervalle I=]a,+∞[ on pose : x*y=(x−a)(y−a)+a.
1.Montrer que : (∀k∈ℕ) A2k=I.0.5
2.Montrer que A admet une matrice inverse A−1 que l'on déterminera.0.5
1. a)Montrer que * est une loi de composition interne dans I.0.5
1. b)Montrer que la loi * est commutative et associative.0.5
1. c)Montrer que (I,*) admet un élément neutre que l'on déterminera.0.5
2.Montrer que (I,*) est un groupe commutatif.0.5
3. a)On considère l'application φ de I vers ℝ*+ qui à x associe 1x−a. Montrer que φ est un isomorphisme de (I,*) vers (ℝ*+,×).0.5
3. b)Résoudre dans l'ensemble I l'équation : x(3)=a3+a où x(3)=x*x*x.0.5
Exercice 2 — Arithmétique
2.5 pt(s)
Soit N l'entier naturel dont l'écriture dans la base décimale est : N=11………12010 fois 1.
1.Montre que le nombre N est divisible par 11.0.25
2. a)Vérifier que le nombre 2011 est premier et que 102010−1=9N.0.75
2. b)Montrer que le nombre 2011 divise le nombre 9N.0.5
2. c)En déduire que le nombre 2011 divise le nombre N.0.5
3.Montrer que le nombre N est divisible par 22121.0.5
Exercice 3 — Nombres complexes
3.5 pt(s)
Partie I
Première partie : soit m un nombre complexe non nul. On considère dans l'ensemble ℂ l'équation d'inconnue z : (Em) : z2+[(1−i)m−4]z−im2−2(1−i)m+4=0.
Partie II
Deuxième partie : dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v), on considère l'application S qui au point M d'affixe z fait correspondre le point M′ d'affixe z′ tel que : z′−1=−(z−1), et la rotation R de centre le point Ω d'affixe (1+i) et d'angle π2, et soit z″ l'affixe du point M″=R(M).
1.Vérifier que le nombre z1=−m+2 est solution de l'équation (Em).0.5
2. a)Soit z2 la deuxième solution de l'équation (Em). Montrer que : z1z2=1⟺im2+2(1−i)m−3=0.0.5
2. b)Déterminer les deux valeurs de m pour lesquelles on a : z1z2=1.1
1. a)Montrer que l'application S est la symétrie centrale de centre le point d'affixe 1.0.25
1. b)Montrer que : z″=iz+2.0.25
2. a)Soit A le point d'affixe 2. On suppose que le point M est distinct du point O origine du repère. Calculer z″−2z′−2, en déduire la nature du triangle AM′M″.0.5
2. b)Déterminer l'ensemble des points M pour lesquels les points A, Ω, M′ et M″ sont cocycliques.0.5
Exercice 4 — Analyse
6.5 pt(s)
Partie I
Première partie : étude des solutions positives de l'équation (E) : ex=xn avec n un entier naturel non nul. On considère la fonction numérique f définie sur l'ensemble D=[0,1[∪]1,+∞[ par :f(x)=xln xsi x≠00si x=0,et soit (C) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O,i,j).
Partie II
Deuxième partie : étude des deux suites (an)n≥3 et (bn)n≥3.
1.Vérifier que pour tout x de l'ensemble ]0,1[∪]1,+∞[ on a : ex=xn⟺n=f(x).0.25
2.Montrer que la fonction f est dérivable à droite en 0.0.5
3.Calculer les limites : limx→1−f(x) et limx→1+f(x) et limx→+∞f(x) et limx→+∞f(x)x ensuite interpréter graphiquement les résultats obtenus.1.5
4.Etudier les variations de la fonction f sur chacun des intervalles [0,1[ et ]1,+∞[ puis donner son tableau de variations.0.75
5.Montrer que la courbe (C) admet un point d'inflexion dont on déterminera les coordonnées.0.5
6.Représenter graphiquement (C).0.5
7.Montrer que pour n≥3, l'équation (E) admet exactement deux solutions an et bn tel que : 1<an<e<bn.0.5
1.Montrer que : (∀n≥3) bn≥n, en déduire la limite de la suite (bn)n≥3.0.5
2. a)Montrer que la suite (an)n≥3 est décroissante, en déduire qu'elle est convergente.0.5
2. b)Montrer que : (∀n≥3) 1n<ln(an)<en, en déduire la limite de la suite (an)n≥3.0.5
2. c)Montrer que : limn→+∞an n=e.0.5
Exercice 5 — Analyse
3.5 pt(s)
On considère la fonction numérique F définie sur l'intervalle [0 ; +∞[ par : F(x)=e−x2∫0xe−t2 dt.
1. a)Montrer que : (∀x≥0) 0≤F(x)≤xe−x2.0.5
1. b)Montrer que : (∀x≥1) e−x2≤e−x, en déduire la limite de la fonction F en +∞.0.5
2.Montrer que la fonction F est dérivable sur l'intervalle [0 ; +∞[ et que : (∀x≥0) F′(x)=e−2x2−2xF(x).0.5
3. a)On considère la fonction numérique G définie sur l'intervalle [0 ; π2] par : G(x)=F(tan x) ; 0≤x<π2G(π2)=0 Montrer que la fonction G est continue à gauche en π2.0.25
3. b)Montrer qu'il existe un réel c de l'intervalle ]0 ; +∞[ tel que : F′(c)=0 et que : F(c)=e−2c22c (on pourra appliquer le théorème de Rolle à la fonction G sur l'intervalle [0 ; π2]).0.75
4. a)On considère la fonction numérique H définie sur ]0,+∞[ par : H(x)=F′(x)ex22x. Montrer que la fonction H est strictement décroissante sur ]0,+∞[.0.5
4. b)En déduire que c est unique, puis donner le tableau de variation de F.0.5